最初に図を描こう。
図を描くことには、ミスを防いだり情報を整理したりする目的もある。なので「図がなくても解けるよ」と思っても、必ず描くことをお勧めする。

空間で描くと図Ａみたいなのができるけど、お勧めじゃない。
時間がかかるから。

図の固定

なので、図Ｂのような平面の図を描こう。

図の固定

図Ｂに点Ｃ～Ｅを描きたすと、図Ｃができる。

図の固定

図Ｃを見ながら問題を解く。

まず、$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\right|^{2}$から。
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=(-1,2,0)$
なので、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\right|^{2}=(-1)^{2}+2^{2}+0^{2}$
         $=5$
である。

解答ア：5

また、点$\mathrm{D}$は$\mathrm{OA}$を$9:1$に内分するので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\frac{9}{9+1}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$
$\phantom{ \displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{D}} } \displaystyle =\frac{9}{10}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$式Ａ
とかける。

解答イ：9, ウ：1, エ：0

さらに、点$\mathrm{C}$は$\mathrm{AB}$の中点なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}=\frac{\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}}{2}$式Ｂ
となる。

よって、式Ａ，式Ｂより、
$\vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}$
は
$\displaystyle \vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\frac{9}{10}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\frac{\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}}{2}$

解答オ：2, カ：5, キ：1, ク：2

いま、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$⊥$\vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}$なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}=0$
とかける。

これに式Ｃを代入すると、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\left(\frac{2}{5}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right)=0$

この式にアで求めた$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\right|^{2}$を代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\frac{4}{5}\cdot 5$
             $=4$式①
である。

解答ケ：4

さらに、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=(-1,2,0)\cdot(2,p,q)$
なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=2p-2$
とかける。

これに式①を代入して
$2p-2=4$
$2p=6$
$p=3$
である。

よって、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=(2,3,q)$
となるから、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right|^{2}=2^{2}+3^{2}+q^{2}$
         $=q^{2}+13$
と表せる。

これに式②を代入すると
$q^{2}+13=20$
$q=\pm\sqrt{7}$
だけど、$q \gt 0$なので
$q=\sqrt{7}$
となる。

以上より
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=(2,3,\sqrt{7})$
となるから、点$\mathrm{B}$の座標は
$(2,3,\sqrt{7})$
である。

解答コ：3, サ：7

ここからは、空間での図を描かないといけない。
$\alpha$を黄色い平面とすると、図Ｄができる。

図の固定

図中の青いベクトルを$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$，$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$を用いて表す。

点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{H}$は同一平面上にあり、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\nparallel\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$ $\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\neq\vec{0}$ かつ $\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\neq\vec{0}$ なので、$s$，$t$を実数として、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
と表せる。

よって、
$\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}$
は
$\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}$
$\phantom{ \vec{\mathrm{G}\mathrm{H}} } =-\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}+s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
とかける。

解答シ：－

この$\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$と$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$が垂直なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=0$
より
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\left(-\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}+s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right)=0$
$-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}+s\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\right|^{2}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=0$
とかける。

これに$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$，$\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}$の成分とアケで求めた$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\right|^{2}$，$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$を代入して、
$-(-1,2,0)\cdot(4,4,-\sqrt{7})+5s+4t=0$
$4-8+5s+4t=0$
$5s+4t-4=0$式Ｆ
との式ができる。

また、$\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$と$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$も垂直なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=0$
より
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\cdot\left(-\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}+s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right)=0$
$-\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}+s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}+t\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right|^{2}=0$
とかける。

これをさっきと同じように計算すると
$-(2,3,\sqrt{7})\cdot(4,4,-\sqrt{7})+4s+20t=0$
$-8-12+7+4s+20t=0$
$4s+20t-13=0$式Ｇ
との式ができる。

あとは、式Ｆ，式Ｇの連立方程式

を解けばよい。

より、
$s=\displaystyle \frac{7}{21}$
$\phantom{ s\displaystyle } \displaystyle =\frac{1}{3}$
となる。

解答ス：1, セ：3

これを式Ｆに代入して、
$5\displaystyle \cdot\frac{1}{3}+4t-4=0$

解答ソ：7, タ：1, チ：2

最後は、点$\mathrm{H}$の存在範囲だ。
まず、点の存在範囲と位置ベクトルの復習をしよう。

今回は、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
で、ス～タチより
$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle s=\frac{1}{3}\\ \displaystyle t=\frac{7}{12} \end{array}\right.$
だった。

$s+t=\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{7}{12}$
$\phantom{ s+t\displaystyle } \displaystyle =\frac{11}{12} \lt 1$
なので、点$\mathrm{H}$は、復習でいうと、図Ｆの緑の範囲に存在する。

また、
$\left\{\begin{array}{l}
s \gt 0\\
t \gt 0
\end{array}\right.$
なので、点$\mathrm{H}$は、復習だと、図Ｇのオレンジの範囲だ。

さらに、
$s \lt t$
なので、点$\mathrm{H}$は、復習の図Ｈの緑の範囲にある。

以上より、点$\mathrm{H}$は、上の3つの範囲の共通部分である
△$\mathrm{OBC}$の内部 に存在する。
これに当てはまる選択肢は
①
だ。

解答ツ：1