最初に図を描こう。
図を描くことには、ミスを防いだり情報を整理したりする目的もある。なので「図がなくても解けるよ」と思っても、必ず描くことをお勧めする。

空間で描くと図Ａみたいなのができるけど、お勧めじゃない。
時間がかかるから。

なので、図Ｂのような平面の図を描こう。

図Ｂに点Ｃ～Ｅを描きたすと、図Ｃができる。

図Ｃを見ながら問題を解く。

まず、${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2$から。
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(-1,2,0)$
なので、
${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2=(-1{)}^2+2^2+0^2$
         $=5$
である。

解答ア：5

また、点$\mathrm{D}$は$\mathrm{OA}$を$9:1$に内分するので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{9}{9+1}\overrightarrow{\mathrm{OA}}}$
$\phantom{{\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}}}{\displaystyle =\frac{9}{10}\overrightarrow{\mathrm{OA}}}$式Ａ
とかける。

解答イ：9, ウ：1, エ：0

さらに、点$\mathrm{C}$は$\mathrm{AB}$の中点なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}}$式Ｂ
となる。

よって、式Ａ，式Ｂより、
$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$
は
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{9}{10}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}}$

途中式

$\phantom{{\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}}}{\displaystyle =\frac{9}{10}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{5}{10}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$
$\phantom{{\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}}}{\displaystyle =\frac{4}{10}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$

$\phantom{{\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}}}{\displaystyle =\frac{2}{5}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$式Ｃ
と表せる。

解答オ：2, カ：5, キ：1, ク：2

いま、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0$
とかける。

これに式Ｃを代入すると、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot (\frac{2}{5}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}})=0}$

途中式

両辺を$10$倍して、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot (4\overrightarrow{\mathrm{OA}}-5\overrightarrow{\mathrm{OB}})=0$
より
$4{\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2-5\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$
$5\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4{\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2$

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{4}{5}{\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2}$
となる。

この式にアで求めた${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2$を代入して、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{4}{5}\cdot 5}$
             $=4$式①
である。

解答ケ：4

さらに、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-1,2,0)\cdot (2,p,q)$
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2p-2$
とかける。

これに式①を代入して
$2p-2=4$
$2p=6$
$p=3$
である。

よって、
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(2,3,q)$
となるから、
${\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2=2^2+3^2+q^2$
         $=q^2+13$
と表せる。

これに式②を代入すると
$q^2+13=20$
$q=\pm \sqrt{7}$
だけど、$q>0$なので
$q=\sqrt{7}$
となる。

以上より
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(2,3,\sqrt{7})$
となるから、点$\mathrm{B}$の座標は
$(2,3,\sqrt{7})$
である。

解答コ：3, サ：7

ここからは、空間での図を描かないといけない。
$\alpha$を黄色い平面とすると、図Ｄができる。

図中の青いベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表す。

点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{H}$は同一平面上にあり、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\nparallel \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\ne \overrightarrow{0}$ かつ $\overrightarrow{\mathrm{OB}}\ne \overrightarrow{0}$ なので、$s$，$t$を実数として、
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
と表せる。

よって、
$\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}}$
は
$\overrightarrow{\mathrm{GH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}}$
$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{GH}}}=-\overrightarrow{\mathrm{OG}}+s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
とかける。

解答シ：－

この$\overrightarrow{\mathrm{GH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が垂直なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}=0$
より
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot (-\overrightarrow{\mathrm{OG}}+s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}})=0$
$-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}+s{\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2+t\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$
とかける。

これに$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$の成分とアケで求めた${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を代入して、
$-(-1,2,0)\cdot (4,4,-\sqrt{7})+5s+4t=0$
$4-8+5s+4t=0$
$5s+4t-4=0$式Ｆ
との式ができる。

また、$\overrightarrow{\mathrm{GH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$も垂直なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}=0$
より
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot (-\overrightarrow{\mathrm{OG}}+s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}})=0$
$-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}+s\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+t{\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2=0$
とかける。

これをさっきと同じように計算すると
$-(2,3,\sqrt{7})\cdot (4,4,-\sqrt{7})+4s+20t=0$
$-8-12+7+4s+20t=0$
$4s+20t-13=0$式Ｇ
との式ができる。

あとは、式Ｆ，式Ｇの連立方程式

	$5s+4t-4=0$	式Ｆ
	$4s+20t-13=0$	式Ｇ

を解けばよい。

式Ｆ$\times 5$		$25s$	$+20t$	$-20$	$=$	$0$
式Ｇ	$-)$	$4s$	$+20t$	$-13$	$=$	$0$
		$21s$		$-7$	$=$	$0$

より、
$s={\displaystyle \frac{7}{21}}$
$\phantom{s{\displaystyle }}{\displaystyle =\frac{1}{3}}$
となる。

解答ス：1, セ：3

これを式Ｆに代入して、
$5{\displaystyle \cdot \frac{1}{3}+4t-4=0}$

途中式

両辺を$3$倍して
$5+12t-12=0$
$12t=7$

$t={\displaystyle \frac{7}{12}}$
である。

解答ソ：7, タ：1, チ：2

最後は、点$\mathrm{H}$の存在範囲だ。
まず、点の存在範囲と位置ベクトルの復習をしよう。

今回は、
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
で、ス～タチより
$\{\begin{array}{l}{\displaystyle s=\frac{1}{3}}\\ {\displaystyle t=\frac{7}{12}}\end{array}$
だった。

$s+t={\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{7}{12}}$
$\phantom{s+t{\displaystyle }}{\displaystyle =\frac{11}{12}<1}$
なので、点$\mathrm{H}$は、復習でいうと、図Ｆの緑の範囲に存在する。

また、
$\{\begin{array}{l}s>0\\ t>0\end{array}$
なので、点$\mathrm{H}$は、復習だと、図Ｇのオレンジの範囲だ。

さらに、
$s<t$
なので、点$\mathrm{H}$は、復習の図Ｈの緑の範囲にある。

以上より、点$\mathrm{H}$は、上の3つの範囲の共通部分である
△$\mathrm{OBC}$の内部 に存在する。
これに当てはまる選択肢は
①
だ。

解答ツ：1