アドバイス

手順通り作図すると、下図のどちらかができる。
(Step2)で点$\mathrm{Z}$に近い方の交点を使うと左側の図に、点$\mathrm{S}$に近い方を使うと右側の図になる。
解説では左側の図を使うけど、右側の図を使っても全く同じ解法になる。

手順によって図Ａを作図したときに、円$\mathrm{O}$（図Ａ中の青い円）が目的の円であることを示したい。

直線$\ell$は∠$\mathrm{XZY}$の二等分線だ。
なので、中心が$\ell$上で半径が$\mathrm{OH}$の青い円は、図Ａのように紫の点で$\mathrm{ZX}$および$\mathrm{XY}$に必ず接する。

あとは、この円が点$\mathrm{S}$を通ることを示せばよい。
つまり、$\mathrm{OS}$（図Ａの赤い線）が円の半径であればよいから、
$\mathrm{OH}$（緑の線）$=\mathrm{OS}$（赤い線）
であることを示せばよい。

これが、構想だ。

解答ア：５

構想を、△$\mathrm{CDG}$（図Ａのオレンジの三角形）と△$\mathrm{OHS}$（黄色い三角形）の相似を使って示そう。

三角形と比の定理より、
$\mathrm{DG}$∥$\mathrm{HS}$なので、
$\mathrm{DG}:\mathrm{HS}=\mathrm{ZD}:\mathrm{ZH}$

解答イ：２, ウ：６, エ：７

$\mathrm{DC}$∥$\mathrm{HO}$なので、
$\mathrm{DC}:\mathrm{HO}=\mathrm{ZD}:\mathrm{ZH}$

解答オ：１

だから、
$\mathrm{DG}:\mathrm{HS}=\mathrm{DC}:\mathrm{HO}$式Ａ
である。

また、３点$\mathrm{S}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{H}$が一直線上にないとき、
$\mathrm{DG}$∥$\mathrm{HS}$なので、
$\mathrm{\angle }\mathrm{GDZ}=\mathrm{\angle }\mathrm{SHZ}$ $\mathrm{\angle }\mathrm{CDZ}=\mathrm{\angle }\mathrm{OHZ}={90}^{\circ }$ だから、
$\mathrm{\angle }\mathrm{CDG}=\mathrm{\angle }\mathrm{OHS}$式Ｂ
となる。

解答カ：２

式Ａ，式Ｂより、２辺の比と間の角が等しいので、
オレンジの三角形∽黄色い三角形
であることが分かる。

オレンジの三角形は、$\mathrm{CD}=\mathrm{CG}$の二等辺三角形。
それと相似の黄色い三角形も二等辺三角形で、
$\mathrm{OH}=\mathrm{OS}$
である。

一方、３点$\mathrm{S}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{H}$が一直線上にある場合は、図Ｂのような状態だ。

このとき、３点$\mathrm{G}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$も一直線上にあるので、$\mathrm{DG}$は円$\mathrm{C}$の直径になる。
なので、
$\mathrm{DG}=2\mathrm{DC}$
である。

解答キ：２

次は、定期テストなんかでよく見る問題だ。

問われているのは$\mathrm{IJ}$だけど、図Ｃ中の緑の四角形は長方形なので、
$\mathrm{IJ}=$赤い線
だ。
なので、赤い線の長さを求める。

図Ｃ中、
黄色い三角形は直角三角形 青い辺の長さは、
$5-3=2$ ${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2$は、
$5+3=8$ である。

なので、三平方の定理より、
赤${}^2=8^2-2^2$
$=60$
となるから、
赤$=\sqrt{60}$
$=2\sqrt{15}$
だ。

よって、$\mathrm{IJ}$も、
$\mathrm{IJ}=2\sqrt{15}$
である。

解答ク：２, ケ：１, コ：５

ここで、
${\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{\angle }\mathrm{XZY}=}$
とおくと、
赤い線∥$\mathrm{ZY}$
だから、黄色い三角形は、２角がと直角の三角形だ。

以上より、
２角がと直角の三角形は、辺の比が
$8:2:2\sqrt{15}=4:1:\sqrt{15}$式Ｃ である。
このことはあとでまた使うことになる。

さらに、図Ｄのような状況で
$\mathrm{LM}\cdot \mathrm{LK}$
を求める。
見るからに方べきの定理だ。

図Ｄ中の赤い線に方べきの定理を使って、
$\mathrm{LM}\cdot \mathrm{LK}={\mathrm{LJ}}^2$式Ｄ
とかける。

ということで、$\mathrm{LJ}$を求めないといけない。

図Ｄを見ると、
$\mathrm{LI}$と$\mathrm{LS}$は点$\mathrm{I}$，$\mathrm{S}$で円${\mathrm{O}}_2$に接しているので、
$\mathrm{LI}=\mathrm{LS}$ $\mathrm{LJ}$と$\mathrm{LS}$は点$\mathrm{J}$，$\mathrm{S}$で円${\mathrm{O}}_1$に接しているので、
$\mathrm{LJ}=\mathrm{LS}$ なので、
$\mathrm{LI}=\mathrm{LJ}$式Ｅ
であることが分かる。

よって、
${\displaystyle \mathrm{LJ}=\frac{1}{2}\mathrm{IJ}}$
$\phantom{\mathrm{LJ}}{\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{15}}$
$\phantom{\mathrm{LJ}}=\sqrt{15}$式Ｆ
である。

これを式Ｄに代入して、
$\mathrm{LM}\cdot \mathrm{LK}={\sqrt{15}}^2$
$\phantom{\mathrm{LM}\cdot \mathrm{LK}}=15$
となる。

解答サ：１, シ：５

また、図Ｄの黄色い三角形は、２角がと直角なので、式Ｃより
${\mathrm{O}}_2\mathrm{I}:\mathrm{ZI}=1:\sqrt{15}$
だ。

なので、
$3:\mathrm{ZI}=1:\sqrt{15}$
$\mathrm{ZI}=3\sqrt{15}$
である。

解答ス：３, セ：１, ソ：５

よって、
式Ｅ，式Ｆより、
$\mathrm{LI}=\sqrt{15}$
なので、スセソとあわせて
$\mathrm{ZL}=4\sqrt{15}$ $\mathrm{ZJ}=\mathrm{ZK}$なので、
$\mathrm{ZK}=5\sqrt{15}$ となるので、
$\mathrm{ZL}:\mathrm{ZK}=4\sqrt{15}:5\sqrt{15}$
$\phantom{\mathrm{ZL}:\mathrm{ZK}}=4:5$式Ｇ
であることが分かる。

ここで、図Ｄのグレーの三角形を考えると、$\ell$は$\mathrm{\angle }\mathrm{KZL}$の二等分線なので、
$\mathrm{LN}:\mathrm{NK}=\mathrm{ZL}:\mathrm{ZK}$
とかける。

これに式Ｇを代入して、
$\mathrm{LN}:\mathrm{NK}=4:5$
より
${\displaystyle \frac{\mathrm{LN}}{\mathrm{NK}}=\frac{4}{5}}$
となる。

解答タ：４, チ：５

もうひと息だ。
最後に、$\mathrm{SN}$を求めよう。

図Ｆのように、$\mathrm{JK}$と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とする。

このとき、
△$\mathrm{LSN}$（オレンジ）∽△$\mathrm{KQN}$（黄）
で、相似比はタチより
$4:5$
だから、$\mathrm{SN}:\mathrm{QN}$も
$4:5$
だ。

なので、$\mathrm{SQ}$（図Ｆの赤い線）の長さが分かれば、$\mathrm{SN}$は
${\displaystyle \mathrm{SN}=\frac{4}{4+5}\mathrm{SQ}}$
$\phantom{\mathrm{SN}}{\displaystyle =\frac{4}{9}\mathrm{SQ}}$式Ｉ
と表せる。

ということで、$\mathrm{SQ}$を求めよう。

図Ｆの青い三角形は、２角がと直角だ。
よって、式Ｃより、辺の比は
$\mathrm{ZS}:\mathrm{ZL}=\sqrt{15}:4$
となるので、
$\mathrm{ZS}:4\sqrt{15}=\sqrt{15}:4$
$4\mathrm{ZS}=4{\sqrt{15}}^2$
$\mathrm{ZS}=15$式Ｊ
である。

さらに、図中の２本の緑の線は平行なので、
$\mathrm{ZS}:\mathrm{SQ}=\mathrm{ZL}:\mathrm{LJ}$
とかける。

これにそれぞれの値を代入すると、
$15:\mathrm{SQ}=4\sqrt{15}:\sqrt{15}$
$\phantom{15:\mathrm{SQ}}=4:1$
$4\mathrm{SQ}=15$
${\displaystyle \mathrm{SQ}=\frac{15}{4}}$
となり、$\mathrm{SQ}$が求められる。

これを式Ｉに代入して、
${\displaystyle \mathrm{SN}=\frac{4}{9}\cdot \frac{15}{4}}$
$\phantom{\mathrm{SN}}{\displaystyle =\frac{5}{3}}$
である。

解答ツ：５, テ：３

アドバイス

$\mathrm{SQ}$を求める方法は、上で解説したものの他に何通りも考えられるけど、どれも一長一短だし、ここでは解説しない。
どの方法が最善というわけでもないので、自分に合った方法を見つけてほしい。