大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 追試 数学ⅠＡ 第２問 [1] 解説
(1)
１皿あたりの価格を$x$として、売り上げ数を
アイウ$-x$
と表すので、
売り上げ数$=$アイウ$-x$①
とかける。
これに、問題文中の表の値のどれかを代入するとアイウが求められる。
ここでは
| $x=200$ | |
| 売り上げ数$=200$ |
を使うことにすると、式①は
アイウ$-200=200$
より
アイウ$=400$
となる。
解答ア：４, イ：０, ウ：０
(2)
話がちょっと複雑になってきたので、二人の会話と条件１～条件３をまとめてみた。
![大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅠＡ第２問[1] 解説図Ａ](_image/1A_2_1_01.svg)
この図の利益を$y$にして、①に式①を代入して整理すると、
$y=x(400-x)-\{6000+160(400-x)\}$
途中式
$\phantom{ y } =400x-x^{2}-6000-160\cdot 400+160x$
$\phantom{ y } =-x^{2}+560x-1000(6+16\cdot 4)$
$\phantom{ y } =-x^{2}+560x-1000\cdot 2(3+8\cdot 4)$
$\phantom{ y } =-x^{2}+560x-1000\cdot 2\cdot 35$
となる。
解答エ：５, オ：６, カ：０, キ：７
(3)
利益が最大になる場合を求めるので、式②の$y$の最大を考えればよい。
式②のグラフは上に凸の放物線で、頂点の$x$座標は
復習
放物線
$y=ax^{2}+bx+c$
の軸（頂点の$x$座標）は
$x=\displaystyle \frac{-b}{2a}$
とかける。
より、
$x=\displaystyle \frac{-560}{2\times(-1)}$
$\phantom{ x } =280$
となる。
$x$は１皿当たりの価格なので、これがクケコだ。
解答ク：２, ケ：８, コ：０
このときの利益$y$は、式②にクケコを代入して、
$y=-280^{2}+560\cdot 280-10000\cdot 7$
途中式
$\phantom{ y } =-280^{2}+2\cdot 280^{2}-10000\cdot 7$
$\phantom{ y } =280^{2}(-1+2)-10000\cdot 7$
$\phantom{ y } =280^{2}-10000\cdot 7$
$\phantom{ y } =10^{2}\cdot 28\cdot 28-10000\cdot 7$
$\phantom{ y } =100\cdot 7(4\cdot 28-100)$
$\phantom{ y } =100\cdot 7\cdot 12$
である。
解答サ：８, シ：４, ス：０, セ：０
(4)
利益$y$を$7500$円以上にしたいので、式②より、不等式
$7500\leqq=-x^{2}+560x-10000\cdot 7$
ができる。
これを整理して、
$-x^{2}+560x-77500\geqq 0$
$x^{2}-560x+77500\leqq 0$式Ａ
とかける。
桁数が大きいので面倒な感じだけど、気づいてみると、式Ａの
$560$は$10$の倍数
$77500$は$10^{2}$の倍数
だ。
なので、式Ａの左辺はきっと
$(x-10\alpha)(x-10\beta)$式Ｂ
の形に因数分解できる。
式Ｂを展開すると
$ x^{2}-10(\alpha+\beta)+100\alpha\beta$
なので、式Ａと見比べて、
| $\alpha+\beta=56$ | 式Ｃ | |
| $\alpha\beta=775$ | 式Ｄ |
になるような$\alpha$，$\beta$を見つければよいことが分かる。
あとは、計算だ。
$775$は$25$の倍数なので、$\alpha=25$くらいからやってみよう。
式Ｃより、$\alpha=25$のとき、
$\beta=56-25$
$\beta=31$
これを式Ｄに代入すると、
$25\cdot 31=775$
となって、いきなりうっかり答えを見つけてしまった。
以上より、式Ａは
$(x-250)(x-310)\leqq 0$
と因数分解できるから、
$250\leqq x\leqq 310$
だ。
なので、条件を満たす最も安い価格は
$250$円
である。
解答ソ：２, タ：５, チ：０
別解
ちょっと強引かもだけど、解の公式を使うと次のようになる。
$x=\displaystyle \frac{560\pm\sqrt{560^{2}-4\cdot 1\cdot 77500}}{1\cdot 2}$
途中式
$\phantom{ x\displaystyle } \displaystyle =\frac{560\pm\sqrt{(7\cdot 8\cdot 10)^{2}-2^{2}\cdot 10^{2}\cdot 775}}{2}$
$\phantom{ x\displaystyle } \displaystyle =\frac{560\pm 2\cdot 10\cdot\sqrt{(7\cdot 4)^{2}-775}}{2}$
$\phantom{ x } =280\pm 10\sqrt{784-775}$
$\phantom{ x } =280\pm 10\sqrt{9}$
なので、式Ａは
$280-30\leqq x\leqq 280+30$
より
$250\leqq x\leqq 310$
となる。
よって、条件を満たす最も安い価格は
$250$円
である。
解答ソ：２, タ：５, チ：０
アドバイス
このサイトのあちこちに書いたけど、
公式
二次方程式の$x$の係数が偶数で
$ax^{2}+2bx+c=0$
のとき、解$x$は
$x=\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-ac}}{a}$
とかける
ってのもあるけど、使わないことをお勧めする。
この公式に頼ってしまうと、因数分解するのがおろそかになりがちだから。
上の途中式を見てもらうと分かるように、基本は因数分解だ。