大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 追試 数学ⅠＡ 第２問 [1] 解説

(1)

１皿あたりの価格をxとして、売り上げ数を
アイウ−x
と表すので、
売り上げ数=アイウ−x①
とかける。

これに、問題文中の表の値のどれかを代入するとアイウが求められる。
ここでは

x=200
売り上げ数=200

を使うことにすると、式①は
アイウ−200=200
より
アイウ=400
となる。

解答ア：４, イ：０, ウ：０

(2)

話がちょっと複雑になってきたので、二人の会話と条件１～条件３をまとめてみた。

大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅠＡ第２問[1] 解説図Ａ

この図の利益をyにして、①に式①を代入して整理すると、
y=x(400−x)−{6000+160(400−x)}

途中式 y=400x−x2−6000−160⋅400+160x
y=−x2+560x−1000(6+16⋅4)
y=−x2+560x−1000⋅2(3+8⋅4)
y=−x2+560x−1000⋅2⋅35
y=−x2+560x−10000⋅7②
となる。

解答エ：５, オ：６, カ：０, キ：７

(3)

利益が最大になる場合を求めるので、式②のyの最大を考えればよい。

式②のグラフは上に凸の放物線で、頂点のx座標は

復習

放物線
y=ax2+bx+c
の軸（頂点のx座標）は
x=−b2a
とかける。

より、
x=−5602×(−1)
x=280
となる。

xは１皿当たりの価格なので、これがクケコだ。

解答ク：２, ケ：８, コ：０

このときの利益yは、式②にクケコを代入して、
y=−2802+560⋅280−10000⋅7

途中式 y=−2802+2⋅2802−10000⋅7
y=2802(−1+2)−10000⋅7
y=2802−10000⋅7
y=102⋅28⋅28−10000⋅7
y=100⋅7(4⋅28−100)
y=100⋅7⋅12
y=8400
である。

解答サ：８, シ：４, ス：０, セ：０

(4)

利益yを7500円以上にしたいので、式②より、不等式
7500≦=−x2+560x−10000⋅7
ができる。

これを整理して、
−x2+560x−77500≧0
x2−560x+77500≦0式Ａ
とかける。

桁数が大きいので面倒な感じだけど、気づいてみると、式Ａの
560は10の倍数 77500は102の倍数 だ。
なので、式Ａの左辺はきっと
(x−10α)(x−10β)式Ｂ
の形に因数分解できる。

式Ｂを展開すると
x2−10(α+β)+100αβ
なので、式Ａと見比べて、

α+β=56式Ｃ
αβ=775式Ｄ

になるようなα，βを見つければよいことが分かる。

あとは、計算だ。
775は25の倍数なので、α=25くらいからやってみよう。
式Ｃより、α=25のとき、
β=56−25
β=31 これを式Ｄに代入すると、
25⋅31=775 となって、いきなりうっかり答えを見つけてしまった。

以上より、式Ａは
(x−250)(x−310)≦0
と因数分解できるから、
250≦x≦310
だ。

なので、条件を満たす最も安い価格は
250円
である。

解答ソ：２, タ：５, チ：０

別解

ちょっと強引かもだけど、解の公式を使うと次のようになる。

x=560±5602−4⋅1⋅775001⋅2

途中式 x=560±(7⋅8⋅10)2−22⋅102⋅7752
x=560±2⋅10⋅(7⋅4)2−7752
x=280±10784−775
x=280±109
x=280±30
なので、式Ａは
280−30≦x≦280+30
より
250≦x≦310
となる。

よって、条件を満たす最も安い価格は
250円
である。

解答ソ：２, タ：５, チ：０

アドバイス

このサイトのあちこちに書いたけど、

公式

二次方程式のxの係数が偶数で
ax2+2bx+c=0
のとき、解xは
x=−b±b2−aca
とかける

ってのもあるけど、使わないことをお勧めする。
この公式に頼ってしまうと、因数分解するのがおろそかになりがちだから。
上の途中式を見てもらうと分かるように、基本は因数分解だ。