$m=14$のとき、
$a^2+b^2+c^2+d^2=14$式Ａ
なので、$a$は$3$以下でないといけない。

詳しく

$a$が$4$以上だと$a^2\geqq 16$なので、式Ａは成り立たない。

あとは、やってみよう。

やってみるときのコツは、荷造りと同じで
大きなものから入れる
だ。

$a$は$3$以下なので、最大の
$a=3$
からはじめる。

このとき、式Ａより
$3^2+b^2+c^2+d^2=14$
なので、
$b^2+c^2+d^2=5$式Ａ1
だから、$b$は$2$以下でないといけない。

$b$は$2$以下なので、最大の
$b=2$
とする。

このとき、式Ａ1より
$2^2+c^2+d^2=5$
なので、
$c^2+d^2=1$
だ。

よって

	$c=1$
	$d=0$

であれば、式Ａを満たすことが分かる。

以上より、$m=14$のとき、これを満たす$(a,b,c,d)$は
$(3,2,1,0)$
である。

解答ア：３, イ：２, ウ：１, エ：０

アドバイス

今回は問題文から解が一組しかないことが分かるけど、解が何組あるか分からないときは、$a$の数をひとつずつ減らして全部のパターンをやってみないといけない。

$m=28$のときも、$m=14$のときと同じようにやってみる。
一応解説したけれど、$m=14$のときと同様なので、読み飛ばしてもらって問題ない。
「解説」のグレーの部分をタップ／クリックすると見ることができる。

解説

$m=28$のとき、
$a^2+b^2+c^2+d^2=28$式Ｂ
なので、$a$は$5$以下でないといけない。

$a=5$のとき

$a$は$5$以下なので、最大の$5$からはじめる。

このとき、式Ｂより
$5^2+b^2+c^2+d^2=28$
なので
$b^2+c^2+d^2=3$式Ｂ1
だから、$b$は$1$以下でないといけない。

よって、$a=5$のとき、式Ｂを満たす組合せは
$\{\begin{array}{l}a=5\\ b=1\\ c=1\\ d=1\end{array}$
のひとつだけ。

$a=4$のとき

$a=5$は終わったので、次は$a=4$だ。

このとき、式Ｂより
$4^2+b^2+c^2+d^2=28$
なので、
$b^2+c^2+d^2=12$式Ｂ2
だから、$b$は$3$以下でないといけない。

$b=3$のとき

ます、一番大きな$3$から。

このとき、式Ｂ2より
$3^2+c^2+d^2=12$
なので
$c^2+d^2=3$
だ。
これを満たす$c,d$の組は存在しないので、$b=3$は不適。

$b=2$のとき

このとき、式Ｂ2より
$2^2+c^2+d^2=12$
なので、
$c^2+d^2=8$
だから、
$\{\begin{array}{l}a=4\\ b=2\\ c=2\\ d=2\end{array}$
であれば、式Ｂを満たすことが分かる。

$b<2$のとき、式Ｂ2を満たす組合せはない。

$a=3$のとき

このとき、式Ｂより
$3^2+b^2+c^2+d^2=28$
なので、
$b^2+c^2+d^2=19$式Ｂ3
だから、$b$は$3$でないといけない。

詳しく

$b\geqq c\geqq d$なので、$b\leqq 2$のときは、
$b^2+c^2+d^2\leqq 12$
になってしまう。
$19$に届かないので不適。

$b=3$のとき

式Ｂ3より
$3^2+c^2+d^2=19$
なので
$c^2+d^2=10$式Ｂ4
だから、
$\{\begin{array}{l}a=3\\ b=3\\ c=3\\ d=1\end{array}$
であれば、式Ｂを満たすことが分かる。

式Ｂは$c$が$2$以下の場合は成り立たないので、$a=3$のときには他の組合せはない。

$a\leqq 2$のとき、

$a^2+b^2+c^2+d^2\leqq 16$
なので、式Ｂを満たす組合せはない。

上の解説より、$m=28$のとき、①を満たす$(a,b,c,d)$は
$(5,1,1,1)$，$(4,2,2,2)$，$(3,3,3,1)$
の３つある。

解答オ：３

$a$が奇数のとき、$n$を整数として
$a=2n+1$
と表す。

このとき、$a^2-1$は
$a^2-1=(2n+1{)}^2-1$
$\phantom{a^2-1}=4n^2+4n+1-1$
$\phantom{a^2-1}=4n(n+1)$式Ｃ
と変形できる。

問題文にもあるけど、
$n(n+1)$
は偶数。

詳しく

$n$と$n+1$は連続する整数なので、どちらかは偶数、もう一方は奇数だ。
偶数$\times$奇数$=$偶数
だから、$n(n+1)$は偶数である。

なので、式Ｃは
$a^2-1=4\times$偶数
となるから、
$a$が奇数のとき、$a^2-1$は必ず$8$の倍数になる。

解答カ：８

よって、$k$を整数として、$a$が奇数のとき、
$a^2-1=8k$
より
$a^2=8k+1$
とかけるから、$a^2$を$8$で割ると$1$余る。

また、$a$が偶数のとき、$n$を整数として
$a=2n$
と表す。

このとき、$a^2$は
$4n^2$式Ｄ
とかける。

これを$8$で割る。

以上より、$a$が偶数のとき、$a^2$を$8$で割ると$0$または$4$余る。

$a^2,b^2,c^2,d^2$をそれぞれ$8$で割った余りを$r_a,r_b,r_c,r_d$とすると、$k_a,k_b,k_c,k_d$を整数として

	$a^2=8k_a+r_a$	式Ｅ
	$b^2=8k_b+r_b$
	$c^2=8k_c+r_c$
	$d^2=8k_d+r_d$

とかける。

(2)より、整数${}^2$を$8$で割った余りは

	$1$	（奇数のとき）
	$0$または$4$	（偶数のとき）

である。
なので、$r_a,r_b,r_c,r_d$は、それぞれ$1,0,4$のどれかだ。

式Ｅを式①に代入すると、
$a^2+b^2+c^2+d^2=(8k_a+r_a)+(8k_b+r_b)$
$+(8k_c+r_c)+(8k_d+r_d)$
$\phantom{a^2+b^2+c^2+d^2}=8(k_a+k_b+k_c+k_d)$
$+r_a+r_b+r_c+r_d$
と表せる。

この式が$8$の倍数になるためには、赤い部分が$8$の倍数にならないといけない。

$1,0,4$を$4$つ加えて$8$の倍数にするには、
$0+0+0+0$ $4+4+0+0$ $4+4+4+4$ の３つの組合せしかない。
つまり、$r_a,r_b,r_c,r_d$の中に１個でも$1$があると、$8$の倍数にはならない。

以上より、$a^2+b^2+c^2+d^2$が$8$の倍数なら、$a,b,c,d$はすべて偶数である。

解答キ：４

$m=224$のとき、式①は
$a^2+b^2+c^2+d^2=224$式Ｆ
となる。

$224$は$8$の倍数だから、(3)より、$a,b,c,d$は全て偶数だ。
なので、$a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime }$を整数として

	$a=2a^{\prime }$	式Ｇ
	$b=2b^{\prime }$
	$c=2c^{\prime }$
	$d=2d^{\prime }$

とかける。

これを式Ｆに代入して、
$(2a^{\prime }{)}^2+(2b^{\prime }{)}^2+(2c^{\prime }{)}^2+(2d^{\prime }{)}^2=224$
より
$4a^{\prime 2}+4b^{\prime 2}+4c^{\prime 2}+4d^{\prime 2}=224$
$a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}+d^{\prime 2}=56$式Ｆ'
とかける。

$56$も$8$の倍数なので、同じことをもう１回しよう。

(3)より、$a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime }$は全て偶数だから、$a^{″},b^{″},c^{″},d^{″}$を整数として

	$a^{\prime }=2a^{″}$	式Ｇ'
	$b^{\prime }=2b^{″}$
	$c^{\prime }=2c^{″}$
	$d^{\prime }=2d^{″}$

とかける。

これを式Ｆ'に代入して、
$(2a^{″}{)}^2+(2b^{″}{)}^2+(2c^{″}{)}^2+(2d^{″}{)}^2=56$
より
$4a^{\prime \prime 2}+4b^{\prime \prime 2}+4c^{\prime \prime 2}+4d^{\prime \prime 2}=56$
$a^{\prime \prime 2}+b^{\prime \prime 2}+c^{\prime \prime 2}+d^{\prime \prime 2}=14$式Ｆ''
とかける。

アイウエより、式Ｆ''を満たす$a^{\prime \prime }\geqq b^{\prime \prime }\geqq c^{\prime \prime }\geqq d^{\prime \prime }\geqq 0$である整数は

	$a^{″}=3$
	$b^{″}=2$
	$c^{″}=1$
	$d^{″}=0$

の１組だけ。

これを式Ｇ'，さらに式Ｇに代入して、式Ｆを満たす$a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq 0$である整数は

	$a=12$
	$b=8$
	$c=4$
	$d=0$

の１組だけである。

解答ク：１, ケ：２, コ：８, サ：４, シ：０

$896$を素因数分解すると
$896=2^7\cdot 7$
なので、$7$の倍数で$896$の約数である正の整数$m$は
$m=2^0\cdot 7$，$2^1\cdot 7$，$2^2\cdot 7$，$\cdots$，$2^7\cdot 7$式Ｈ
の８個ある。

(4)より、①を満たす整数の組の数は
$m=\{\begin{array}{l}14=2^1\cdot 7\\ 56=2^3\cdot 7\\ 224=2^5\cdot 7\end{array}$
のときで等しくて、１組だった。

このことからさらに
$m=2^7\cdot 7$
のときも整数の組は１組であると考えられる。

また、オより
$m=28$
$\phantom{m}=2^2\cdot 7$
のとき、整数の組は３組なので、
$m=\{\begin{array}{l}{2}^4\cdot 7\\ 2^6\cdot 7\end{array}$
のときも３組であるはず。

さらに、
$m=2^0\cdot 7$
$\phantom{m}=7$
のとき、①を満たす整数の組を(1)と同様に探すと
$(2,1,1,1)$
の１組だけ。

以上より、

$a^2+b^2+c^2+d^2=2^{\ell }\cdot 7$
を満たす$a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq 0$である整数は

	１組	（$\ell =0,1,3,5,7$のとき）
	３組	（$\ell =2,4,6$のとき）式Ｉ

であることが分かる。

よって、式Ｈの８個の$m$のうち、
$a,b,c,d$の組が３組あるのは、式Ｉより３個。

解答ス：３

そのうち最大のものは
$m=2^6\cdot 7=448$ である。

解答セ：４, ソ：４, タ：８