さらに、$5$を$10$，$2$，$3$を使って表すと

詳しく

${\log }_{10}5$を${\log }_{10}2$と${\log }_{10}3$で表すので、使える数字は 底の10 2 3 の３つだ。
これを使って$5$をつくる。

$5={\displaystyle \frac{10}{2}}$
なので、
${\displaystyle {\log }_{10}5={\log }_{10}\frac{10}{2}}$
$\phantom{{\log }_{10}5}={\log }_{10}10-{\log }_{10}2$
$\phantom{{\log }_{10}5}=1-{\log }_{10}2$
$\phantom{{\log }_{10}5}=-{\log }_{10}2+1$
と変形できる。

解答イ：－, ウ：１

${\log }_{10}5$が分かったから$5$も使えるようになった。
$15$を$10$，$2$，$3$，$5$を使って表すと
$15=3\times 5$
なので、
${\log }_{10}15={\log }_{10}(3\times 5)$
$\phantom{{\log }_{10}15}={\log }_{10}3+{\log }_{10}5$
とかける。

これにイウを代入して、
${\log }_{10}15={\log }_{10}3-{\log }_{10}2+1$
$\phantom{{\log }_{10}15}=-{\log }_{10}2+{\log }_{10}3+1$
となる。

解答エ：－, オ：１

${15}^{20}$の常用対数の
${\log }_{10}{15}^{20}$
を考える。

これを変形した
${\log }_{10}{15}^{20}=20{\log }_{10}15$
にエオを代入すると
${\log }_{10}{15}^{20}=20(-{\log }_{10}2+{\log }_{10}3+1)$
式Ｂ
とかける。

問題より、
$\{\begin{array}{l}{\log }_{10}2=0.3010\\ {\log }_{10}3=0.4771\end{array}$
なので、式Ｂはさらに
${\log }_{10}{15}^{20}=20(-0.3010+0.4771+1)$
$=20\times 1.1761$
$=23.522$式Ｃ
と表せる。

式Ｃより
$23\leqq {\log }_{10}{15}^{20}<24$式Ｄ
であることが分かる。

解答カ：２, キ：３

この式Ｄを式Ａ'と見比べると、$n$は$24$だ。
なので、${15}^{20}$は$24$桁の整数である。

解答ク：２, ケ：４

花子さんの発言をもとに、$N$を一桁の整数として
$N\cdot {10}^{23}<{15}^{20}<(N+1)\cdot {10}^{23}$式Ｅ
とした場合、${15}^{20}$の最高位の数字は$N$だ。
この$N$を求める。

式Ｅの各辺の常用対数をとると、
${\log }_{10}(N\cdot {10}^{23})$
$<{\log }_{10}{15}^{20}$
$<{\log }_{10}\{(N+1)\cdot {10}^{23}\}$
より

途中式

${\log }_{10}N+{\log }_{10}{10}^{23}$
$<{\log }_{10}{15}^{20}$
$<{\log }_{10}(N+1)+{\log }_{10}{10}^{23}$
${\log }_{10}N+23{\log }_{10}10$
$<{\log }_{10}{15}^{20}$
$<{\log }_{10}(N+1)+23{\log }_{10}10$

${\log }_{10}N+23<{\log }_{10}{15}^{20}<{\log }_{10}(N+1)+23$
とかける。

これに式Ｃを代入すると、
${\log }_{10}N+23<23.522<{\log }_{10}(N+1)+23$
なので
${\log }_{10}N<0.522<{\log }_{10}(N+1)$式Ｆ
と表せる。
この$0.522$は、${\log }_{10}{15}^{20}$の小数部分にあたる。

ここからは、$N=1$のときから順にやってみるしかない。
と言っても、
${\log }_{10}3=0.4771<0.522$
なので、$N=1$，$2$は式Ｆが成り立たないから不適。
$N=3$から始めよう。

$N=3$のとき
${\log }_{10}3=0.4771$ ${\log }_{10}4={\log }_{10}{2}^2$
$\phantom{{\log }_{10}4}=2{\log }_{10}2$
$\phantom{{\log }_{10}4}=2\cdot 0.3010$
$\phantom{{\log }_{10}4}=0.6020$ なので、
${\log }_{10}3<0.522<{\log }_{10}4$
だから、式Ｆは成り立つ。 おお、いきなり答えを見つけてしまった。

解答コ：3

はじめに考えたように、この$N$が最高位の数字だ。
なので、${15}^{20}$の最高位の数字は$3$である。

解答サ：３