(1)で考えたように、$R$が最小になるのは$\mathrm{\angle }\mathrm{APB}={90}^{\circ }$のとき。
なので、$\mathrm{\angle }\mathrm{APB}={90}^{\circ }$になるような点$\mathrm{P}$を考えればよい。
つまり、直径に対する円周角は${90}^{\circ }$なので、点$\mathrm{P}$が円$C$上にある場合を考える。

$h\leqq 4$のとき、直線$\ell$と円$C$は共有点をもつ。
よって、$\ell$と$C$の共有点を点$\mathrm{P}$とすると、図Ｃのように$\mathrm{\angle }\mathrm{APB}={90}^{\circ }$になって、$R$が最小の三角形ができる。

このとき、$R$が最小の三角形$\mathrm{ABP}$は
$\mathrm{\angle }\mathrm{APB}={90}^{\circ }$の直角三角形
になる。

解答シ：１

$h>4$のとき、直線$\ell$と円$C$は共有点をもたない。
つまり、$\mathrm{\angle }\mathrm{APB}={90}^{\circ }$にはならない。
もっと言えば、
$\mathrm{\angle }\mathrm{APB}<{90}^{\circ }$①
だ。
なので、(i)とは違う方法を考えよう。

図Ｄのように点${\mathrm{P}}_1$，${\mathrm{P}}_2$，${\mathrm{P}}_3$をとる。

このとき、
紫と緑の角は等しいので、
$\mathrm{\angle }{\mathrm{AP}}_3\mathrm{B}=\mathrm{\angle }{\mathrm{AP}}_2\mathrm{B}$ である。

解答ス：１

また、
緑の角$<$赤い角より、
$\mathrm{\angle }{\mathrm{AP}}_3\mathrm{B}<\mathrm{\angle }{\mathrm{AP}}_1\mathrm{B}$ ①より、
$\mathrm{\angle }{\mathrm{AP}}_1\mathrm{B}<{90}^{\circ }$ なので、
$\sin \mathrm{\angle }{\mathrm{AP}}_3\mathrm{B}<\sin \mathrm{\angle }{\mathrm{AP}}_1\mathrm{B}$
となる。

解答セ：０

以上より、点${\mathrm{P}}_2$が直線$\ell$上で${\mathrm{P}}_1$以外のどこにあっても、
$\sin \mathrm{\angle }{\mathrm{AP}}_2\mathrm{B}<\sin \mathrm{\angle }{\mathrm{AP}}_1\mathrm{B}$②
である。

(1)で考えたように、△$\mathrm{ABP}$の外接円の半径$R$が最小になるのは、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}$が最大になるときだった。
なので、②は

$($

△${\mathrm{ABP}}_1$の 外接円の半径

$)$

$<$

$($

△${\mathrm{ABP}}_2$の 外接円の半径

$)$

であることを意味する。

解答ソ：０

以上をまとめると、
$h>4$のとき、$R$が最小になるのは
点$\mathrm{P}$が$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき である。
このとき、△$\mathrm{ABP}$は
$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$
の二等辺三角形になる。

解答タ：３

図Ｆに△$\mathrm{APH}$だけを取り出してみた。

△$\mathrm{APH}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{H}={90}^{\circ }$の直角三角形なので、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{PAH}$（赤い角の$\sin$）は
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{PAH}=\frac{\mathrm{PH}}{\mathrm{AP}}}$
だ。

これに式Ｂ，$\mathrm{PH}=8$を代入すると、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{PAH}=\frac{8}{4\sqrt{5}}}$
$\phantom{{\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{PAH}}}{\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{5}}}$
なので、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{PAB}=\frac{2}{\sqrt{5}}}$式Ｃ
であることが分かる。

さらに、△$\mathrm{ABP}$（図Ｇの緑の三角形）に正弦定理を使うと、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}}=\frac{\mathrm{BP}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{P}\mathrm{AB}}}$
とかける。

これに式Ｂ，式Ｃと$\mathrm{AB}=8$を代入すると、
${\displaystyle \frac{8}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}}=\frac{4\sqrt{5}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}}$
${\displaystyle 4\sqrt{5}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}=8\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}$
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}=\frac{8\cdot 2}{\sqrt{5}\times 4\sqrt{5}}}$
${\displaystyle \phantom{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}}{\displaystyle =\frac{4}{5}}}$
となる。

解答チ：４, ツ：５

△$\mathrm{ABP}$（図Ｇの緑の三角形）の面積$S$は、 $S={\displaystyle \frac{1}{2}\times }$底辺$\times$高さ
$\phantom{S}{\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 8}$式Ｄ
である。

同じ面積$S$は、

公式

$S={\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin C}$

より、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}$を使って
$S={\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AB}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}}$
$\phantom{S}={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{5}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}}$
$\phantom{S}={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot 5\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}}$式Ｅ
だ。

式Ｅ$=$式Ｄなので、
${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot 5\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 8}$
より
$5\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}=2\cdot 2$
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}=\frac{4}{5}}$
となる。

解答チ：４, ツ：５

数学Ⅱの範囲になってしまうけど、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}$は２倍角の公式を使っても求められる。

△$\mathrm{ABP}$は二等辺三角形なので、直線$m$は$\mathrm{\angle }\mathrm{APB}$の二等分線だ。

なので、図中の○の角は等しいから、
$\mathrm{\angle }\mathrm{APB}=2\mathrm{\angle }\mathrm{APH}$
より
$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}=\sin 2\mathrm{\angle }\mathrm{APH}$
である。

この式は、２倍角の公式

公式

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

より、さらに
$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}=2\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APH}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{APH}$式Ｆ
と変形できる。

いま、△$\mathrm{APH}$（図Ｈの緑の三角形）は$\mathrm{\angle }\mathrm{H}={90}^{\circ }$の直角三角形なので、

	${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{APH}=\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AP}}}$
	${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{APH}=\frac{\mathrm{PH}}{\mathrm{AP}}}$

より

	${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{APH}=\frac{4}{4\sqrt{5}}}$
	${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{APH}=\frac{8}{4\sqrt{5}}}$

となる。

これを式Ｆに代入して、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}=2\cdot \frac{4}{4\sqrt{5}}\cdot \frac{8}{4\sqrt{5}}}$
${\displaystyle \phantom{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}}=2\cdot \frac{1\cdot 2}{{\sqrt{5}}^2}}$
${\displaystyle \phantom{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}}=\frac{4}{5}}$
である。

解答チ：４, ツ：５

テを先に求めるなら、次のような方法もある。

△$\mathrm{ABP}$の面積$S$は、面積の公式

公式

$S={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$

を使って、
$S={\displaystyle \frac{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AP}\cdot \mathrm{BP}}{4R}}$
とかける。

これに式Ｂ，式Ｄと$\mathrm{AB}=8$を代入して、
${\displaystyle \frac{8\cdot 4\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{5}}{4R}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 8}$
より
${\displaystyle \frac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}{R}=1}$
$R=5$
となる。

解答テ：５

これを(1)の式Ａ'に代入すると、
${\displaystyle \frac{4}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}}=5}$
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}=\frac{4}{5}}$
となって$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{APB}$が求められる。

解答チ：４, ツ：５

この方法が一番計算が簡単だけど、問題の流れに逆らっているし、上の解法１，２の方が自然かも知れない。