大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 追試数学ⅡＢ第４問 [2] 解説

(1)

$n = 1$ のとき、図形は $T_{1}$ で、図Ａのような形だ。

このときのタイルの配置の総数（敷き詰める方法が何通りあるか）を数える。
やみくもに考えるんじゃなくて、右下隅のタイルの置き方で場合分けしよう。

場合分け1

図Ｂの赤のように図形 $T_{1}$ の右下隅にタイルを縦置きにすると、残りの黄色い部分は図形 $R_{1}$ になる。
問題文より、 $R_{1}$ のタイルの配置の総数 $r_{1}$ は
$r_{1} = 3$ 通り
なので、図Ｂのときのタイルの配置も
$3$ 通り式Ａ
ある。

場合分け2

図Ｃのオレンジのように図形 $T_{1}$ の右下隅にタイルを横置きにすると、残りの部分のタイルの配置は、グレーの
$1$ 通り式Ｂ
しかない。

以上より、図形 $T_{1}$ の配置の総数 $t_{1}$ は、ふたつの場合分けの式Ａと式Ｂをたした
$t_{1} = 4$ 通り
である。

解答ク：４

図形が $T_{n}$ のときも、 $T_{1}$ と同様に考えよう。
問題文中の図が大きなヒントになっているので、図を見ながら考えてゆけばよい。

場合分け1

図の固定

図Ｄの赤のように図形 $T_{n}$ の右下隅にタイルを縦置きにすると、残りの黄色い部分は図形 $R_{n}$ になる。

図形 $R_{n}$ のタイルの配置は
$r_{n}$ 通り
あるので、図Ｄのときのタイルの配置も
$r_{n}$ 通り式Ｃ
ある。

場合分け2

図の固定

図Ｅのオレンジのように図形 $T_{n}$ の右下隅にタイルを横置きにすると、グレーの部分には図のようにタイルを置くしかない。
このとき、残りの黄色い部分は図形 $T_{n - 1}$ になる。

図形 $T_{n - 1}$ のタイルの配置は
$t_{n - 1}$ 通り
あるので、図Ｅの配置も
$t_{n - 1}$ 通り式Ｄ
ある。

以上より、図形 $T_{n}$ の配置の総数 $t_{n}$ は、ふたつの場合分けの式Ｃと式Ｄをたした
$t_{n} = r_{n} + t_{n - 1}$ 通り式Ｅ
である。

解答ケ：１, コ：１

この式Ｅを使って $t_{2}$ を求める。

式Ｅに $n = 2$ を代入すると
$t_{2} = r_{2} + t_{1}$ 式Ｅ'
とかける。

いま
問題文より、 $r_{2} = 11$ クより、 $t_{1} = 4$ なので、式Ｅ'は
$t_{2} = 11 + 4$
$= 15$ 通り
となる。

解答サ：１, シ：５

$R_{n}$ についても同じように考えるんだけど、今度は場合分けがひとつ増える。

場合分け1

図の固定

図Ｆのオレンジのように図形 $R_{n}$ の右下隅にタイルを横置きにすると、斜線部分に載るタイルの置き方は縦横２通りある。
この２通りで、さらに場合分けをする。

場合分け1a

図の固定

図Ｇの緑のように斜線部分にタイルを横置きにすると、グレーの部分も図のように横にタイルを置くしかない。
このとき、残りの黄色い部分は図形 $R_{n - 1}$ になる。

図形 $R_{n - 1}$ のタイルの配置は
$r_{n - 1}$ 通り
あるので、図Ｇの配置も
$r_{n - 1}$ 通り式Ｆ
ある。

場合分け1b

図の固定

図Ｈの青のように斜線部分にタイルを縦置きにすると、残りの黄色い部分は図形 $T_{n - 1}$ になる。上下ひっくり返っているけれど。

図形 $T_{n - 1}$ のタイルの配置は
$t_{n - 1}$ 通り
あるので、図Ｈの配置も
$t_{n - 1}$ 通り式Ｇ
ある。

場合分け2

図の固定

図Ｉの赤のように図形 $R_{n}$ の右下隅にタイルを縦置きにすると、グレーの部分には図のように横にタイルを置くしかない。
このとき、残りの黄色い部分は図形 $T_{n - 1}$ になる。

図形 $T_{n - 1}$ のタイルの配置は
$t_{n - 1}$ 通り
あるので、図Ｉの配置も
$t_{n - 1}$ 通り式Ｈ
ある。

以上より、図形 $R_{n}$ の配置の総数 $r_{n}$ は、みっつの場合分けの式Ｆ，式Ｇ，式Ｈをたした
$r_{n} = r_{n - 1} + t_{n - 1} + t_{n - 1}$
$= r_{n - 1} + 2 t_{n - 1}$ 式Ｉ
通りである。

解答ス：１, セ：２

(2)

縦の長さが $3$ ，横の長さが $6$ の長方形は、(1)の $R_{3}$ にあたるから、
ソタ $= r_{3}$ 縦の長さが $3$ ，横の長さが $8$ の長方形は、(1)の $R_{4}$ にあたるから、
チツテ $= r_{4}$ である。

ということは、(1)で求めた

	$t_{n} = r_{n} + t_{n - 1}$	式Ｅ
	$r_{n} = r_{n - 1} + 2 t_{n - 1}$	式Ｉ

を使って一般項 $r_{n}$ を求めればいいんだ.....と考えてはいけない。
大変な作業になってしまう。

ちょっと振り返ってみると、
問題文中にあるように、 $r_{2} = 11$ サシより、 $t_{2} = 15$ であることが分かっている。
これを使うと、 $r_{3}$ ， $r_{4}$ は簡単に求められる。

式Ｉに $n = 3$ を代入すると、
$r_{3} = r_{2} + 2 t_{2}$
とかける。

これにそれぞれの値を代入して、
$r_{3} = 11 + 2 \cdot 15$
$= 41$
である。

解答ソ：４, タ：１

また、式Ｉに $n = 4$ を代入すると、
$r_{4} = r_{3} + 2 t_{3}$ 式Ｊ
とかける。

この式の $t_{3}$ は値が分からないので、式Ｅをおう。
式Ｅに $n = 3$ を代入して
$t_{3} = r_{3} + t_{2}$
とする。

これを式Ｊに代入すると
$r_{4} = r_{3} + 2 (r_{3} + t_{2})$
$= 3 r_{3} + 2 t_{2}$
となるから、それぞれの値を代入して、
$r_{4} = 3 \cdot 41 + 2 \cdot 15$
より
$r_{4} = 153$
である。

解答チ：１, ツ：５, テ：３

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