問題を解く前に、まず$y=F(x)$のグラフについて考えておこう。

問題文の
$f(x)$は2次関数 $x^2$の係数は正 である。

$F(x)$はこの$f(x)$を$0$から$x$まで積分したものなので、
$F(x)$は3次関数 $x^3$の係数は正 になる。

ここで、3次関数の形を復習しておくと、

復習

三次関数のグラフは、
$x^3$の係数が正のとき
全体として右上がりで、図Ａの①②③ $x^3$の係数が負のとき
全体として右下がりで、図Ａの④⑤⑥ のような形になる。

よって、$F(x)$のグラフは、図Ａの
①②③
のいずれかの形になる。

①②③のグラフの違いは、傾きが$0$になる点の数の違いだ。
つまり、
$F^{\prime }(x)=0$となる$x$が

	$2$個なら、①のグラフ
	$1$個なら、②のグラフ
	$0$個なら、③のグラフ

になる。

ということで$F^{\prime }(x)$を考えるんだけど、ここで積分と微分の復習だ。

復習

関数を定数$\alpha$から$x$まで積分して微分すると
${\displaystyle {[{\int }_{\alpha }^{x}f(t)dt]}^{\prime }=f(x)}$
となって、もとの関数にもどる。

復習より、
${\displaystyle F^{\prime }(x)={[{\int }_0^{x}f(t)dt]}^{\prime }}$
$\phantom{F^{\prime }(x)}=f(x)$
$\phantom{F^{\prime }(x)}=(x-a)(x-2)$
となるから、$F^{\prime }(x)=0$となるのは
$x=a,2$式Ａ
のとき。

よって、
$a\ne 2$のとき、
$F^{\prime }(x)=0$となる$x$は $x=a,2$の$2$個なので、
$y=F(x)$のグラフは図Ａの① $a=2$のとき、
$F^{\prime }(x)=0$となる$x$は $x=2$の$1$個なので、
$y=F(x)$のグラフは図Ａの② となる。

さらに、グラフが①の場合、$F(x)$は
$a<2$なら、
$x=a$で極大値 $x=2$で極小値 $2<a$なら、
$x=2$で極大値 $x=a$で極小値 をとる。

以上をまとめると、$y=F(x)$のグラフは表Ｂのようになる。

ここまで分かれば、勝ったも同然。
表Ｂを見ながら問題を解こう。

次は、$F(x)$がつねに増加するとき。

表Ｂを見ると、$F(x)$がつねに増加しているのは真ん中のグラフで、このときの$a$は
$a=2$
である。

解答イ：2

また、
$F(0)={\displaystyle {\int }_0^{0}ft(dt)}$
$\phantom{F(0)}=0$
である。

解答ウ：0

なので、$y=F(x)$のグラフは原点を通る。
よって、表Ｂの真ん中のグラフに$x$軸と$y$軸を書き加えると、図Ｃのようになる。

図Ｃより、$F(2)$は正である。

解答エ：1

さらに、$G(x)$だ。

定積分の性質に、次のようなのがあった。

復習

${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx}$
${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx}$

この性質を使うと、$G(x)$は
$G(x)={\displaystyle {\int }_b^{x}f(t)dt}$
$\phantom{G(x){\displaystyle }}{\displaystyle ={\int }_b^{0}f(t)dt+{\int }_0^{x}f(t)dt}$
$\phantom{G(x)}={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{b}f(t)dt}$
と変形できる。

この式の

	赤い部分は$F(x)$
	青い部分は定数で$F(b)$

なので、$G(x)$は
$G(x)=F(x)-F(b)$
と表せる。

よって、$y=F(x)$のグラフを
$y$軸方向に$-F(b)$
平行移動すると、$y=G(x)$のグラフになる。

解答オ：1, カ：3

いまは$a>2$なので、$y=F(x)$のグラフは表Ｂの右がわだ。
このグラフを$y$軸方向に平行移動、つまり上下に動かすと$y=G(x)$になる。
なので、極大や極小のときの$x$座標は変わらない。

よって、$G(x)$は
$x=2$で極大 $x=a$で極小 になる。

解答キ：2, ク：ａ

ここで、
$G(b)={\displaystyle {\int }_b^{b}f(t)dt}$
$\phantom{G(b)}=0$
である。

解答ケ：0

なので、
$b=$キ
$\phantom{b}=2$
のとき、
$G(2)=0$
となる。

以上より、$y=G(x)$のグラフは、
表Ｂの右端のグラフを$y$軸方向に平行移動したもので $x=2$のとき$y=0$ だから、図Ｄであることが分かる。

図Ｄより、グラフと$x$軸との共有点の個数は
$2$個
である。

解答コ：2