問題を解く前に、まず$y=F(x)$のグラフについて考えておこう。

問題文の
$f(x)$は2次関数 $x^{2}$の係数は正 である。

$F(x)$はこの$f(x)$を$0$から$x$まで積分したものなので、
$F(x)$は3次関数 $x^{3}$の係数は正 になる。

ここで、3次関数の形を復習しておくと、

復習

三次関数のグラフは、
$x^{3}$の係数が正のとき
全体として右上がりで、図Ａの①②③ $x^{3}$の係数が負のとき
全体として右下がりで、図Ａの④⑤⑥ のような形になる。

よって、$F(x)$のグラフは、図Ａの
①②③
のいずれかの形になる。

①②③のグラフの違いは、傾きが$0$になる点の数の違いだ。
つまり、
$F'(x)=0$となる$x$が

	$2$個なら、①のグラフ
	$1$個なら、②のグラフ
	$0$個なら、③のグラフ

になる。

ということで$F'(x)$を考えるんだけど、ここで積分と微分の復習だ。

復習

関数を定数$\alpha$から$x$まで積分して微分すると
$\displaystyle \left[\int_{\alpha}^{x}f(t)dt\right]'=f(x)$
となって、もとの関数にもどる。

復習より、
$\displaystyle F'(x)=\left[\int_{0}^{x}f(t)dt\right]'$
$\phantom{ F'(x) } =f(x)$
$\phantom{ F'(x) }=(x-a)(x-2)$
となるから、$F'(x)=0$となるのは
$x=a,2$式Ａ
のとき。

よって、
$a\neq 2$のとき、
$F'(x)=0$となる$x$は $x=a,2$の$2$個なので、
$y=F(x)$のグラフは図Ａの① $a=2$のとき、
$F'(x)=0$となる$x$は $x=2$の$1$個なので、
$y=F(x)$のグラフは図Ａの② となる。

さらに、グラフが①の場合、$F(x)$は
$a \lt 2$なら、
$x=a$で極大値 $x=2$で極小値 $2 \lt a$なら、
$x=2$で極大値 $x=a$で極小値 をとる。

以上をまとめると、$y=F(x)$のグラフは表Ｂのようになる。

ここまで分かれば、勝ったも同然。
表Ｂを見ながら問題を解こう。

次は、$F(x)$がつねに増加するとき。

表Ｂを見ると、$F(x)$がつねに増加しているのは真ん中のグラフで、このときの$a$は
$a=2$
である。

解答イ：2

また、
$F(0)=\displaystyle \int_{0}^{0}ft(dt)$
$\phantom{F(0)}=0$
である。

解答ウ：0

なので、$y=F(x)$のグラフは原点を通る。
よって、表Ｂの真ん中のグラフに$x$軸と$y$軸を書き加えると、図Ｃのようになる。

図Ｃより、$F(2)$は正である。

解答エ：1

さらに、$G(x)$だ。

定積分の性質に、次のようなのがあった。

復習

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx$

この性質を使うと、$G(x)$は
$G(x)=\displaystyle \int_{b}^{x}f(t)dt$
$\phantom{ G(x)\displaystyle } \displaystyle =\int_{b}^{0}f(t)dt+\int_{0}^{x}f(t)dt$
$\phantom{ G(x) } =\displaystyle \textcolor{red}{\int_{0}^{x}f(t)dt}-\textcolor{royalblue}{\int_{0}^{b}f(t)dt}$
と変形できる。

この式の

	赤い部分は$F(x)$
	青い部分は定数で$F(b)$

なので、$G(x)$は
$G(x)=F(x)-F(b)$
と表せる。

よって、$y=F(x)$のグラフを
$y$軸方向に$-F(b)$
平行移動すると、$y=G(x)$のグラフになる。

解答オ：1, カ：3

いまは$a \gt 2$なので、$y=F(x)$のグラフは表Ｂの右がわだ。
このグラフを$y$軸方向に平行移動、つまり上下に動かすと$y=G(x)$になる。
なので、極大や極小のときの$x$座標は変わらない。

よって、$G(x)$は
$x=2$で極大 $x=a$で極小 になる。

解答キ：2, ク：ａ

ここで、
$G(b)=\displaystyle \int_{b}^{b}f(t)dt$
$\phantom{ G(b) } =0$
である。

解答ケ：0

なので、
$b=$キ
$\phantom{ b } =2$
のとき、
$G(2)=0$
となる。

以上より、$y=G(x)$のグラフは、
表Ｂの右端のグラフを$y$軸方向に平行移動したもので $x=2$のとき$y=0$ だから、図Ｄであることが分かる。

図Ｄより、グラフと$x$軸との共有点の個数は
$2$個
である。

解答コ：2