$S_1=a_1$
なので、
$a_1=5^1-1$
$\phantom{a_1}=4$式Ａ
である。

解答ア：４

また、$2\leqq n$のとき
$S_n-S_{n-1}=a_n$
なので、
$a_n=(5^n-1)-(5^{n-1}-1)$

途中式

$\phantom{a_n}=5^n-5^{n-1}$
$\phantom{a_n}=5\cdot 5^{n-1}-5^{n-1}$
$\phantom{a_n}=(5-1)\cdot 5^{n-1}$

$\phantom{a_n}=4\cdot 5^{n-1}$式Ｂ
である。

解答イ：４, ウ：５

式Ｂに$n=1$を代入すると
$a_1=4\cdot 5^{1-1}$
$\phantom{a_1}=4$
となり、式Ａができる。
よって、式Ｂは$n=1$のときにも成り立つ。

さらに
${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}}$
に式Ｂを代入すると、
${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{4\cdot 5^{k-1}}}$
となる。

これを計算すると
${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{4\cdot 5^{k-1}}}$

途中式

     $={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{4}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{k-1}}$
     $={\displaystyle \frac{1}{4}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{1}{5}\right)}^{k-1}}$
     $={\displaystyle \frac{1}{4}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}{1-\frac{1}{5}}}$
     $={\displaystyle \frac{1}{4}\cdot \frac{1-5^{-n}}{\frac{4}{5}}}$
     $={\displaystyle \frac{1}{4}\cdot \frac{5}{4}(1-5^{-n})}$

     $={\displaystyle \frac{5}{16}(1-5^{-n})}$
である。

解答エ：５, オ：１, カ：６, キ：５