大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 追試 数学ⅠＡ 第１問 [1] 解説
(1)
①の絶対値をはずすと、
$-3 \lt ax-b-7 \lt 3$
より
$4+b \lt ax \lt 10+b$①'
と変形できる。
$a=-3$，$b=-2$のとき、①'は
$2 \lt -3x \lt 8$
より
$-\displaystyle \frac{8}{3} \lt x \lt -\frac{2}{3}$
となる。
数直線で表すと、図Ａの緑の範囲だ。
![大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅠＡ第１問[1] 解説図Ａ](_image/1A_1_1_01.svg)
$P$はこの範囲に含まれる整数の集合なので、
$P=\{-2,-1\}$
である。
解答ア：－, イ：２, ウ：－, エ：１ （イ，エは順不同）
(2) (i)
$a=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき、①'は
$4+b \lt \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}x \lt 10+b$
より
$\sqrt{2}(4+b) \lt x \lt \sqrt{2}(10+b)$式Ａ
とかける。
$b=1$のとき、式Ａは
$\sqrt{2}(4+1) \lt x \lt \sqrt{2}(10+1)$
より
$5\sqrt{2} \lt x \lt 11\sqrt{2}$式Ｂ
となる。
式Ｂはさらに
$\sqrt{2\cdot 5^{2}} \lt x \lt \sqrt{2\cdot 11^{2}}$
$\sqrt{50} \lt x \lt \sqrt{242}$
とかける。
ここで、
$\sqrt{7^{2}} \lt \sqrt{50} \lt \sqrt{8^{2}}$
なので
$7 \lt 5\sqrt{2} \lt 8$
$\sqrt{15^{2}} \lt \sqrt{242} \lt \sqrt{16^{2}}$
なので
$15 \lt 11\sqrt{2} \lt 16$
だから、式Ｂの範囲は図Ｂの緑の部分だ。
![大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅠＡ第１問[1] 解説図Ｂ](_image/1A_1_1_02.svg)
この範囲に含まれる整数は、
$8$～$15$
の８個ある。
解答オ：８
別解
$\sqrt{2}\doteqdot 1.41$なので、
$5\sqrt{2}\doteqdot 5\times 1.41$
$\phantom{5\sqrt{2}}\doteqdot 7.05$
$11\sqrt{2}\doteqdot 11\times 1.41$
$\phantom{11\sqrt{2}}\doteqdot 15.51$
となるから、式Ｂの範囲は図Ｂの緑の部分だ。
この範囲に含まれる整数は、
$8$～$15$
の８個ある。
解答オ：８
(2) (ii)
今度は、式Ａを満たす整数が
オ$+8=9$個
となる場合を考える。
アドバイス
$b$は正の整数で、求める最小のものはカだから一桁だ。
このうち、$1$は(i)で計算済み。
なので、カの候補は
$2,3,4,5,6,7,8,9$
の８つある。
なので、最大でも(i)と同じような計算を８回すれば答えが見つかる。
面倒に思うかも知れないけれど、迷わず総当たりでいってみよう。
式Ａをちょっと変形して
$\sqrt{2(4+b)^{2}} \lt x \lt \sqrt{2(10+b)^{2}}$式Ａ'
とすると、
$\sqrt{2\cdot 6^{2}} \lt x \lt \sqrt{2\cdot 12^{2}}$
より
$\sqrt{72} \lt x \lt \sqrt{288}$
とかける。
ここで、
$\sqrt{8^{2}} \lt \sqrt{72} \lt \sqrt{9^{2}}$
なので
$8 \lt \sqrt{72} \lt 9$
$\sqrt{16^{2}} \lt \sqrt{288} \lt \sqrt{17^{2}}$
なので
$16 \lt \sqrt{288} \lt 17$
だから、この範囲に含まれる整数は
$9$～$16$
の８個ある。
９個じゃないので、$b=2$は不適。
$\sqrt{2\cdot 7^{2}} \lt x \lt \sqrt{2\cdot 13^{2}}$
より
$\sqrt{98} \lt x \lt \sqrt{338}$
とかける。
ここで、
$\sqrt{9^{2}} \lt \sqrt{98} \lt \sqrt{10^{2}}$
なので
$9 \lt \sqrt{98} \lt 10$
$\sqrt{18^{2}} \lt \sqrt{338} \lt \sqrt{19^{2}}$
なので
$18 \lt \sqrt{338} \lt 19$
だから、この範囲に含まれる整数は
$10$～$18$
の９個ある。
見つけた。これが答えだ。
以上より、①を満たす整数が９個ある最小の正の整数$b$は
$b=3$
である。
解答カ：３
別解
$6\sqrt{2} \lt x \lt 12\sqrt{2}$
となる。
ここで、$\sqrt{2}\doteqdot 1.41$なので、
$6\sqrt{2}\doteqdot 6\times 1.41$
$\phantom{ 6\sqrt{2} } \doteqdot 8.46$
$12\sqrt{2}\doteqdot 12\times 1.41$
$\phantom{ 12\sqrt{2} } \doteqdot 16.92$
だから、この範囲に含まれる整数は
$9$～$16$
の８個ある。
９個じゃないので、$b=2$は不適。
$7\sqrt{2} \lt x \lt 13\sqrt{2}$
となる。
ここで、$\sqrt{2}\doteqdot 1.41$なので、
$7\sqrt{2}\doteqdot 7\times 1.41$
$\phantom{ 7\sqrt{2} } \doteqdot 9.87$
$13\sqrt{2}\doteqdot 13\times 1.41$
$\phantom{ 13\sqrt{2} } \doteqdot 18.33$
だから、この範囲に含まれる整数は
$10$～$18$
の９個ある。
見つけた。これが答えだ。
以上より、①を満たす整数が９個ある最小の正の整数$b$は
$b=3$
である。
解答カ：３