①の絶対値をはずすと、
$-3<ax-b-7<3$
より
$4+b<ax<10+b$①'
と変形できる。

$a=-3$，$b=-2$のとき、①'は
$2<-3x<8$
より
$-{\displaystyle \frac{8}{3}<x<-\frac{2}{3}}$
となる。

数直線で表すと、図Ａの緑の範囲だ。

$P$はこの範囲に含まれる整数の集合なので、
$P=\{-2,-1\}$
である。

解答ア：－, イ：２, ウ：－, エ：１ （イ，エは順不同）

式Ｂはさらに
$\sqrt{2\cdot 5^2}<x<\sqrt{2\cdot {11}^2}$
$\sqrt{50}<x<\sqrt{242}$
とかける。

ここで、
$\sqrt{7^2}<\sqrt{50}<\sqrt{8^2}$
なので
$7<5\sqrt{2}<8$ $\sqrt{{15}^2}<\sqrt{242}<\sqrt{{16}^2}$
なので
$15<11\sqrt{2}<16$ だから、式Ｂの範囲は図Ｂの緑の部分だ。

この範囲に含まれる整数は、
$8$～$15$
の８個ある。

解答オ：８

今度は、式Ａを満たす整数が
オ$+8=9$個
となる場合を考える。

アドバイス

$b$は正の整数で、求める最小のものはカだから一桁だ。
このうち、$1$は(i)で計算済み。
なので、カの候補は
$2,3,4,5,6,7,8,9$
の８つある。

なので、最大でも(i)と同じような計算を８回すれば答えが見つかる。
面倒に思うかも知れないけれど、迷わず総当たりでいってみよう。

式Ａをちょっと変形して
$\sqrt{2(4+b{)}^2}<x<\sqrt{2(10+b{)}^2}$式Ａ'
とすると、

以上より、①を満たす整数が９個ある最小の正の整数$b$は
$b=3$
である。

解答カ：３