問題文中の
$100x-x=236.\dot{3}\dot{6}-2.\dot{3}\dot{6}$
を計算すると、
$99x=234$
より
$x=\displaystyle \frac{234}{99}$
$x$$\displaystyle=\frac{26}{11}$
となる。

解答ア：２, イ：６, ウ：１, エ：１

オカキクについては(1)がヒントになっている。
(1)と同じように計算しよう。

問題文中の
$49y-y=2ab.\dot{a}\dot{b}_{(7)}-2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}$
より
$48y=2ab_{(7)}-2_{(7)}$
$y=\displaystyle \frac{2ab_{(7)}-2_{(7)}}{48}$式Ｂ
とかける。

オカキクの式を見ると、_$(7)$の表示がないので、10進法だ。
なので、式Ｂの分子を10進法で表す。

$2ab_{(7)}=2\cdot 7^{2}+a_{(7)}\cdot 7^{1}+b_{(7)}\cdot 7^{0}$式Ｃ
だけど、
$a_{(7)}=a_{(10)}$
$b_{(7)}=b_{(10)}$
なので、式Ｃは
$2ab_{(7)}=2\cdot 7^{2}+a\cdot 7^{1}+b\cdot 7^{0}$
        $=2\cdot 49+$$7\times a+b$式Ｃ'
となる。

よって、式Ｂの分子は
$2ab_{(7)}-2_{(7)}=2\cdot 49+7\times a+b-2$
              $=96+7\times a+b$
なので、式Ｂは
$y=\displaystyle \frac{96+7\times a+b}{48}$式Ｂ'
と表せる。

解答オ：９, カ：６, キ：４, ク：８

ここで、
$7a+b=A$式Ｄ
とおくと、式Ｂ'は
$y=\displaystyle \frac{96+A}{48}$式Ｅ
とかける。

(i)

まず、式Ｄの
$A$
がどんな数か考えよう。

$a$，$b$は$0$以上$6$以下の自然数なので、$7a+b=A$は自然数。

また、
$0\leqq a\leqq 6$，$0\leqq b\leqq 6$
なので、
$7\cdot 0+0\leqq 7a+b\leqq 7\cdot 6+6$
より
$0\leqq A\leqq 48$式Ｆ
である。

さらに、$a=b$のときを考えると、$A$は
$A=7a+a$
$A$$=8a$
になるけど、問題文より$a\neq b$なので、これは不適。
当然、式Ｆの両端の$0$と$48$も不適だ。

よって、$A$は、
$1\leqq A\leqq 47$の自然数で、$8$の倍数を含まない式Ｇ
ことが分かる。

いま求めなきゃいけないのは、約分すると$\displaystyle \frac{\text{奇数}}{4}$になる$y$だ。
なので、式Ｅの右辺の分母を$4$にしよう。

式Ｅの右辺の分母分子を$12$で割って、
$y=\displaystyle \frac{8+\frac{A}{12}}{4}$

この分子が奇数なので、
$8+\displaystyle \frac{A}{12}=$奇数
より
$\displaystyle \frac{A}{12}=$奇数$-8$
$A=12($奇数$-8)$
奇数-偶数は奇数なので、
$ A=12\times$奇数
となるから、$A$が$12$の奇数倍になる場合を見つければよい。

式Ｇより、
$1\leqq A\leqq 47$
なので、この範囲に含まれる$12$の倍数は
$12$，$24$，$36$
の３つ。
このうち、$24$は$12$の偶数倍だし、$8$の倍数でもあるので不適。
よって、求める場合は
$A=12$，$36$
だ。

これを式Ｅに代入して、
$y=\displaystyle \frac{96+12}{48}$，$\displaystyle \frac{96+36}{48}$
より、求める$y$は
$y=\displaystyle \frac{9}{4}$，$\displaystyle \frac{11}{4}$
である。

解答ケ：９, コ：１, サ：１

上の計算より、$y=\displaystyle \frac{11}{4}$になるのは$A=36$のとき。
よって、式Ｄより
$7a+b=36$
のとき。

解答シ：３, ス：６

このときの$a$，$b$を求める。

今までの計算を振り返ってみると、$7\times a+b$は、式Ｃ'の赤い部分だ。
これは、式Ｃ'の左辺の
$ab_{(7)}$
の部分にあたる。

つまり、
$7a+b=ab_{(7)}$
とかけるから、$7a+b=36$のときの$a$，$b$は、$36$を$7$進法で表したときの上から１桁目と２桁目だ。

というわけで、$36$を$7$進法で表そう。

$36$を$7$で割って、
$36\div 7=5\ldots 1$
より、
$36=51_{(7)}$
となる。

よって、$y=\displaystyle \frac{11}{4}$のとき、
$\left\{\begin{array}{l}
a=5\\
b=1
\end{array}\right.$
である。

解答セ：５, ソ：１

(ii)

まず、$y-2$を求めよう。

式Ｅの両辺から$2$を引いて、
$y-2=\displaystyle \frac{96+A}{48}-2$
より
$y-2=\displaystyle \frac{96+A}{48}-\frac{96}{48}$
$y-2$$\displaystyle=\frac{A}{48}$
とかける。

この右辺を約分して、分子が$1$になる場合を探す。
つまり、$A$が$48$の約数になるときを探せばよい。

$48$は
$48=2^{4}\cdot 3$
と素因数分解できるので、約数は
$2^{0}\cdot 3^{0}=1$
$2^{1}\cdot 3^{0}=2$
$2^{2}\cdot 3^{0}=4$
$2^{3}\cdot 3^{0}=8$×
$2^{4}\cdot 3^{0}=16$×
$2^{0}\cdot 3^{1}=3$
$2^{1}\cdot 3^{1}=6$
$2^{2}\cdot 3^{1}=12$
$2^{3}\cdot 3^{1}=24$×
$2^{4}\cdot 3^{1}=48$×
の$10$個ある。

このうち、式Ｇの$1\leqq A\leqq 47$に含まれない$48$は不適。（×部分）
また、$A$は$8$の倍数ではないので、$8$、$16$，$24$も不適。（×部分）

以上より、$y-2$が、分子が$1$，分母が２以上の整数に約分できるのは、$A$が
$1$，$2$，$4$，$3$，$6$，$12$
のときの６個である。

解答タ：６

(i)

いま求めなきゃいけないのは、$y$を約分すると、分子が奇数で分母が$4$になるもの。
なので、式Ｅの右辺の分母を$4$にしよう。

式Ｅの右辺の分母分子を$12$で割って、
$y=\displaystyle \frac{8+\frac{A}{12}}{4}$

この分子が奇数なので、
$8+\displaystyle \frac{A}{12}=$奇数
より
$\displaystyle \frac{A}{12}=$奇数$-8$
$A=12($奇数$-8)$
奇数-偶数は奇数なので、
$ A=12\times$奇数
となるから、$A$が$12$の奇数倍になる場合を見つければよい。

表Ａより、$A$が$12$の奇数倍になるのは、緑の部分の２つで、
$A=12$，$36$
だ。

これを式Ｅに代入して、
$y=\displaystyle \frac{96+12}{48}$，$\displaystyle \frac{96+36}{48}$
より、求める$y$は
$y=\displaystyle \frac{9}{4}$，$\displaystyle \frac{11}{4}$
である。

解答ケ：９, コ：１, サ：１

上の計算より、$y=\displaystyle \frac{11}{4}$になるのは$A=36$のとき。
よって、式Ｄより
$7a+b=36$
のとき。

解答シ：３, ス：６

このときの$a$，$b$は、表Ａより、
$\left\{\begin{array}{l}
a=5\\
b=1
\end{array}\right.$
である。

解答セ：５, ソ：１

(ii)

また、$y-2$は、式Ｅの両辺から$2$を引いて、
$y-2=\displaystyle \frac{96+A}{48}-2$
より
$y-2=\displaystyle \frac{96+A}{48}-\frac{96}{48}$
$y-2$$\displaystyle=\frac{A}{48}$
とかける。

この右辺を約分して、分子が$1$になる場合を探す。
つまり、$A$が$48$の約数になるときを探せばよい。

$48$は
$48=2^{4}\cdot 3$
と素因数分解できるので、約数は
$2^{0}\cdot 3^{0}=$$1$
$2^{1}\cdot 3^{0}=$$2$
$2^{2}\cdot 3^{0}=$$4$
$2^{3}\cdot 3^{0}=8$
$2^{4}\cdot 3^{0}=16$
$2^{0}\cdot 3^{1}=$$3$
$2^{1}\cdot 3^{1}=$$6$
$2^{2}\cdot 3^{1}=$$12$
$2^{3}\cdot 3^{1}=24$
$2^{4}\cdot 3^{1}=48$
の$10$個ある。

このうち、表Ａに含まれるのは、赤文字の６個。
よって、求める$y$は
６個
ある。

解答タ：６