次は、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ADC}$だ。
三角形$\mathrm{ACD}$（図Ａの緑の三角形）は分かっている辺や角が少ないので、使えない。
青い三角形を使う方向で考える。

$\mathrm{\angle }\mathrm{ADC}+\mathrm{\angle }\mathrm{BDC}={180}^{\circ }$
なので、
$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ADC}=\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BDC}$
だから、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ADC}$の代わりに$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BDC}$を求めよう。

青い三角形に正弦定理を使って、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BCD}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BDC}}}$式Ａ
だけど、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BCD}$は計算しないといけない。

${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BCD}+{\cos }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BCD}=1$
に
$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{BCD}={\displaystyle \frac{3}{4}}$
を代入して、
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BCD}+{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2=1$

途中式

$$\begin{array}{rl}{\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BCD}& =1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2\\ & =\frac{4^2-3^2}{4^2}\\ & =\frac{7}{4^2}\end{array}$$ $0<\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BCD}$なので、

$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BCD}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}$
である。

これと、$\mathrm{BC}=2\sqrt{2}$，$\mathrm{BD}=2$を式Ａに代入して、
${\displaystyle \frac{2}{\frac{\sqrt{7}}{4}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BDC}}}$
$2\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BDC}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}\cdot 2\sqrt{2}$
$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BDC}={\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}}$
となるから、
$sin\mathrm{\angle }\mathrm{ADC}={\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}}$
である。

解答イ：１, ウ：４, エ：４

さらに、$\mathrm{AC}$と$\mathrm{AD}$の比率を求める。

$\mathrm{CD}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}$の二等分線なので、
$\mathrm{AC}:\mathrm{BC}=\mathrm{AD}:\mathrm{BD}$
とかける。
これを変形して、
$\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}$
より
$2\mathrm{AC}=2\sqrt{2}\mathrm{AD}$
となる。

この両辺を$2\mathrm{AD}$で割って、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}}=\sqrt{2}$
である。

解答オ：２

オの別解

図Ａの緑の三角形に正弦定理を使って、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ADC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACD}}}$式Ｂ

ここで、$\mathrm{\angle }\mathrm{ACD}=\mathrm{\angle }\mathrm{BCD}$なので、
$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACD}=\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BCD}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}$
これと、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ADC}={\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}}$を式Ｂに代入して、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}}$

途中式

${\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}}\mathrm{AD}$
両辺に${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{7}}}$をかけて、
$\mathrm{AC}=\sqrt{2}\mathrm{AD}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}}=\sqrt{2}$
である。

解答オ：２

よって、
$\mathrm{AD}=x$
とおくと、
$\mathrm{AC}=\sqrt{2}x$
である。

ややこしくなってきたから、図で整理しよう。
これまでに分かったことを図Ａに書き込むと、図Ｂができる。

ということで、図Ｂの$\mathrm{AD}=x$を求める。
緑の三角形で正弦定理が使えると楽なんだけど、すでにオの別解で${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}}$を求めるのに使ったから、もう一度使うと どうせ$x=x$とかいう式ができてしまう。
なので、余弦定理だ。

図Ｂの緑の三角形に余弦定理を使って、
${\mathrm{AD}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{CD}}^2-2\mathrm{AC}\cdot \mathrm{CD}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACD}$
より
$x^2={\displaystyle {\left(\sqrt{2}x\right)}^2+{\sqrt{2}}^2-2\sqrt{2}x\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{3}{4}}$

途中式

$\phantom{x^2}=2x^2+2-3x$
$x^2-3x+2=0$
$(x-1)(x-2)=0$
となるので

$x=1$，$2$
となる。

このうち、$x=2$のとき、図Ｂの青い三角形と緑の三角形は三辺が等しくなるので合同だ。
このとき、図中の△と◎は合同な三角形の対応する角だから、等しい。
さらに
△$+$◎$={180}^{\circ }$
なので、
△$=$◎$={90}^{\circ }$
のはず。

でも、イウエより、
$\sin$◎$={\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}}$
だから
◎$\ne {90}^{\circ }$
なので、矛盾する。

よって、$x=2$は不適である。

以上より
$x=1$
なので、
$\mathrm{AD}=1$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$
である。

解答カ：１

$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$より、
$\mathrm{AC}=\mathrm{CD}$
なので、図Ｃの緑の三角形は二等辺三角形だ。

よって、
$\mathrm{\angle }\mathrm{CAD}=$◎
だから、
$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{CAD}=\sin$◎$={\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}}$
である。

図Ｃの△$\mathrm{ABC}$（赤い三角形）の外接円の半径を$R$とする。
△$\mathrm{ABC}$に正弦定理を使うと
${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}=2R}$
より
${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}}=2R$

途中式

$2R=2\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{4}{\sqrt{14}}}$
$R={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{7}}}$
分母を有理化して、

$R={\displaystyle \frac{4\sqrt{7}}{7}}$
となる。

解答キ：４, ク：７, ケ：７