図の固定

このグラフが、点$(3,0)$，$(3,-3)$を両端とする直線（図Ｂの緑の直線・両端を含む）と共有点をもつ場合、グラフは例えば図Ｂのようになる。

図Ｂより、放物線が緑の直線と共有点を持つためには、、
$x=3$のとき$-3\leqq y\leqq 0$
であることが分かる。

この方針で解こう。

$x=3$のときの$y$座標は、$G$の式に$x=3$を代入して求める。
式Ａと式Ｂのどちらを使ってもいいんだけど、ここでは計算が簡単っぽいので式Ａを使うことにする。

式Ａに$x=3$を代入して、
$y=(3-c)\{3-(c+4)\}$
$y$$=(-c+3)(-c-1)$
$y$$=(c+1)(c-3)$式Ｃ
となる。

これが$-3\leqq y\leqq 0$なので、
$-3\leqq(c+1)(c-3)\leqq 0$
より、連立不等式
$\left\{\begin{array}{l}
-3\leqq(c+1)(c-3)\\
(c+1)(c-3)\leqq 0
\end{array}\right.$
ができる。
これを解く。

以上より、答えは式Ｄと式Ｅの共通部分の
$-1\leqq c\leqq 0$，$2\leqq c\leqq 3$
である。

解答ト：１, ナ：０, ニ：２, ヌ：３

次に、$G$が$(3,-1)$を通るときのグラフは、$y=x^{2}$のグラフをどのように平行移動したか答えよという。
$(3,-1)$を通るときのグラフを$G_{1}$として、このタイプの問題のお約束通り、$G_{1}$の頂点の座標を求めよう。

まず、$G$の式に$(3,-1)$を代入する。
式Ａと式Ｂのどちらを使ってもいいんだけど、今は式Ａに$x=3$を代入した式である式Ｃをそのまま使うことにする。

$x=3$のとき$y=-1$なので、式Ｃより、
$(c+1)(c-3)=-1$
とかける。

これを計算して、
$c^{2}-2c-3=-1$
$c^{2}-2c-2=0$
解の公式より、
$c=\displaystyle \frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)}}{2\cdot 1}$
$c$$\displaystyle=\frac{2\pm\sqrt{2^{2}+2^{2}\cdot 2}}{2}$
$c$$\displaystyle=\frac{2\pm 2\sqrt{1+2}}{2}$
$c$$=1\pm\sqrt{3}$
となる。

今は$2\leqq c\leqq 3$の場合を考えているので、$c=1-\sqrt{3}$は不適。
よって、$G_{1}$のときの$c$は$1+\sqrt{3}$だ。

次は、頂点の$y$座標。
これも、計算はできるだけ避ける方向で考える。

$G_{1}$は$y=x^{2}$のグラフを平行移動したもの。
つまり、図Ｄのような移動だ。

図の固定

図Ｄ中の点Ａを考えると、$x$座標は$2$のはず。
これを$y=x^{2}$に代入すると 点Ａの$y$座標は$4$になるから、図中のオレンジの線の長さは$4$だ。

図中のオレンジの線と赤い線の長さは等しい。
なので、赤い線の長さも$4$である。
よって、$G_{1}$の頂点の$y$座標は$-4$である。

以上より、$G_{1}$の頂点は$(3+\sqrt{3},-4)$なので、
$G_{1}$は $y=x^{2}$のグラフを

$x$軸方向に$3+\sqrt{3}$ $y$軸方向に$-4$

平行移動したものである。

解答ネ：３, ノ：３, ハ：－, ヒ：４

このときの放物線と$y$軸との交点の$y$座標は、式Ｂに
$c=1+\sqrt{3}$
と
$x=0$
を代入して、

$y=0^{2}-2(c+2)\cdot 0$
          $+\left(1+\sqrt{3}\right)\left\{\left(1+\sqrt{3}\right)+4\right\}$
とかける。

あとはこれを計算して、
$y=\left(1+\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)$
$y$$=5+6\sqrt{3}+3$
$y$$=8+6\sqrt{3}$
である。

解答フ：８, ヘ：６, ホ：３

$G_{1}$の式は、式Ｂに式Ｆを代入して、
$y=x^{2}-2\left(1+\sqrt{3}+2\right)x$
                        $+\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}+4\right)$
$y$$=x^{2}-2\left(3+\sqrt{3}\right)x+\left(1+\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)$式Ｇ

右辺を平方完成する。
$y=\left\{x-\left(3+\sqrt{3}\right)\right\}^{2}-\left(3+\sqrt{3}\right)^{2}$
                        $+\left(1+\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)$
$y$$=\left\{x-\left(3+\sqrt{3}\right)\right\}^{2}$
          $+(-9-6\sqrt{3}-3+5+6\sqrt{3}+3)$
$y$$=\left\{x-\left(3+\sqrt{3}\right)\right\}^{2}-4$

より、$G_{1}$の頂点は$(3+\sqrt{3},-4)$なので、
$G_{1}$は $y=x^{2}$のグラフを
$x$軸方向に$3+\sqrt{3}$ $y$軸方向に$-4$ 平行移動したものである。

解答ネ：３, ノ：３, ハ：－, ヒ：４

このときの放物線と$y$軸との交点の$y$座標は、式Ｇに$x=0$を代入して、
$y=0^{2}-2\left(3+\sqrt{3}\right)\cdot 0+\left(1+\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)$
とかける。

あとはこれを計算して、
$y=\left(1+\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)$
$y$$=5+6\sqrt{3}+3$
$y$$=8+6\sqrt{3}$
である。

解答フ：８, ヘ：６, ホ：３