図Ａのように、$G$は$y=x^2$のグラフを平行移動したもので、$(c,0)$，$(c+4,0)$で$x$軸と交わる。

図の固定

よって、$G$の式は
$y=(x-c)\{x-(c+4)\}$式Ａ
とかける。

これを展開して、
$$\begin{array}{rl}y& =x^2-\{c+(c+4)\}x+c(c+4)\\ & =x^2-(2c+4)x+c(c+4)\\ & =x^2-2(c+2)x+c(c+4)\mathrm{式}Ｂ\end{array}$$ となる。

解答：ツ：２, テ：４

図の固定

このグラフが、点$(3,0)$，$(3,-3)$を両端とする直線（図Ｂの緑の直線・両端を含む）と共有点をもつ場合、グラフは例えば図Ｂのようになる。

図Ｂより、放物線が緑の直線と共有点を持つためには、、
$x=3$のとき$-3\leqq y\leqq 0$
であることが分かる。

この方針で解こう。

$x=3$のときの$y$座標は、$G$の式に$x=3$を代入して求める。
式Ａと式Ｂのどちらを使ってもいいんだけど、ここでは計算が簡単っぽいので式Ａを使うことにする。

式Ａに$x=3$を代入して、
$$\begin{array}{rl}y& =(3-c)\{3-(c+4)\}\\ & =(-c+3)(-c-1)\\ & =(c+1)(c-3)\mathrm{式}Ｃ\end{array}$$ となる。

これが$-3\leqq y\leqq 0$なので、
$-3\leqq (c+1)(c-3)\leqq 0$
より、連立不等式
$\{\begin{array}{l}-3\leqq (c+1)(c-3)\\ (c+1)(c-3)\leqq 0\end{array}$
ができる。
これを解く。

以上より、答えは式Ｄと式Ｅの共通部分の
$-1\leqq c\leqq 0$，$2\leqq c\leqq 3$
である。

解答ト：１, ナ：０, ニ：２, ヌ：３

次に、$G$が$(3,-1)$を通るときのグラフは、$y=x^2$のグラフをどのように平行移動したか答えよという。
$(3,-1)$を通るときのグラフを$G_1$として、このタイプの問題のお約束通り、$G_1$の頂点の座標を求めよう。

まず、$G$の式に$(3,-1)$を代入する。
式Ａと式Ｂのどちらを使ってもいいんだけど、今は式Ａに$x=3$を代入した式である式Ｃをそのまま使うことにする。

$x=3$のとき$y=-1$なので、式Ｃより、
$(c+1)(c-3)=-1$
とかける。

これを計算して、
$c^2-2c-3=-1$
$c^2-2c-2=0$

解の公式より、
$$\begin{array}{rl}c& =\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}\\ & =\frac{2\pm \sqrt{2^2+2^2\cdot 2}}{2}\\ & =\frac{2\pm 2\sqrt{1+2}}{2}\\ & =1\pm \sqrt{3}\end{array}$$ となる。

今は$2\leqq c\leqq 3$の場合を考えているので、$c=1-\sqrt{3}$は不適。
よって、$G_1$のときの$c$は$1+\sqrt{3}$だ。

この
$c=1+\sqrt{3}$式Ｆ
を使って$G_1$の頂点の座標を求める。

反射的に式Ａや式Ｂに代入して$G_1$の式を求めそうになるけど、ちょっと落ち着こう。
計算はできるだけしたくないし、楽な方法を考える。

考えてみると、$G_1$のグラフは図Ｃのようになっている。

図の固定

放物線の軸は$(c,0)$と$(c+4,0)$の中点を通る。
よって、放物線の軸は、
$x=c+2$
である。

いま、$c=1+\sqrt{3}$なので、放物線の軸は
$x=1+\sqrt{3}+2$
$x$$=3+\sqrt{3}$
となる。
これが頂点の$x$座標だ。

次は、頂点の$y$座標。
これも、計算はできるだけ避ける方向で考える。

$G_1$は$y=x^2$のグラフを平行移動したもの。
つまり、図Ｄのような移動だ。

図の固定

図Ｄ中の点Ａを考えると、$x$座標は$2$のはず。
これを$y=x^2$に代入すると 点Ａの$y$座標は$4$になるから、図中のオレンジの線の長さは$4$だ。

図中のオレンジの線と赤い線の長さは等しい。
なので、赤い線の長さも$4$である。
よって、$G_1$の頂点の$y$座標は$-4$である。

以上より、$G_1$の頂点は$(3+\sqrt{3},-4)$なので、
$G_1$は $y=x^2$のグラフを

$x$軸方向に$3+\sqrt{3}$ $y$軸方向に$-4$

平行移動したものである。

解答ネ：３, ノ：３, ハ：－, ヒ：４

このときの放物線と$y$軸との交点の$y$座標は、式Ｂに
$\{\begin{array}{l}c=1+\sqrt{3}\\ x=0\end{array}$
を代入して、

$\begin{array}{rl}y=0^2-& 2(c+2)\cdot 0\\ & +(1+\sqrt{3})\{(1+\sqrt{3})+4\}\end{array}$
とかける。

あとはこれを計算して、
$$\begin{array}{rl}y& =(1+\sqrt{3})(5+\sqrt{3})\\ & =5+6\sqrt{3}+3\\ & =8+6\sqrt{3}\end{array}$$ である。

解答フ：８, ヘ：６, ホ：３

$G_1$の式は、式Ｂに式Ｆを代入して、
$$\begin{array}{rl}y& =x^2-2(1+\sqrt{3}+2)x\\ & +(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3}+4)\\ & =x^2-2(3+\sqrt{3})x+(1+\sqrt{3})(5+\sqrt{3})\end{array}$$ 式Ｇ

右辺を平方完成する。
$$\begin{array}{rl}y& ={\{x-(3+\sqrt{3})\}}^2-{(3+\sqrt{3})}^2\\ & +(1+\sqrt{3})(5+\sqrt{3})\\ & ={\{x-(3+\sqrt{3})\}}^2\\ & +(-9-6\sqrt{3}-3+5+6\sqrt{3}+3)\\ & ={\{x-(3+\sqrt{3})\}}^2-4\end{array}$$

より、$G_1$の頂点は$(3+\sqrt{3},-4)$なので、
$G_1$は $y=x^2$のグラフを
$x$軸方向に$3+\sqrt{3}$ $y$軸方向に$-4$ 平行移動したものである。

解答ネ：３, ノ：３, ハ：－, ヒ：４

このときの放物線と$y$軸との交点の$y$座標は、式Ｇに$x=0$を代入して、
$\begin{array}{rl}y=0^2-& 2(3+\sqrt{3})\cdot 0\\ & +(1+\sqrt{3})(5+\sqrt{3})\end{array}$
とかける。

あとはこれを計算して、
$$\begin{array}{rl}y& =(1+\sqrt{3})(5+\sqrt{3})\\ & =5+6\sqrt{3}+3\\ & =8+6\sqrt{3}\end{array}$$ である。

解答フ：８, ヘ：６, ホ：３