直線$\ell$は放物線$C$と$x=t$で接する。
よって、傾きは、$C$の式を微分した
$y^{\prime }=2x+2$
に
$x=t$
を代入した
$2t+2$式Ａ
である。

傾きが式Ａである直線が、点
$(t,t^2+2t+1)$
を通るので、$\ell$の式は
$y-(t^2+2t+1)=(2t+2)(x-t)$
とかける。

これを整理すると、
$$\begin{array}{rl}y& =(2t+2)x-t(2t+2)+(t^2+2t+1)\\ & =(2t+2)x-2t^2-2t+t^2+2t+1\\ & =(2t+2)x-t^2+1\mathrm{①}\end{array}$$ と表せる。

解答ア：２, イ：２, ウ：１

放物線$D$についても、上と同じ作業をしよう。

直線$\ell$は$D$と$x=s$で接する。
なので、傾きは、$D$の式を微分した
$y^{\prime }=2x-(4a-2)$
に
$x=s$
を代入して、
$2s-(4a-2)$式Ｂ
である。

傾きが式Ｂである直線が、点
$(s,f(s))$
を通るので、$\ell$の式は
$y-f(s)=\{2s-(4a-2)\}(x-s)$
より
$y=\{2s-(4a-2)\}(x-s)+f(s)$
とかける。

これに
$f(s)=s^2-(4a-2)s+4a^2+1$
を代入して、
$\begin{array}{rl}y=\{2s& -(4a-2)\}(x-s)\\ & +s^2-(4a-2)s+4a^2+1\end{array}$

途中式

これを整理して、
$$\begin{array}{rl}y& =\{2s-(4a-2)\}x-s\{2s-(4a-2)\}\\ & +s^2-(4a-2)s+4a^2+1\\ & =(2s-4a+2)x-2s^2+(4a-2)s\\ & +s^2-(4a-2)s+4a^2+1\end{array}$$

$\phantom{y}=(2s-4a+2)x-s^2+4a^2+1$②
と表せる。

解答エ：２, オ：４, カ：２, キ：４, ク：１

①と②は両方とも直線$\ell$の式なので、同じ式だ。
よって、２つの式の$x$の係数（赤い部分）同士，定数項（青い部分）同士は等しい。
このことから、連立方程式
$\{\begin{array}{l}2t+2=2s-4a+2\mathrm{式}Ｃ\\ -t^2+1=-s^2+4a^2+1\mathrm{式}Ｄ\end{array}$
ができる。
方程式が２つなのに文字が３つあるけど、$a$は今は定数扱いなので大丈夫。

式Ｃを変形して、
$2t=2s-4a$
$t=s-2a$式Ｃ'

これを式Ｄに代入して、
$-(s-2a{)}^2+1=-s^2+4a^2+1$
より

途中式

$-(s-2a{)}^2=-s^2+4a^2$
$-s^2+4as-4a^2=-s^2+4a^2$
$4as-4a^2=4a^2$

$4as=8a^2$
ここで、$a>0$より$a\ne 0$なので、両辺を$4a$で割って、
$s=2a$
である。

これを式Ｃ'に代入して、
$t=0$
となる。

解答ケ：０, コ：２

よって、図Ａより$C$と$\ell$は$y$軸上で接し、$\ell$の方程式は
$y=2x+1$式Ｅ
である。

解答サ：２, シ：１

２つの放物線の交点の$x$座標は、$C$の式と$D$の式の連立方程式を解いて、
$x^2+2x+1=x^2-(4a-2)x+4a^2+1$
より

途中式

$2x=-(4a-2)x+4a^2$
$2x+(4a-2)x=4a^2$
$(2+4a-2)x=4a^2$

$4ax=4a^2$

ここで、$a>0$より$a\ne 0$なので、両辺を$4a$で割って、
$x=a$
となる。

解答ス：ａ

よって、放物線$C$と直線$\ell$，$x=a$で囲まれた図形は、図Ｂの赤い部分。

赤い部分の面積$S$は、
$S={\displaystyle {\int }_0^a(C}$の式$-\ell$の式$)dx$式Ｆ
より
$S={\displaystyle {\int }_0^a\{(x^2+2x+1)-(2x+1)\}dx}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{S}& ={\int }_0^a{x}^{2}dx\\ & ={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^a\end{array}$$

$\phantom{S}={\displaystyle \frac{a^3}{3}}$式Ｇ
である。

解答セ：３, ソ：３

次は、$a$が動いたときの領域の面積の問題。

面積を求める領域は、図Ｃの斜線の部分のうち、$x=1$より左の赤い部分。
$a$が動くと、赤い部分は図Ｃのように変化する。

図Ｃより、$a$が$1$より大きいときは、赤い部分は変化がないことが分かる。

よって、$a>1$のとき、
$T={\displaystyle {\int }_0^1(C}$の式$-\ell$の式$)dx$
だけど、これは、は式Ｆの積分の上限が$a$から$1$に変わっただけ。
なので、(2)の結果をそのまま使おう。
式Ｇの$a$を$1$にかえて、
$$\begin{array}{rl}T& =\frac{1^3}{3}\\ & =\frac{1}{3}\end{array}$$ である。

解答タ：１, チ：１, ツ：３

さらに、図Ｃより、${\displaystyle \frac{1}{2}\leqq a\leqq 1}$のとき、赤い部分は図Ｄのようになる。

図Ｄより、$T$は、
$$\begin{array}{rl}& T={\int }_0^a(C\text{の式}-\ell \text{の式})dx\\ & +{\int }_a^1(D\text{の式}-\ell \text{の式})dx\mathrm{式}Ｈ\end{array}$$ だけど、この式の青い部分は(2)で求めた式Ｇだ。
なので、赤い部分だけ計算しよう。

式Ｈの赤い部分を計算すると、
${\displaystyle {\int }_a^1(D}$の式$-\ell$の式$)dx$
$={\displaystyle {\int }_a^1\left[\begin{array}{rl}\{x^2-(4a-& 2)x+4a^2+1\}\\ & -(2x+1)\end{array}\right]dx}$

途中式

$$\begin{array}{rl}& ={\int }_a^1(x^2-4ax+4a^2)dx\\ & ={[\frac{x^3}{3}-\frac{4a{x}^2}{2}+4a^{2}x]}_a^1\\ & ={[\frac{x^3}{3}-2a{x}^2+4a^{2}x]}_a^1\\ & =(\frac{1}{3}-2a+4a^2)\\ & -(\frac{a^3}{3}-2a^3+4a^3)\end{array}$$

$=-{\displaystyle \frac{a^3}{3}}-2a^3+4a^2-2a+{\displaystyle \frac{1}{3}}$
となる。

よって、$T$は、
$$\begin{array}{rl}T& =\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{3}-2a^3+4a^2-2a+\frac{1}{3}\\ & =-2a^3+4a^2-2a+\frac{1}{3}\mathrm{式}Ｈ\end{array}$$ である。

解答テ２, ト：４, ナ：２, ニ：１, ヌ：３

$U=2T-3S$
に式Ｇと式Ｈを代入して、$U$は
$$\begin{array}{rl}U& =2(-2a^3+4a^2-2a+\frac{1}{3})-3\cdot \frac{a^3}{3}\\ & =-4a^3+8a^2-4a+\frac{2}{3}-a^3\\ & =-5a^3+8a^2-4a+\frac{2}{3}\mathrm{式}Ｉ\end{array}$$ とかける。

これを$a$について微分すると、
$U^{\prime }=-15a^2+16a-4$
なので、$U^{\prime }=0$のとき、
$-15a^2+16a-4=0$
より
$15a^2-16a+4=0$
となる。

これをたすきがけして、

$5a$		$-2$	→	$-10a$
$3a$		$-2$	→	$-6a$
$15a^2$		$+4$		$-16a$

より
$(5a-2)(3a-2)=0$
となるから、
$a={\displaystyle \frac{2}{5}}$，${\displaystyle \frac{2}{3}}$式Ｊ
のときに$U$は極値をとる。

いま、問われているのは${\displaystyle \frac{1}{2}\leqq a\leqq 1}$のときの$U$の最大値。
式Ｊのうち、$a$の定義域に入っているのは${\displaystyle \frac{2}{3}}$だけだ。
なので、${\displaystyle \frac{1}{2}\leqq a\leqq 1}$の範囲で増減表を書くと、

$a$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	$\cdots$	${\displaystyle \frac{2}{3}}$	$\cdots$	$1$
$U^{\prime }$	$+$		$0$	$-$
$U$	$\nearrow$		極大値	$\searrow$

となる。

増減表より、最大値をとるのは
$a={\displaystyle \frac{2}{3}}$
のとき。

解答ネ：２, ノ：３

そのときの最大値は、式Ｉに$a={\displaystyle \frac{2}{3}}$を代入して、
$U=-5{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^3+8{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2-4\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}U& =-5\cdot \frac{2^3}{3^3}+8\cdot \frac{2^2}{3^2}-3\cdot \frac{2}{3}\\ & =-5\cdot \frac{2^3}{3^3}+8\cdot \frac{2^2\cdot 3}{3^2\cdot 3}-3\cdot \frac{2\cdot 3^2}{3\cdot 3^2}\\ & =\frac{1}{3^3}(-5\cdot 2^3+8\cdot 2^2\cdot 3-3\cdot 2\cdot 3^2)\\ & =\frac{2}{3^3}(-5\cdot 2^2+8\cdot 2\cdot 3-3\cdot 3^2)\\ & =\frac{2}{3^3}(-20+48-27)\\ & =\frac{2}{3^3}\cdot 1\end{array}$$

$\phantom{U}={\displaystyle \frac{2}{27}}$
である。

解答ハ：２, ヒ：２, フ：７