大学入試センター試験 2020年(令和２年) 本試 数学ⅠＡ 第１問 [2] 解説

問題を解く準備

まず最初にすることは、問題の集合を目に見える形にすることだ。
というわけで、集合P，Q，Rをベン図で表そう。

Pは4の倍数の自然数の集合
Qは6の倍数の自然数の集合
なので、集合P，Qは図Ａのような関係になる。

図Ａ
大学入試センター試験2020年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ａ

集合PとQの共通部分、つまり図Ａの青い部分は、4と6の公倍数の集合だ。
これは、4と6の最小公倍数である12の倍数の自然数の集合ともいえる。

Rは24の倍数の自然数の集合
なので、集合Rは図Ａの青い部分に含まれる。

以上より、図Ａに集合Rを書き加えると図Ｂのようになる。

図Ｂ
大学入試センター試験2020年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｂ

集合P，Q，Rの関係が分かったところで、問題を解きはじめよう。

(1)

32は4の倍数だけど、6の倍数じゃない。
つまり、集合Pのメンバーだけど、集合Qのメンバーじゃない。
ベン図で表すと、図Ｃの青い集合に含まれる。

図Ｃ
大学入試センター試験2020年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｃ

図Ｃの青い集合は、
P かつ Qの外
なので
P∩Q―
とかけるから、
32∈P∩Q―
である。

解答ス：２

(2)

P∩Qは、図Ａの青い部分。
始めに考えたように、これは12の倍数の自然数の集合なので、最小のメンバーは
12
である。

解答セ：１, ソ：２

また、12は24の倍数じゃないから、図Ｄのように、Rには含まれない。

図Ｄ
大学入試センター試験2020年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｄ

なので、
12∉R
である。

解答タ：４

アドバイス

⊂，⊃は、集合同士の場合に使う。
この問題の場合、12は集合ではなくメンバー（要素）なので、
12⊂R
は不適。

(3)

最初に、反例について復習しておこう。

復習

命題が偽であることを証明するには、反例を一つあげればよい。
このことについて、簡単な命題を例に考えてみよう。

例１：偶数は、奇数である。（偶数⇒奇数）

図Ｅ
大学入試センター試験2020年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｅ

この命題を集合で表すと、
仮定：偶数
結論：奇数
なので、ベン図は図Ｅのようになる（図中、緑が仮定の集合，斜線部が結論の集合）。

この命題は偽で、反例は例えば２だ。
この反例の２は、図Ｅでは赤い点にあたる。

例２：偶数は、３の倍数である。（偶数⇒３の倍数）

図Ｆ
大学入試センター試験2020年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｆ

この命題を集合で表すと、
仮定：偶数
結論：３の倍数
なので、ベン図は図Ｆのようになる（図中、緑が仮定の集合，斜線部が結論の集合）。

この命題は偽で、反例は例えば２だ。
この反例の２は、図Ｆでは赤い点にあたる。

例２：偶数は、４の倍数である。（偶数⇒４の倍数）

図Ｇ
大学入試センター試験2020年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｇ

この命題を集合で表すと、
仮定：偶数
結論：４の倍数
なので、ベン図は図Ｇのようになる（図中、緑が仮定の集合，斜線部が結論の集合）。

この命題は偽で、反例は例えば２だ。
この反例の２は、図Ｇでは赤い点にあたる。

以上から、仮定の集合と結論の集合がどのような関係にあっても、反例とは
仮定の集合に含まれて結論の集合には含まれないメンバー（要素） であることが分かる。

復習より、選択肢のうち、12が
仮定の集合に含まれて 結論の集合には含まれない ものを探せばよい。

図Ｈ
大学入試センター試験2020年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｈ

⓪ 図Ｈで、
仮定のpかつqは緑の部分
結論のr―は斜線の部分
12の赤い点は仮定にも結論にも含まれているから、反例ではない。

図Ｉ
大学入試センター試験2020年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｉ

① 図Ｉで、
仮定のpまたはqは緑の部分
結論のr―は斜線の部分
12の赤い点は仮定にも結論にも含まれているから、反例ではない。

図Ｊ
大学入試センター試験2020年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｊ

② 図Ｊで、
仮定のrは緑の部分
結論のpかつqは斜線の部分
12の赤い点は仮定に含まれていないし、結論に含まれているから、反例ではない。

図Ｋ
大学入試センター試験2020年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｋ

③ 図Ｋで、
仮定のpかつqは緑の部分
結論のrは斜線の部分
12の赤い点は仮定に含まれていて結論には含まれていないから、これが反例だ。

解答チ：３