まず、加法定理の復習から。

公式

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
${\displaystyle \tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

加法定理より
${\displaystyle \cos (\theta -\frac{\pi }{3})=\cos \theta \cos \frac{\pi }{3}+\sin \theta \sin \frac{\pi }{3}}$
より
${\displaystyle \cos (\theta -\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2}\cos \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta }$

この両辺に$\sqrt{3}$をかけて、①の右辺は、
${\displaystyle \sqrt{3}\cos (\theta -\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{3}{2}\sin \theta }$
となる。

解答ア：３, イ：２, ウ：３

よって、①は、
${\displaystyle \sin \theta >\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{3}{2}\sin \theta }$
より
${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\sin \theta <0}$①'
と変形できる。

ここで、三角関数の合成の復習だ。

復習

$a\sin \theta +b\cos \theta =r\sin (\theta +\alpha )$

図は$0<a$，$0<b$のとき

なので、図Ａより、①'は
$\sin (\theta +\frac{\pi }{3})<0$①''
となる。

解答エ：３

あとは、見慣れた三角不等式だ。

${\displaystyle \theta +\frac{\pi }{3}=A}$式Ａ
とおくと、①''は
$\sin A<0$
とかける。

また、$0\leqq \theta <2\pi$なので、$A$の定義域は
${\displaystyle \frac{\pi }{3}\leqq \theta +\frac{\pi }{3}<2\pi +\frac{\pi }{3}}$
より、
${\displaystyle \frac{\pi }{3}\leqq A<2\pi +\frac{\pi }{3}}$
である。

以上をグラフにすると、図Ｂができる。
緑は、定義域だ。

今は、
$\sin A<0$
となる範囲を問われている。

$\sin A$が負になるのは、単位円の$y$座標が負になる部分。つまり、図のオレンジの部分。
なので、緑とオレンジの重なる範囲、つまり赤い部分が答えだ。

よって、
$\pi <A<2\pi$式Ｂ
となる。

この$A$の範囲を$\theta$の範囲に変換する。

式Ｂに式Ａを代入して、
${\displaystyle \pi <\theta +\frac{\pi }{3}<2\pi }$
より、求める$\theta$の範囲は
${\displaystyle \frac{2}{3}\pi <\theta <\frac{5}{3}\pi }$
である。

解答オ：２, カ：３, キ：５, ク：３

式Ｄ1の両辺を２乗すると、
$(\sin \theta +\cos \theta {)}^2={\left(\frac{7}{5}\right)}^2$
これを展開して、
${\displaystyle {\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =\frac{7^2}{5^2}}$

これに、式Ｄ2と${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$を代入して、
$1+2{\displaystyle \cdot \frac{k}{25}=\frac{7^2}{5^2}}$
$2{\displaystyle \cdot \frac{k}{25}=\frac{7^2}{5^2}-1}$

両辺を$25$倍して、
$2k=7^2-5^2$
$2k$$=2(7+5)$
$k=12$
である。

解答ケ：１, コ：２

よって、式Ｃは
$25x^2-35x+12=0$式Ｃ'
とかける。

式Ｃ'をたすきがけして、

$5x$		$-3$	→	$-15x$
$5x$		$-4$	→	$-20x$
$25x^2$		$+12$		$-35x$

より、
$(5x-3)(5x-4)=0$
なので、
$x={\displaystyle \frac{3}{5}}$，${\displaystyle \frac{4}{5}}$
である。

この２解が$\sin \theta$と$\cos \theta$で、$\sin \theta \geqq \cos \theta$なので、
$\{\begin{array}{l}\sin \theta =\frac{4}{5}\\ \cos \theta =\frac{3}{5}\end{array}$
となる。

解答サ：４, シ：５, ス：３, セ：５

この$\theta$の角は、図にすると、図Ｃの赤い角だ。

$\theta$の定義域は$0{\displaystyle \leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}}$で、 $\sin \theta \geqq \cos \theta$
なので、
${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq \theta }$
${\displaystyle \frac{1}{2}<\cos \theta }$
なので、
${\displaystyle \theta <\frac{\pi }{3}}$

より
${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq \theta <\frac{\pi }{3}}$
である。

なので、選択肢のうちで当てはまるものは
③
だ。

解答ソ：３