まず、加法定理の復習から。

公式

$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
$\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

加法定理より
$\displaystyle \cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\theta\cos\frac{\pi}{3}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{3}$
より
$\displaystyle \cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$

この両辺に$\sqrt{3}$をかけて、①の右辺は、
$\displaystyle \sqrt{3}\cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{3}{2}\sin\theta$
となる。

解答ア：３, イ：２, ウ：３

よって、①は、
$\displaystyle \sin\theta\gt\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{3}{2}\sin\theta$
より
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{1}{2}\sin\theta\lt0$①'
と変形できる。

ここで、三角関数の合成の復習だ。

復習

$a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)$

図は$0\lt a$，$0\lt b$のとき

なので、図Ａより、①'は
$\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\lt0$①''
となる。

解答エ：３

あとは、見慣れた三角不等式だ。

$\displaystyle \theta+\frac{\pi}{3}=A$式Ａ
とおくと、①''は
$\sin A\lt0$
とかける。

また、$ 0\leqq\theta\lt2\pi$なので、$A$の定義域は
$\displaystyle \frac{\pi}{3}\leqq\theta+\frac{\pi}{3}\lt2\pi+\frac{\pi}{3}$
より、
$\displaystyle \frac{\pi}{3}\leqq A\lt2\pi+\frac{\pi}{3}$
である。

以上をグラフにすると、図Ｂができる。
緑は、定義域だ。

今は、
$\sin A\lt0$
となる範囲を問われている。

$\sin A$が負になるのは、単位円の$y$座標が負になる部分。つまり、図のオレンジの部分。
なので、緑とオレンジの重なる範囲、つまり赤い部分が答えだ。

よって、
$\pi\lt A\lt 2\pi$式Ｂ
となる。

この$A$の範囲を$\theta$の範囲に変換する。

式Ｂに式Ａを代入して、
$\displaystyle \pi\lt\theta+\frac{\pi}{3}\lt2\pi$
より、求める$\theta$の範囲は
$\displaystyle \frac{2}{3}\pi\lt\theta\lt\frac{5}{3}\pi$
である。

解答オ：２, カ：３, キ：５, ク：３

式Ｄ1の両辺を２乗すると、
$(\sin\theta+\cos\theta)^{2}=\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$
これを展開して、
$\displaystyle \sin^{2}\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^{2}\theta=\frac{7^{2}}{5^{2}}$

これに、式Ｄ2と$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$を代入して、
$1+2\displaystyle \cdot\frac{k}{25}=\frac{7^{2}}{5^{2}}$
$2\displaystyle \cdot\frac{k}{25}=\frac{7^{2}}{5^{2}}-1$

両辺を$25$倍して、
$2k=7^{2}-5^{2}$
$2k$$=2(7+5)$
$k=12$
である。

解答ケ：１, コ：２

よって、式Ｃは
$25x^{2}-35x+12=0$式Ｃ'
とかける。

式Ｃ'をたすきがけして、

$5x$		$-3$	→	$-15x$
$5x$		$-4$	→	$-20x$
$25x^{2}$		$+12$		$-35x$

より、
$(5x-3)(5x-4)=0$
なので、
$x=\displaystyle \frac{3}{5}$，$\displaystyle \frac{4}{5}$
である。

この２解が$\sin\theta$と$\cos\theta$で、$\sin\theta\geqq\cos\theta$なので、
$\left\{\begin{array}{l}
\sin\theta=\frac{4}{5}\\
\cos\theta=\frac{3}{5}
\end{array}\right.$
となる。

解答サ：４, シ：５, ス：３, セ：５

この$\theta$の角は、図にすると、図Ｃの赤い角だ。

$\theta$の定義域は$0\displaystyle \leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}$で、 $\sin\theta\geqq\cos\theta$
なので、
$\displaystyle \frac{\pi}{4}\leqq \theta$
$\displaystyle \frac{1}{2}\lt\cos\theta$
なので、
$\displaystyle \theta\lt\frac{\pi}{3}$

より
$\displaystyle \frac{\pi}{4}\leqq \theta\lt\frac{\pi}{3}$
である。

なので、選択肢のうちで当てはまるものは
③
だ。

解答ソ：３