直線$\ell$の式を
$y=(a^2-2a-8)x+a$式Ａ
とする。

直線$\ell$の傾きが負になるのは、$x$の係数の
$a^2-2a-8$
が負になるとき。

このときの$a$は、二次不等式
$a^2-2a-8<0$
を解いて、
$(a+2)(a-4)<0$
より
$-2<a<4$
である。

解答ア：－, イ：２, ウ：４

直線$\ell$と$x$軸との交点の座標を
$(b,0)$
とおく。

これを式Ａに代入すると、
$(a^2-2a-8)b+a=0$
より
$(a^2-2a-8)b=-a$
となる。

問題文より
$a^2-2a-8\ne 0$
なので、両辺を
$a^2-2a-8$
で割って、
$b=-{\displaystyle \frac{a}{a^2-2a-8}}$式Ｂ
とかける。

式Ｂについて、ちょっと考えてみよう。

この考え方をまとめると、表Ａができる。
問題文より
$a^2-2a-8\ne 0$
なので、表Ａには$a^2-2a-8=0$の場合は載せていない。

(1)より
$a^2-2a-8<0$
の解は
$-2<a<4$
なので、すぐに
$a^2-2a-8>0$
の解は
$a<-2$，$4<a$
だと分かる。

これを使って表Ａをちょっと書き直して、

としておこう。

$a>0$の場合に$b>0$となるのは、表Ａ'の青い部分。
つまり、
$\{\begin{array}{l}a>0\\ -2<a<4\end{array}$
の共通部分だ。

これは、数直線を描くまでもなく、
$0<a<4$
である。

解答エ：０, オ：４

$a\leqq 0$の場合に$b>0$となるのは、表Ａ'の緑の部分。
つまり、
$\{\begin{array}{l}a<0\\ a<-2\text{，}4<a\end{array}$
の共通部分だ。

これも、数直線を描くまでもなく、
$a<-2$
である。

解答カ：－, キ：２

直線$\ell$と$x$軸との交点の座標を
$(b,0)$
とおく。

これを式Ａに代入すると、
$(a^2-2a-8)b+a=0$
となる。

問題文より
$a^2-2a-8\ne 0$
なので、両辺を
$a^2-2a-8$
で割って、
$b=-{\displaystyle \frac{a}{a^2-2a-8}}$式Ｂ
とかける。

ここまで、解法１と同じ。

$a>0$のとき$b>0$を、式Ｂを使って書くと、
$-{\displaystyle \frac{\text{正の数}}{a^2-2a-8}=\text{正の数}}$
となる。

これを変形して、
$-\text{正の数}=\text{正の数}\times (a^2-2a-8)$
より
$\text{負の数}=a^2-2a-8$
$a^2-2a-8<0$
と考えられる。

よって、エオの解は、連立不等式
$\{\begin{array}{l}a>0\\ a^2-2a-8<0\end{array}$
の解だ。

(1)より
$a^2-2a-8<0$
の解は
$-2<a<4$
なので、この連立不等式の解は
$\{\begin{array}{l}a>0\\ -2<a<4\end{array}$
の共通部分だ。

これは、数直線を描くまでもなく、
$0<a<4$
である。

解答エ：０, オ：４

$a\leqq 0$のとき$b>0$を、式Ｂを使って書くと、
$-{\displaystyle \frac{0\text{または負の数}}{a^2-2a-8}=\text{正の数}}$式Ｃ
となる。

ところが、左辺の分子が$0$のとき、左辺は$0$となってしまい、式が成り立たない。
よって、$a=0$は不適。
$a<0$のときだけ考えよう。

このとき、式Ｃは
$-{\displaystyle \frac{\text{負の数}}{a^2-2a-8}=\text{正の数}}$
となる。

これを変形して、
$-\text{負の数}=\text{正の数}\times (a^2-2a-8)$
より
$\text{正の数}=a^2-2a-8$
$a^2-2a-8>0$
と考えられる。

よって、カキの解は、連立不等式
$\{\begin{array}{l}a<0\\ a^2-2a-8>0\end{array}$
の解だ。

(1)より
$a^2-2a-8<0$
の解は
$-2<a<4$
なので、
$a^2-2a-8>0$
の解は
$a<-2$，$4<a$
になるはず。
よって、この連立不等式の解は
$\{\begin{array}{l}a<0\\ a<-2\text{，}4<a\end{array}$
の共通部分だ。

これも、数直線を描くまでもなく、
$a<-2$
である。

解答カ：－, キ：２

次は$a=\sqrt{3}$のときの$b$だ。

式Ｂに$a=\sqrt{3}$を代入すると、
$b=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^2-2\sqrt{3}-8}}$
$b$${\displaystyle =-\frac{\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}-5}}$
$b$${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+5}}$
となる。

分母を有理化して、
$b={\displaystyle \frac{\sqrt{3}(2\sqrt{3}-5)}{(2\sqrt{3}+5)(2\sqrt{3}-5)}}$

解答ク：５, ケ：３, コ：６, サ：１, シ：３