箱の中にはカードが$a$枚あり、そのうち$2a$のカードは$1$枚なので、$2a$のカードが出る確率は
${\displaystyle \frac{1}{a}}$
である。

解答ア：１, イ：ａ

ここで、確率変数の平均値と分散・標準偏差の復習をしておこう。

復習

次の表のような確率分布に従う確率変数$X$があるとき、

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	計
$P(X)$	$P(x_1)$	$P(x_2)$	$\cdots$	$P(x_n)$	$1$

$X$の平均$E(X)$は、
$\begin{array}{rl}E(X)=x_1\cdot & P(x_1)+x_2\cdot P(x_2)\\ & +\cdots +x_n\cdot P(x_n)\end{array}$ $X$の分散$V(X)$は、
$\begin{array}{rl}V(X)=& (x_1-E(X){)}^2\cdot P(x_1)\\ & +(x_2-E(X){)}^2\cdot P(x_2)\\ & +\cdots +(x_n-E(X){)}^2\cdot P(x_n)\end{array}$
$X$の標準偏差$\sigma (X)$は、
$\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$
だった。

$a=5$のとき、確率分布表を書くと、表Ａができる。

表Ａ

$X$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	計
$P(X)$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	$1$

表Ａより、$X$の平均$E(X)$は
$$\begin{array}{rl}E(X)& =2\cdot \frac{1}{5}+4\cdot \frac{1}{5}+6\cdot \frac{1}{5}\\ & +8\cdot \frac{1}{5}+10\cdot \frac{1}{5}\\ & =\frac{2+4+6+8+10}{5}\\ & =6\end{array}$$ である。

解答ウ：６

また、表Ａより、$X$の分散$V(X)$は
$$\begin{array}{rl}V(X)& =(2-6{)}^2\cdot \frac{1}{5}+(4-6{)}^2\cdot \frac{1}{5}\\ & +(6-6{)}^2\cdot \frac{1}{5}+(8-6{)}^2\cdot \frac{1}{5}\\ & +(10-6{)}^2\cdot \frac{1}{5}\\ & =\frac{4^2}{5}+\frac{2^2}{5}+\cdot \frac{0^2}{5}+\frac{2^2}{5}+\frac{4^2}{5}\\ & =\frac{2\cdot (4^2+2^2)}{5}\\ & =8\end{array}$$ である。

解答エ：８

さらに、確率変数の変換の復習をしよう。

復習

確率変数$X$の
平均値を$E(X)$ 分散を$V(X)$ 標準偏差を$\sigma (X)$ とする。

$X$と定数$a$，$b$を用いて、確率変数$Y$を
$Y=aX+b$
と定める。

このとき、$Y$の
平均$E(Y)=aE(X)+b$ 分散$V(Y)=a^{2}V(X)$ 標準偏差$\sigma (Y)=|a|\sigma (X)$ である。

確率変数$sX+t$の
平均値が
$E(sX+t)=20$
分散が
$V(sX+t)=32$
にしたい。

復習とウ，エより、
$$\begin{array}{rl}E(sX+t)& =sE(X)+t\\ & =6s+t\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V(sX+t)& =s^{2}V(X)\\ & =8s^2\end{array}$$ である。
以上より、連立方程式
$\{\begin{array}{l}6s+t=20\\ 8s^2=32\end{array}$
ができる。

この連立方程式を解く。
下の式より、
$s^2=4$
$s=\pm 2$
$0<s$なので、
$s=2$
これを上の式に代入して、
$6\cdot 2+t=20$
$t=20-12$
$t$$=8$
である。

解答オ：２, カ：８

よって、
$X=2$のとき、
$$\begin{array}{rl}sX+t& =2\cdot 2+8\\ & =12\end{array}$$ $X=4$のとき、
$$\begin{array}{rl}sX+t& =2\cdot 4+8\\ & =16\end{array}$$ $X=6$のとき、
$$\begin{array}{rl}sX+t& =2\cdot 6+8\\ & =20\end{array}$$ $X=8$のとき、
$$\begin{array}{rl}sX+t& =2\cdot 8+8\\ & =24\end{array}$$ $X=10$のとき、
$$\begin{array}{rl}sX+t& =2\cdot 10+8\\ & =28\end{array}$$ なので、確率変数$sX+t$の確率分布表は表Ｂになる。

表Ｂ

$sX+t$	$12$	$16$	$20$	$24$	$28$	計
$P(sX+t)$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	$1$

$sX+t$が$20$以上になるのは、表Ｂの赤い部分。
なので、確率は
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}& =\frac{3}{5}\\ & =0.6\end{array}$$ である。

解答キ：６

なので、事象$\mathrm{A}$の起こる確率は、
${\displaystyle \frac{{}_a{\mathrm{C}}_3}{{}_a{\mathrm{P}}_3}}={\displaystyle \frac{\frac{{}_a{\mathrm{P}}_3}{3!}}{{}_a{\mathrm{P}}_3}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{{\displaystyle \frac{{}_a{\mathrm{C}}_3}{{}_a{\mathrm{P}}_3}}}& =\frac{\frac{{}_a{\mathrm{P}}_3}{3!}\cdot 3!}{{}_a{\mathrm{P}}_3\cdot 3!}\\ & =\frac{1}{3!}\end{array}$$

$\phantom{{\displaystyle \frac{{}_a{\mathrm{C}}_3}{{}_a{\mathrm{P}}_3}}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$
である。

解答ク：１, ケ：６

一定の確率で事象$\mathrm{A}$が起こる試行を繰り返すので、二項分布を使おう。
二項分布についても復習をしておく。

復習

確率$p$で事象$\mathrm{A}$が起こる試行を$n$回繰り返し、$\mathrm{A}$が起こった回数を$X$とすると、$X$の確率分布は二項分布$B(n,p)$である。
確率変数$X$の
平均$E(X)=np$ 分散$V(X)=np(1-p)$ 標準偏差$\sigma (X)=\sqrt{np(1-p)}$ になる。

$Y$は二項分布${\displaystyle B(180,\frac{1}{6})}$に従うので、
平均$m=180{\displaystyle \cdot \frac{1}{6}}$
平均$m$$=30$
分散${\displaystyle {\sigma }^2=180\cdot \frac{1}{6}(1-\frac{1}{6})}$
分散${\displaystyle {\sigma }^2}$${\displaystyle =180\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}}$
分散${\sigma }^2$$=25$
である。

解答コ：３, サ：０, シ：２, ス：５

復習

$n$が大きいとき、二項分布$B(n,p)$に従う確率変数$X$は、近似的に正規分布$N(np,np(1-p))$に従う。

復習より、近似的に、$Y$は正規分布$N(30,25)$に従う。
なので、事象$\mathrm{A}$が$18$回以上$36$回以下起こる確率は、図Ａの緑の部分の面積になる。

正規分布表を見て図Ａの緑の部分の面積を求めるんだけど、
正規分布表に載っているのは$N(0,1)$の標準正規分布 面積を求めたいのは$N(30,25)$の正規分布 だから、そのままでは正規分布表が使えない。
$N(30,25)$を標準化して、$N(0,1)$に変換しよう。

復習

確率変数を、
平均$0$ 標準偏差$1$ に変換することを、標準化という。

もとの確率変数を$Y$とし、
$Y$の平均値を$m$ $Y$の標準偏差を$\sigma$ 変換後の標準化された確率変数を$Z$ とすると、変換式は
$Z={\displaystyle \frac{Y-m}{\sigma }}$
である。

ここで、
$Y$の平均$m$は$30$ $Y$の分散は$25$だから、
標準偏差$\sigma =5$ なので、
$18\leqq Y\leqq 36$
の各辺を復習の方法で標準化すると、
${\displaystyle \frac{18-30}{5}\leqq \frac{Y-m}{\sigma }\leqq \frac{36-30}{5}}$
$-2.4{\displaystyle \leqq \frac{Y-m}{\sigma }\leqq 1.2}$
問題文から、${\displaystyle \frac{Y-m}{\sigma }=Z}$なので、この式は
$-2.4\leqq Z\leqq 1.2$
とかける。

解答セ：２, ソ：４, タ：０, チ：１, ツ：２, テ：０

以上の標準化で、図Ａは図Ｂのように変換される。

図Ｂの緑の部分の面積が、$0.$トナだ。

$Z$は、正分布に従う確率変数$Y$を標準化したものなので、標準正規分布に従う。
なので、正規分布表が使える。

$-2.40\leqq Z\leqq 0$
の部分の面積は
$0\leqq Z\leqq 2.40$
の面積と等しいので、正規分布表より
$0.4918$
である。

$0\leqq Z\leqq 1.20$
の部分の面積は、正規分布表より
$0.3849$
である。

よって、緑の部分の面積は、
$0.4918+0.3849=0.8769$
$0.4918+0.3849$$\doteqdot 0.88$
である。

解答ト：８, ナ：８

標本比率は、
${\displaystyle \frac{320}{400}=\frac{4}{5}}$
      $=0.8$
である。

解答ニ：８

ここで、母比率の推定の復習をしておこう。

復習

標本比率を$r$，標本の大きさを$n$とすると、母比率$p$を推定する式は、
${\displaystyle r-z\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}\leqq p\leqq r+z\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}}$
ただし、$z$は
信頼度95％のとき、$1.96$
信頼度99％のとき、$2.58$
だった。

今回の問題では、
標本の大きさは$n=400$ 標本比率は$r=0.8$ 信頼度は95％なので、$z=1.96$ なので、復習より、
$\begin{array}{rl}& 0.8-1.96\sqrt{\frac{0.8(1-0.8)}{400}}\\ & \leqq p\leqq \\ & 0.8+1.96\sqrt{\frac{0.8(1-0.8)}{400}}\end{array}$

途中式

$\begin{array}{rl}& 0.8-1.96\sqrt{\frac{0.2\times 0.2}{100}}\\ & \leqq p\leqq \\ & 0.8+1.96\sqrt{\frac{0.2\times 0.2}{100}}\end{array}$
$\begin{array}{rl}& 0.8-1.96\sqrt{\frac{(0.2{)}^2}{(10{)}^2}}\\ & \leqq p\leqq \\ & 0.8+1.96\sqrt{\frac{(0.2{)}^2}{(10{)}^2}}\end{array}$
$0.8-1.96\cdot {\displaystyle \frac{0.2}{10}}\leqq p\leqq 0.8+1.96\cdot {\displaystyle \frac{0.2}{10}}$
$0.8-0.0392\leqq p\leqq 0.8+0.0392$

$0.7608\leqq p\leqq 0.8392$
である。
問題文中のマスは小数第２位までなので、上の式を小数第３位で四捨五入して、
$0.76\leqq p\leqq 0.84$
となる。

解答ヌ：７, ネ：６, ノ：８, ハ：４

復習より、信頼区間の幅は
${\displaystyle (r+z\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}})-(r-z\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}})}$
${\displaystyle =2z\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}}$
であることが分かる。

$L_1$は、
標本の大きさ$400$ 標本比率$0.8$ の信頼区間の幅なので、
${\displaystyle L_1=2z\sqrt{\frac{0.8(1-0.8)}{400}}}$式Ａ
$L_2$は、
標本の大きさ$400$ 標本比率$0.6$ の信頼区間の幅なので、
${\displaystyle L_2=2z\sqrt{\frac{0.6(1-0.6)}{400}}}$式Ｂ
$L_3$は、
標本の大きさ$500$ 標本比率$0.8$ の信頼区間の幅なので、
${\displaystyle L_3=2z\sqrt{\frac{0.8(1-0.8)}{500}}}$式Ｃ
である。
信頼度95％は共通なので、$z$は$1.96$とせずに$z$のままおいておいた。

式Ａ，式Ｂ，式Ｃを見比べると、√の中だけ違う。
なので、この部分だけ計算しよう。

$L_1$の根号の中は、さっきの計算から
${\displaystyle \frac{0.8(1-0.8)}{400}=\frac{(0.2{)}^2}{100}}$
                 $={\displaystyle \frac{0.04}{100}}$
$L_2$の根号の中は、
${\displaystyle \frac{0.6(1-0.6)}{400}=\frac{0.6\times 0.4}{400}}$
                 $={\displaystyle \frac{0.6\times 0.1}{100}}$
                 $={\displaystyle \frac{0.06}{100}}$
$L_3$の根号の中は、
${\displaystyle \frac{0.8(1-0.8)}{500}=\frac{0.8\times 0.2}{500}}$
                 $={\displaystyle \frac{0.16}{500}}$
分母分子を$5$で割って、
                 $={\displaystyle \frac{\frac{0.16}{5}}{100}}$
                 $={\displaystyle \frac{0.032}{100}}$
となる。

この３つの数を比べると、
${\displaystyle \frac{0.032}{100}<\frac{0.04}{100}<\frac{0.06}{100}}$
なので、
$L_3<L_1<L_2$
である。

解答ヒ：４