$\{a_n\}$は等差数列なので、一般項を
$a_n=a_1+(n-1)d$
とおくと、
第４項が$30$なので、
$a_1+(4-1)d=30$
より
$a_1+3d=30$式Ａ
初項から第８項までの和が$288$なので、等差数列の和の公式より
${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 8\cdot (a_1+a_8)=288}$
$a_1+a_8={\displaystyle \frac{288}{4}}$
$a_1+\{a_1+(8-1)d\}=72$
$2a_1+7d=72$式Ｂ
となる。

式Ａ，式Ｂの連立方程式を解く。
式Ａの両辺を２倍して、
$2a_1+6d=60$
これを式Ｂから辺々引いて、

	$2a_1$	$+7d$	$=$	$72$
$-)$	$2a_1$	$+6d$	$=$	$60$
		$d$	$=$	$12$

である。

これを式Ａに代入して、
$a_1+3\cdot 12=30$
$a_1=30-36$
$a_1$$=-6$
である。

解答ア：－, イ：６, ウ：１, エ：２

よって、
$a_n=-6+12(n-1)$
より
$a_n=12n-18$式Ｃ
となる。

式Ｃを等差数列の和の公式に代入して、
$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{1}{2}n(a_1+a_n)\\ & =\frac{1}{2}n\{-6+(12n-18)\}\\ & =\frac{1}{2}n(12n-24)\\ & =6n^2-12n\mathrm{式}Ｄ\end{array}$$ である。

解答オ：６, カ：１, キ：２

$\{b_n\}$は等比数列なので、一般項を
$b_n=b_1\cdot r^{n-1}$
とおくと、
第２項が$36$なので、
$b_1\cdot r^{2-1}=36$
$b_1\cdot r=36$式Ｅ
初項から第３項までの和が$156$なので、等比数列の和の公式より
${\displaystyle \frac{b_1(1-r^3)}{1-r}=156}$式Ｆ
となる。

式Ｅ，式Ｆの連立方程式を解く。
式Ｆを式Ｅで辺々割って、
${\displaystyle \frac{b_1(1-r^3)}{b_1\cdot r(1-r)}=\frac{156}{36}}$
${\displaystyle \frac{b_1(1-r)(1+r+r^2)}{b_1\cdot r(1-r)}=\frac{156}{36}}$
両辺を約分して、
${\displaystyle \frac{1+r+r^2}{r}=\frac{13}{3}}$
両辺に$3r$をかけて、
$3(1+r+r^2)=13r$
$3r^2-10r+3=0$
$(3r-1)(r-3)=0$
$r={\displaystyle \frac{1}{3}}$，$3$
ここで、$1<r$なので、
$r=3$
である。

これを式Ｅに代入して、
$3b_1=36$
$b_1=12$
である。

解答ク：１, ケ：２, コ：３

よって、
$$\begin{array}{rl}{b}_n& =12\cdot 3^{n-1}\\ & =4\cdot 3\cdot 3^{n-1}\\ & =4\cdot 3^n\mathrm{式}Ｇ\end{array}$$ となる。

また、等比数列の和の公式より、
$$\begin{array}{rl}{T}_n& =\frac{12(1-3^n)}{1-3}\\ & =\frac{12(1-3^n)}{-2}\\ & =-6(1-3^n)\\ & =6(3^n-1)\mathrm{式}Ｈ\end{array}$$ である。

解答サ：６, シ：３, ス：１

式を短くするために、
$a_n-b_n=X_n$
とおく。

$c_1=X_1$
$c_2=2X_1+X_2$
$c_3=3X_1+2X_2+X_3$
$⋮$
$\begin{array}{rl}{c}_n=n{X}_1+& (n-1)X_2+(n-2)X_3\\ & +\cdots +X_n\mathrm{式}Ｉ\end{array}$
だから、
$\begin{array}{rl}{c}_{n+1}=(n+& 1)X_1+n{X}_2+(n-1)X_3\\ & +\cdots +2X_n+X_{n+1}\mathrm{式}Ｊ\end{array}$
である。

ここで、
$d_n=c_{n+1}-c_n$ $X_n=a_n-b_n$ なので、この式は
$\begin{array}{rl}{d}_n=& (a_1-b_1)+(a_2-b_2)+(a_3-b_3)\\ & +\cdots +(a_n-b_n)+(a_{n+1}-b_{n+1})\end{array}$
とかける。

これを変形すると、
$\begin{array}{rl}{d}_n=& (a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n+a_{n+1})\\ & -(b_1+b_2+b_3+\cdots +b_n+b_{n+1})\end{array}$
となるけど、
$a_1+a_2+\cdots +a_n=S_n$ $b_1+b_2+\cdots +b_n=T_n$ なので、
$d_n=S_{n+1}-T_{n+1}$式Ｋ
である。

解答セ：５

式Ｋに式Ｄ，式Ｈを代入して、
$d_n=6(n+1{)}^2-12(n+1)-6(3^{n+1}-1)$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{d_n}& =6(n+1)\{(n+1)-2\}-6\cdot 3^{n+1}+6\\ & =6(n+1)(n-1)-2\cdot 3\cdot 3^{n+1}+6\\ & =6n^2-6-2\cdot 3^{n+2}+6\end{array}$$

$\phantom{d_n}=6n^2-2\cdot 3^{n+2}$
となる。

解答ソ：６, タ：３, チ：２

また、
$c_1=a_1-b_1$ $a_1=-6$ $b_1=12$ なので、
$$\begin{array}{rl}{c}_1& =-6-12\\ & =-18\end{array}$$ である。

解答ツ：－, テ：１, ト：８

復習

階差数列からもとの数列の一般項を求める式は、
もとの数列を$\{a_n\}$
階差数列を$\{b_n\}$
とすると、
$a_n=a_1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{b}_k(2\leqq n)}$
だった。

なので、$2\leqq n$のとき
$$\begin{array}{rl}{c}_n& =c_1+\sum _{k=1}^{n-1}{d}_k\\ & =-18+\sum _{k=1}^{n-1}(6k^2-2\cdot 3^{k+2})\end{array}$$ となる。
あとはこれを計算して、

途中式

$$\begin{array}{rl}{c}_n& =-18+\sum _{k=1}^{n-1}(6k^2-2\cdot 3^2\cdot 3^k)\\ & =-18+6\sum _{k=1}^{n-1}{k}^2-2\cdot 3^2\sum _{k=1}^{n-1}{3}^k\\ & =-18+6\cdot \frac{1}{6}(n-1)n\{2(n-1)+1\}\\ & -2\cdot 3^2\cdot \frac{3(1-3^{n-1})}{1-3}\\ & =-18+(n-1)n(2n-1)\\ & +3^3(1-3^{n-1})\\ & =-18+2n^3-3n^2+n+3^3-3^{n+2}\end{array}$$

$\phantom{c_n}=2n^3-3n^2+n+9-3^{n+2}$
である。

これは$n=1$のときも成り立つ。

解答ナ：２, ニ：３, ヌ：９, .ネ：２