次は、$0\leqq x\leqq 4$における最小値の問題。頂点の$x$座標は$1+{\displaystyle \frac{3}{a}}$なので、頂点が動くタイプの二次関数の最小値の問題だ。
なので、まず場合分けから。
下に凸のグラフの最小値を問われているので、いつものように図Ａ，図Ｂ，図Ｃの３通りに場合分けしよう。

最小値が$f(4)$になるのは図Ｃのときで、頂点の$x$座標が$4$以上のとき。
つまり、
$4\leqq 1+{\displaystyle \frac{3}{a}}$
のとき。

これを計算して、
$3\leqq {\displaystyle \frac{3}{a}}$

$a$は正なので、両辺に$a$をかけても不等号の向きは変わらないから、
$3a\leqq 3$
$a\leqq 1$

また、$0<a$なので、最小値が$f(4)$になるのは
$0<a\leqq 1$
のときである。

解答ス：１

最小値が$f(p)$になるのは図Ｂのときで、定義域に頂点が含まれるとき。
つまり、
$0\leqq 1+{\displaystyle \frac{3}{a}}\leqq 4$
のとき。

これを計算して、
$-1\leqq {\displaystyle \frac{3}{a}}\leqq 3$
$a$は正なので、両辺に$a$をかけても不等号の向きは変わらないから、
$-a\leqq 3\leqq 3a$
となる。

この式と、$0<a$より、連立不等式
$\{\begin{array}{l}-a\leqq 3\\ 3\leqq 3a\\ 0<a\end{array}$
ができる。
これをさらに計算して
$\{\begin{array}{l}-3\leqq a\\ 1\leqq a\\ 0<a\end{array}$
より、数直線を描くまでもなく、この連立不等式の解は
$1\leqq a$
である。
なので、最小値が$f(p)$になるのは、
$1\leqq a$
のとき。

解答セ：１

ちなみに、図Ａになるのは
$1+{\displaystyle \frac{3}{a}}\leqq 0$
のときだけど、これを計算すると
${\displaystyle \frac{3}{a}}\leqq -1$
$3\leqq -a$
$a\leqq -3$
となるので、$a$が負になってしまうから不適。
なので、図Ａのパターンは考えなくてよい。

以上より、$0\leqq x\leqq 4$における$y=f(x)$の最小値が$1$になる$a$を求めるためには、
$0<a\leqq 1$のとき、$f(4)=1$式Ａ $1\leqq a$のとき、$f(p)=1$式Ｂ を解けばよい。

式Ａのとき、
$f(4)=a\cdot 4^2-2(a+3)\cdot 4-3a+21$
これが$1$なので、
$a\cdot 4^2-2(a+3)\cdot 4-3a+21=1$

これを計算して、
$16a-8a-24-3a+20=0$
$5a-4=0$
$a={\displaystyle \frac{4}{5}}$
となる。

解答ソ：４, タ：５

式Ｂのとき、
$$\begin{array}{rl}f(p)=& f(1+{\displaystyle \frac{3}{a}})\\ & =a\cdot {(1+{\displaystyle \frac{3}{a}})}^2-2(a+3)(1+{\displaystyle \frac{3}{a}})\\ & -3a+21\end{array}$$ これが$1$なので、
$\begin{array}{rl}a\cdot {(1+{\displaystyle \frac{3}{a}})}^2-2(a+3)& (1+{\displaystyle \frac{3}{a}})\\ & -3a+21=1\end{array}$
とかける。

これを整理すると、

途中式

両辺を$a$倍して、
$\begin{array}{rl}{a}^2\cdot {(1+{\displaystyle \frac{3}{a}})}^2-2(a+3)& (1+{\displaystyle \frac{3}{a}})a\\ & -3a^2+20a=0\end{array}$
$(a+3{)}^2-2(a+3)(a+3)-3a^2+20a=0$
$(a+3{)}^2-2(a+3{)}^2-3a^2+20a=0$
$-(a+3{)}^2-3a^2+20a=0$
$-a^2-6a-9-3a^2+20a=0$
$-4a^2+14a-9=0$

$4a^2-14a+9=0$

解の公式より、
$a={\displaystyle \frac{14\pm \sqrt{{14}^2-4\cdot 4\cdot 9}}{2\cdot 4}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{a}& ={\displaystyle \frac{14\pm \sqrt{2^2\cdot 7^2-2^2\cdot 2^2\cdot 3^2}}{2\cdot 4}}\\ & ={\displaystyle \frac{14\pm 2\sqrt{7^2-2^2\cdot 3^2}}{2\cdot 4}}\\ & ={\displaystyle \frac{7\pm \sqrt{(7+2\cdot 3)(7-2\cdot 3)}}{4}}\end{array}$$

$\phantom{a}={\displaystyle \frac{7\pm \sqrt{13}}{4}}$
だけど、$1\leqq a$なので、${\displaystyle \frac{7-\sqrt{13}}{4}}$は不適。

詳しく

$\sqrt{9}<\sqrt{13}<\sqrt{16}$
なので
$3<\sqrt{13}<4$
この式の各辺に$-1$をかけて、
$-3>-\sqrt{13}>-4$
$-4<-\sqrt{13}<-3$
各辺に$7$をたして、
$3<7-\sqrt{13}<4$
各辺を$4$で割って、
${\displaystyle \frac{3}{4}}<{\displaystyle \frac{7-\sqrt{13}}{4}}<1$
となる。
よって、${\displaystyle \frac{7-\sqrt{13}}{4}}$は$1$より小さい数であるから不適。

よって、
$a={\displaystyle \frac{7+\sqrt{13}}{4}}$
である。

解答チ：７, ツ：１, テ：３, ト：４