図Ａで、△$\mathrm{ABC}$は直角三角形なので、
$\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}$
$\mathrm{BC}^{2}$$=2^{2}+1^{2}=5$
$0 \lt \mathrm{BC}$なので、
$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$
である。

また、$\mathrm{AD}$は$\angle \mathrm{A}$の二等分線なので、
$\mathrm{BD}:\mathrm{CD}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$
$\mathrm{BD}:\mathrm{CD}$$=2:1$
となるから、
$\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{2}{3}\mathrm{BC}$
である。

よって、
$\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{2}{3}\cdot\sqrt{5}$
$\displaystyle \mathrm{BD}$$\displaystyle =\frac{2\sqrt{5}}{3}$
となる。

解答ア：２, イ：５, ウ：３

$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BE}$と、線分と円の交点の長さの積を問われているので、方べきの定理だ。

図Ｂで、円と線分$\mathrm{BA}$，$\mathrm{BD}$に方べきの定理を使うと、
$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BE}=\mathrm{BD}^{2}$
$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BE}$$=\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)^{2}$
$\displaystyle \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BE}$$\displaystyle =\frac{20}{9}$式Ａ
となる。

解答エ：２, オ：０, カ：９

ここで、$\mathrm{AB}=2$なので、式Ａは
$2\displaystyle \mathrm{BE}=\frac{20}{9}$
となるから、
$\displaystyle \mathrm{BE}=\frac{10}{9}$
である。

解答キ：１, ク：０, ケ：９

以上の値を
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{E}}{\mathrm{B}\mathrm{D}}$コ$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}$
に代入すると、
$\displaystyle \frac{\frac{10}{9}}{\frac{2\sqrt{5}}{3}}$コ$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}$
より
$\displaystyle \frac{\frac{10}{9}\cdot\frac{3}{2}}{\frac{2\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{3}{2}}$コ$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}$
$\displaystyle \frac{\frac{5}{3}}{\sqrt{5}}$コ$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}$
となるので、コには$ \lt $が入り
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{E}}{\mathrm{B}\mathrm{D}} \lt \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}$式Ｂ
である。

解答コ：０

さて、問題は式Ｂの意味だ。

もし図Ｃのように$\mathrm{ED}$と$\mathrm{AC}$が平行なら、
△$\mathrm{EBD}$∽△$\mathrm{ABC}$
なので、
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{E}}{\mathrm{B}\mathrm{D}}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}$
となる。

実際には、式Ｂのように
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{E}}{\mathrm{B}\mathrm{D}} \lt \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}$
なので、図Ｃよりも$\mathrm{BE}$が短かったり$\mathrm{BD}$が長かったりする。
つまり、図Ｄのような形になる。

というわけで、直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{DE}$は、図Ｄの右下で交わる。

解答サ：４

次は、$\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{F}}$だ。
線分の長さの比率を問われているので、まず
相似 チェバの定理 メネラウスの定理 の３つを疑おう。
今回はメネラウスの定理だ。

図Ｅの緑の三角形と赤い線にメネラウスの定理を使って、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{B}}\cdot\frac{\mathrm{B}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{C}}\cdot\frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{F}}=1$

これにそれぞれの値を代入して、
$\displaystyle \frac{2-\frac{10}{9}}{\frac{10}{9}}\cdot\frac{\frac{2\sqrt{5}}{3}}{\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{3}}\cdot\frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{F}}=1$

途中式

$\displaystyle \frac{2\cdot 9-10}{10}\cdot\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}-2\sqrt{5}}\cdot\frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{F}}=1$
$\displaystyle \frac{9-5}{5}\cdot\frac{2}{3-2}\cdot\frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{F}}=1$
$\displaystyle \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{F}}=1$
$\displaystyle \frac{8}{5}\cdot\frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{F}}=1$

$\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{F}}=\frac{5}{8}$式Ｃ
となる。

解答シ：５, ス：８

アドバイス

上の解説では、できるだけ単純な考え方をして、値を代入した。
(1)で使った$\mathrm{BD}:\mathrm{CD}=2:1$を憶えていれば、$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{C}}$の部分は、直接
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{C}}=\frac{2}{1}$
となるので、計算が楽になる。

$\mathrm{AF}=\mathrm{CF}+1$なので、これを式Ｃに代入して、
$\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{C}\mathrm{F}+1}=\frac{5}{8}$

途中式

$8\mathrm{CF}=5(\mathrm{CF}+1)$
$8\mathrm{CF}=5\mathrm{CF}+5$
$3\mathrm{CF}=5$

$\displaystyle \mathrm{CF}=\frac{5}{3}$
である。

解答セ：５, ソ：３

また、問題文から$\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{B}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}$になると言う。
分数の形じゃ分かりにくいので、比になおそう。
つまり
$\mathrm{CF}:\mathrm{AC}=\mathrm{BF}:\mathrm{AB}$
になるらしい。
ということは、$\mathrm{BC}$は$\angle \mathrm{ABF}$の二等分線だ。
よって、△$\mathrm{ABF}$で、
$\mathrm{AD}$は$\angle \mathrm{A}$の二等分線 $\mathrm{BC}$は$\angle \mathrm{B}$の二等分線 なので、点$\mathrm{D}$は角の二等分線の交点になる。
以上より、点$\mathrm{D}$は△$\mathrm{ABF}$の内心である。

解答タ：１