図Ａで、△$\mathrm{ABC}$は直角三角形なので、
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{BC}}^2& ={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2\\ & =2^2+1^2=5\end{array}$$ $0<\mathrm{BC}$なので、
$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$
である。

また、$\mathrm{AD}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{A}$の二等分線なので、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{BD}:\mathrm{CD}& =\mathrm{AB}:\mathrm{AC}\\ & =2:1\end{array}$$ となるから、
$\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{BC}$
である。

よって、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{BD}& ={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot \sqrt{5}\\ & ={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{3}}\end{array}$$ となる。

解答ア：２, イ：５, ウ：３

$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BE}$と、線分と円の交点の長さの積を問われているので、方べきの定理だ。

図Ｂで、円と線分$\mathrm{BA}$，$\mathrm{BD}$に方べきの定理を使うと、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BE}& ={\mathrm{BD}}^2\\ & ={\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{3}}\right)}^2\\ & ={\displaystyle \frac{20}{9}}\mathrm{式}Ａ\end{array}$$ となる。

解答エ：２, オ：０, カ：９

ここで、$\mathrm{AB}=2$なので、式Ａは
$2\mathrm{BE}={\displaystyle \frac{20}{9}}$
となるから、
$\mathrm{BE}={\displaystyle \frac{10}{9}}$
である。

解答キ：１, ク：０, ケ：９

以上の値を
${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}}}$コ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$
に代入すると、
${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{10}{9}}}{{\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{3}}}}$コ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$
より
${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{10}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}}{{\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}}}$コ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$
${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{3}}}{\sqrt{5}}}$コ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$
となるので、コには$<$が入り
${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}}}<{\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$式Ｂ
である。

解答コ：０

さて、問題は式Ｂの意味だ。

もし図Ｃのように$\mathrm{ED}$と$\mathrm{AC}$が平行なら、
△$\mathrm{EBD}$∽△$\mathrm{ABC}$
なので、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$
となる。

実際には、式Ｂのように
${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}}}<{\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$
なので、図Ｃよりも$\mathrm{BE}$が短かったり$\mathrm{BD}$が長かったりする。
つまり、図Ｄのような形になる。

というわけで、直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{DE}$は、図Ｄの右下で交わる。

解答サ：４

次は、${\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}}$だ。
線分の長さの比率を問われているので、まず
相似 チェバの定理 メネラウスの定理 の３つを疑おう。
今回はメネラウスの定理だ。

図Ｅの緑の三角形と赤い線にメネラウスの定理を使って、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}}=1$

これにそれぞれの値を代入して、
${\displaystyle \frac{2-\frac{10}{9}}{\frac{10}{9}}}\cdot {\displaystyle \frac{\frac{2\sqrt{5}}{3}}{\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{3}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}}=1$

途中式

${\displaystyle \frac{2\cdot 9-10}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}-2\sqrt{5}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}}=1$
${\displaystyle \frac{9-5}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3-2}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}}=1$
${\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{1}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}}=1$
${\displaystyle \frac{8}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}}=1$

${\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$式Ｃ
となる。

解答シ：５, ス：８

アドバイス

上の解説では、できるだけ単純な考え方をして、値を代入した。
(1)で使った$\mathrm{BD}:\mathrm{CD}=2:1$を憶えていれば、${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}}$の部分は、直接
${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}}={\displaystyle \frac{2}{1}}$
となるので、計算が楽になる。

$\mathrm{AF}=\mathrm{CF}+1$なので、これを式Ｃに代入して、
${\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{CF}+1}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}8\mathrm{CF}& =5(\mathrm{CF}+1)\\ & =5\mathrm{CF}+5\end{array}$$ $3\mathrm{CF}=5$

$\mathrm{CF}={\displaystyle \frac{5}{3}}$
である。

解答セ：５, ソ：３

また、問題文から${\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{AB}}}$になると言う。
分数の形じゃ分かりにくいので、比になおそう。
つまり
$\mathrm{CF}:\mathrm{AC}=\mathrm{BF}:\mathrm{AB}$
になるらしい。
ということは、$\mathrm{BC}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{ABF}$の二等分線だ。
よって、△$\mathrm{ABF}$で、
$\mathrm{AD}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{A}$の二等分線 $\mathrm{BC}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{B}$の二等分線 なので、点$\mathrm{D}$は角の二等分線の交点になる。
以上より、点$\mathrm{D}$は△$\mathrm{ABF}$の内心である。

解答タ：１