第１問目から、センター試験では初めて見るラジアンの定義の問題だ。
知っていると、一瞬で正解は②だと分かるんだけど、知らないとびっくりするかも。

定義を知らなくても、$360^{\circ}$が$ 2\pi$ラジアンなので、これは半径１の円の周の長さだって気づけば、正解の２にはたどり着ける。

それに気づかなかったときは、次のような考え方もある。
問題文にも「弧度」って言葉が出てるけど、ラジアンで角度を表す方法を、弧度法って言った。
ここでは詳しい説明はしないけど、弧度法って言うくらいだから、弧の長さで角度を表す方法だ。
なので、選択肢の⓪と①はない。
で、半径$\pi$の円とか見たことがないと思う。なので、③もないんじゃないかな。
というわけで、定義を知らなくても、消去法で②が正解だと想像はつく。

解答ア：２

ラジアンと度の変換の復習をしておこう。

復習より、$144^{\circ}$を弧度法で表すと、
$\displaystyle \frac{144^{\circ}}{180^{\circ}}\pi$
$=\displaystyle \frac{4}{5}\pi$
となる。

解答イ：４, ウ：５

また、$\displaystyle \frac{23}{12}\pi$ラジアンを度で表すと、
$\displaystyle \frac{23}{12}\times 180^{\circ}$
$=345^{\circ}$
となる。

解答エ：３, オ：４, カ：５

式①を
$2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{5}\right)-2\cos\left(\theta+\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{30}\right)=1$
と変形して
$x=\displaystyle \theta+\frac{\pi}{5}$
を代入すると、
$2\sin x-2\cos\left(x-\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{30}\right)=1$
より
$2\sin x-2\cos\left(x-\frac{6\pi}{6\cdot 5}+\frac{\pi}{30}\right)=1$
$2\sin x-2\cos\left(x-\frac{5\pi}{6\cdot 5}\right)=1$
$2\sin x-2$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$=1$式①'
となる。

解答キ：６

この式の赤い部分に加法定理を使うと、
$\displaystyle \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos x\cos\frac{\pi}{6}+\sin x\sin\frac{\pi}{6}$
$\displaystyle \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x$
ができる。
これを式①'に代入して、
$2\sin x-2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x\right)=1$
$2\sin x-\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$
$\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$
となる。

解答ク：３

この式で三角関数の合成をすると、
$2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1$
となるので、
$\displaystyle \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$式①''
と変形できる。

解答ケ：３, コ：２

これから式①''の方程式を解くのだけれど、その前にもうちょっと式を簡単にしておこう。
$A=x-\displaystyle \frac{\pi}{3}$
とおくと、式①''は
$\displaystyle \sin A=\frac{1}{2}$式Ａ
となる。

次に、$A$の定義域を求める。
$x=\displaystyle \theta+\frac{\pi}{5}$なので、
$A=\displaystyle \theta+\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{3}$
$A\displaystyle $$\displaystyle =\theta+\frac{3\pi}{3\cdot 5}-\frac{5\pi}{5\cdot 3}$
$ A\displaystyle $$\displaystyle =\theta-\frac{2}{15}\pi$式Ｂ
である。

$\theta$の定義域
$\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\pi$
の各辺から$\displaystyle \frac{2}{15}\pi$を引いて、
$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{2}{15}\pi\leqq\theta-\frac{2}{15}\pi\leqq\pi-\frac{2}{15}\pi$
より
$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{2}{15}\pi\leqq\theta-\frac{2}{15}\pi\leqq\pi-\frac{2}{15}\pi$
ここで、$ A=\displaystyle \theta-\frac{2}{15}\pi$なので、
$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{2}{15}\pi\leqq A\leqq\pi-\frac{2}{15}\pi$式Ｃ
となり、$A$の定義域ができた。