第１問目から、センター試験では初めて見るラジアンの定義の問題だ。
知っていると、一瞬で正解は②だと分かるんだけど、知らないとびっくりするかも。

定義を知らなくても、${360}^{\circ }$が$2\pi$ラジアンなので、これは半径１の円の周の長さだって気づけば、正解の２にはたどり着ける。

それに気づかなかったときは、次のような考え方もある。
問題文にも「弧度」って言葉が出てるけど、ラジアンで角度を表す方法を、弧度法って言った。
ここでは詳しい説明はしないけど、弧度法って言うくらいだから、弧の長さで角度を表す方法だ。
なので、選択肢の⓪と①はない。
で、半径$\pi$の円とか見たことがないと思う。なので、③もないんじゃないかな。
というわけで、定義を知らなくても、消去法で②が正解だと想像はつく。

解答ア：２

ラジアンと度の変換の復習をしておこう。

復習より、${144}^{\circ }$を弧度法で表すと、
${\displaystyle \frac{{144}^{\circ }}{{180}^{\circ }}}\pi ={\displaystyle \frac{4}{5}}\pi$
となる。

解答イ：４, ウ：５

また、${\displaystyle \frac{23}{12}}\pi$ラジアンを度で表すと、
${\displaystyle \frac{23}{12}}\times {180}^{\circ }={345}^{\circ }$
となる。

解答エ：３, オ：４, カ：５

式①を
$2\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{5}})-2\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{5}}-{\displaystyle \frac{\pi }{5}}+{\displaystyle \frac{\pi }{30}})=1$
と変形して
$x=\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{5}}$
を代入すると、
$2\sin x-2\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{5}}+{\displaystyle \frac{\pi }{30}})=1$
より
$2\sin x-2\cos (x-{\displaystyle \frac{6\pi }{6\cdot 5}}+{\displaystyle \frac{\pi }{30}})=1$
$2\sin x-2\cos (x-{\displaystyle \frac{5\pi }{6\cdot 5}})=1$
$2\sin x-2\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=1$式①'
となる。

解答キ：６

この式の赤い部分に加法定理を使うと、
$$\begin{array}{rl}\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})& =\cos x\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+\sin x\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cos x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin x\end{array}$$ ができる。
これを式①'に代入して、
$2\sin x-2({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cos x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin x)=1$
$2\sin x-\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$
$\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$
となる。

解答ク：３

この式で三角関数の合成をすると、
$2\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=1$
となるので、
$\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})={\displaystyle \frac{1}{2}}$式①''
と変形できる。

解答ケ：３, コ：２

これから式①''の方程式を解くのだけれど、その前にもうちょっと式を簡単にしておこう。
$A=x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$
とおくと、式①''は
$\sin A={\displaystyle \frac{1}{2}}$式Ａ
となる。

次に、$A$の定義域を求める。
$x=\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{5}}$なので、
$$\begin{array}{rl}A& =\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{5}}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\\ & =\theta +{\displaystyle \frac{3\pi }{3\cdot 5}}-{\displaystyle \frac{5\pi }{5\cdot 3}}\\ & =\theta -{\displaystyle \frac{2}{15}}\pi \mathrm{式}Ｂ\end{array}$$ である。

$\theta$の定義域
${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi$
の各辺から${\displaystyle \frac{2}{15}}\pi$を引いて、
${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{2}{15}}\pi \leqq \theta -{\displaystyle \frac{2}{15}}\pi \leqq \pi -{\displaystyle \frac{2}{15}}\pi$
より
${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{2}{15}}\pi \leqq \theta -{\displaystyle \frac{2}{15}}\pi \leqq \pi -{\displaystyle \frac{2}{15}}\pi$
ここで、$A=\theta -{\displaystyle \frac{2}{15}}\pi$なので、
${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{2}{15}}\pi \leqq A\leqq \pi -{\displaystyle \frac{2}{15}}\pi$式Ｃ
となり、$A$の定義域ができた。