数学Ｂ：統計的な推測母比率の推定

例題

ある県で無作為に回答者を選んでアンケートを行った結果、 $2400$ 人中 $960$ 人が「猫が好き」と答えた。
この県の全人口に占める猫好きの割合の、信頼度95%の信頼区間を求めよ。

公式から求める

公式

標本比率を $R$ ，標本の大きさを $n$ とすると、母比率 $p$ の信頼区間を求める式は、
$R - z \sqrt{\frac{R (1 - R)}{n}} ≦ p ≦ R + z \sqrt{\frac{R (1 - R)}{n}}$
ただし、 $z$ は
信頼度95％のとき、 $1.96$
信頼度99％のとき、 $2.58$

例題の標本の大きさは $2400$ ，標本比率は $\frac{960}{2400} = 0.4$ 。
また、信頼度は $95 %$ なので、母比率 $p$ の信頼区間は、公式より、
$0.4 - 1.96 \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1 - 0.4)}{2400}} ≦ p ≦ 0.4 + 1.96 \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1 - 0.4)}{2400}}$ 式Ａ
となる。

これを計算して、
$0.4 - 1.96 \sqrt{\frac{1}{100^{2}}} ≦ p ≦ 0.4 + 1.96 \sqrt{\frac{1}{100^{2}}}$
$0.4 - \frac{1.96}{100} ≦ p ≦ 0.4 + \frac{1.96}{100}$
$0.3804 ≦ p ≦ 0.4196$
となる。

解答 $[0.3804, 0.4196]$

アドバイス

これでは原理がゼンゼン分からないので、以下に公式を使わない解法を説明した。
ただし、過程がちょっと複雑で面倒なので、センター試験本番では公式を使って解くことをおすすめする。

公式を使わない解法

前振り

分かりにくいけれど、この問題は反復試行だ。

例えば県民全体のちょうど40%が猫好きだった場合（つまり母比率が $0.4$ だった場合）、
一人目の回答者が猫好きの確率は $\frac{4}{10}$
二人目の回答者が猫好きの確率も $\frac{4}{10}$
三人目の回答者が猫好きの確率も $\frac{4}{10}$
$⋮$
$2400$ 人目の回答者が猫好きの確率も $\frac{4}{10}$
である。

これは、赤球が４個白球が６個入っている袋の中から、球を１個取り出して、色を見て袋に戻す試行を繰り返す実験と同じ確率だ。
なので、この問題は反復試行の問題なのだ。

材料になる二項分布をつくる

表Ａ
$X$	$P (X)$
$0$	$p^{0} (1 - p)^{2400} \cdot_{2400} C_{0}$
$1$	$p^{1} (1 - p)^{2399} \cdot_{2400} C_{1}$
$2$	$p^{2} (1 - p)^{2398} \cdot_{2400} C_{3}$
$⋮$
$2399$	$p^{2399} (1 - p)^{1} \cdot_{2400} C_{2399}$
$2400$	$p^{2400} (1 - p)^{0} \cdot_{2400} C_{2400}$
計	$1$

復習

確率 $p$ で事象 $A$ が起こる試行を $n$ 回繰り返し、 $A$ が起こった回数を $X$ とすると、 $X$ の確率分布は二項分布 $B (n, p)$ である。

先に書いたように、これは反復試行の問題だ。なので、県民全体に占める猫好きの割合（母比率）を $p$ とすると、回答者に含まれる猫好きの人数 $X$ の確率分布は二項分布 $B (2400, p)$ である。
以上より、 $X$ の確率分布表をつくると表Ａになる。

二項分布を正規分布で近似する

復習

$n$ が十分に大きい数であるとき、二項分布 $B (n, p)$ は、正規分布 $N (n p, n p (1 - p))$ （期待値(平均値)が $n p$ ，標準偏差が $\sqrt{n p (1 - p)}$ ）で近似できる

$2400$ は十分に大きい数だと考えられるので、表Ａの二項分布は、正規分布
$N (2400 p, 2400 p (1 - p))$ 式Ｂ
で近似できる。
これをグラフにすると、図Ｂのようになる。

図の固定

図中、緑の部分が平均値を中心とした $95 %$ の範囲である。
問題では信頼度 $95 %$ で答えよというので、回答者中の猫好きの人数である $960$ が緑の部分に入るような $p$ の値の範囲を求めればよい。
つまり、緑の範囲の下限を $α$ ，上限を $β$ とすると、
緑の部分の面積が $95 %$ 条件１ $α ≦ 960 ≦ β$ 条件２が成り立つような $p$ の値の範囲を求めればよい。

標準正規分布表を見る

まず条件１から解決しよう。
緑の部分の面積が $95 % = 0.95$ なので、そのときの緑の部分の右端の値を求める。

標準正規分布表（こちらのページ）を見るんだけど、表に載っているのはグラフの真ん中より右の面積。
正規分布のグラフは左右対称なので、図Ｂの緑の面積の半分の $\frac{0.95}{2} = 0.475$ を標準正規分布表で探すと、範囲の右端は
$1.96$
であることが分かる。

これをグラフに描くと、図Ｃができる。

図の固定

正規分布の標準化

だけど、
図Ｂのグラフは、 $N (2400 p, 2400 p (1 - p))$ で
平均値が $2400 p$
分散が $2400 p (1 - p)$
図Ｃのグラフは
平均値が $0$
分散が $1$
なので、そのまま比較はできない。
なので、図Ｂのグラフの正規分布を標準化して、図Ｃに合わせる。

復習

正規分布の標準化
正規分布 $N (m, σ^{2})$ に従う確率変数 $X$ （期待値(平均値)が $m$ ，標準偏差が $σ$ ）を、
$Z = \frac{X - m}{σ}$ 式Ｂ
とすると、 $Z$ は標準正規分布 $N (0, 1)$ （期待値(平均値)が $0$ ，標準偏差が $1$ ）に従う。

式Ｂを使って条件２の各辺を標準化する。式が長くなるので、以下、標本の大きさの $2400$ を $n$ とかく。
$\frac{α - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}} ≦ \frac{960 - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}} ≦ \frac{β - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}}$ 式Ｃ
これをグラフに描くと、図Ｄができる。

図の固定

図Ｃと図Ｄは同じ
平均値が $0$ 分散が $1$ の正規分布（これを標準正規分布という）なので、式Ｃは
$- 1.96 ≦ \frac{960 - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}} ≦ 1.96$ 式Ｄ
と書き直せる。

あとは計算

式Ｄを変形して、母比率 $p$ を求める。
$- 1.96 \sqrt{n p (1 - p)} ≦ 960 - n p ≦ 1.96 \sqrt{n p (1 - p)}$

途中式

\begin{aligned} - 960 - 1.96 \sqrt{n p (1 - p)} \\ ≦ - n p ≦ \\ - 960 + 1.96 \sqrt{n p (1 - p)} \\ \frac{- 960 - 1.96 \sqrt{n p (1 - p)}}{- n} \\ ≧ p ≧ \\ \frac{- 960 + 1.96 \sqrt{n p (1 - p)}}{- n} \\ \frac{960 - 1.96 \sqrt{n p (1 - p)}}{n} \\ ≦ p ≦ \\ \frac{960 + 1.96 \sqrt{n p (1 - p)}}{n} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{960}{n} - 1.96 \frac{\sqrt{n p (1 - p)}}{n} \\ ≦ p ≦ \\ \frac{960}{n} + 1.96 \frac{\sqrt{n p (1 - p)}}{n} \end{aligned}

ここで、

\frac{960}{n} = \frac{960}{2400} = 0.4

\frac{\sqrt{n}}{n} = \sqrt{\frac{1}{n}}

なので、上の式は

0.4 - 1.96 \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}} ≦ p ≦ 0.4 + 1.96 \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}}

式Ｅ
となる。

根号の中に $p$ が残ってしまった。
しかし、 $p$ は $0 ≦ p ≦ 1$ の数で、根号の中の分母の $n = 2400$ が大きい数だから、あまり厳密に考える必要はないだろう。
なので、根号の中の $p$ を標本比率の $\frac{960}{2400} = 0.4$ で代用すると、式Ｅは、
$0.4 - 1.96 \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1 - 0.4)}{2400}} ≦ p ≦ 0.4 + 1.96 \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1 - 0.4)}{2400}}$
となる。式Ａと同じになった。

あとはこれを計算して、
$0.3804 ≦ p ≦ 0.4196$
となる。

解答 $[0.3804, 0.4196]$

余談

この部分の計算は、厳密には、式Ｄより、
$| \frac{960 - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}} | ≦ 1.96$
両辺を２乗して、
$\frac{(960 - n p)^{2}}{n p (1 - p)} ≦ {1.96}^{2}$
分母を払って、
$(960 - n p)^{2} ≦ {1.96}^{2} n p (1 - p)$
として、 $p$ についての二次不等式を解くのだが、高校数学では「あとは計算」で説明した方法で十分だ。
もっと言うと、センター試験を解くだけなら、このページ最初の「公式から求める」方法が時間がかからないのでお薦めである。