大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試数学ⅠＡ第２問 [2] 解説

(1)

まず、箱ひげ図の復習をしよう。

復習

図の固定

範囲は、最大値 $-$ 最小値
四分位範囲は、第３四分位数 $-$ 第１四分位数

だった。

復習が終わったところで、⓪～⑥の選択肢をひとつずつ確認する。

⓪ 問題文中の図２を見ると、範囲が最も大きいのは男子短距離。なので誤り。

① 四分位範囲は、箱ひげ図の箱の幅にあたる。
問題文中の図２の点線で描かれた目盛は、２刻み。箱の幅が一番大きい男子短距離でも約５目盛分だから、10前後である。なので、正しい。

② 問題文中の図２より、男子長距離の中央値は176付近。図１のヒストグラムを見ると、度数が最大の階級は170以上175未満。この階級に中央値は含まれないので、誤り。

③ 問題文中の図２より、女子長距離の第１四分位数は161付近。図１のヒストグラムを見ると、度数が最大の階級は165以上170未満。この階級に第１四分位数は含まれないので、誤り。

④ 問題文中の図２より、最大値が最も大きいのは男子短距離。なので、誤り。

⑤ 問題文中の図２より、最小値が最も小さいのは女子短距離。なので、誤り。

⑥ 問題文中の図２より、男子短距離の中央値も、男子長距離の第３四分位数も、181付近。なので、正しい。

以上より、正しいものは①⑥である。

解答サ：１, シ：６（順不同）

(2)

せっかくだから、散布図について復習しておこう。

復習

ここに載せた散布図は、全て横軸 $α$ は右が大きい値、縦軸 $β$ は上が大きい値であるとする。

図Ａ・図Ｂのように、点が直線状に連なっているとき、 $α$ と $β$ の間には相関があるという。
図Ａのように右上がりの場合を「正の相関」といい、図Ｂのように右下がりの場合を「負の相関」という。

図の固定

また、同じ正の相関であっても、図Ａと図Ｃを比較すると、図Ａの方がより直線状になっている。このような場合、図Ａの方が「相関が強い」といい、図Ｃの方が「相関が弱い」という。

さて、今回も⓪～⑤の選択肢をひとつずつ確認しよう。

⓪ $X$ と $W$ に負の相関がある場合、復習の図Ｂのように右下がりの分布になる。問題文中の図３の散布図はどれも右上がりの分布なので、誤り。

ここからは、 $Z$ について考えないといけない。
$Z = \frac{W}{X}$
なので、原点からその点に引いた直線の傾きと考えられる。

図の固定

例えば、 $X$ が $3.5$ ， $W$ が $70$ の選手の $Z$ は
$\frac{70}{3.5} = 20$
だけど、これは原点から $(3.5, 70)$ に引いた直線の傾きである。（図Ｄ）
言いかえると、散布図で傾きが $20$ の直線上にある点は、 $Z$ の値が $20$ である。
問題文中の図３の散布図だと、 $l_{1}$ 上の点は $Z$ が $15$ であり、 $l_{2}$ 上の点は $Z$ が $20$ である。また、 $l_{1}$ と $l_{2}$ の間にある点は、 $Z$ が $15$ と $20$ の間の値であると考えられる。

図３の散布図を見ると、点の分布の中心が
男子短距離は、 $l_{2}$ と $l_{3}$ の間男子長距離は、 $l_{2}$ 付近女子短距離は、 $l_{2}$ より若干上女子長距離は、 $l_{1}$ と $l_{2}$ の間にあるので、 $Z$ の中央値は
男子短距離は、 $20$ と $25$ の間男子長距離は、 $20$ 付近女子短距離は、 $20$ よりちょっと大きい女子長距離は、 $15$ と $20$ の間にあると考えられる。

また、 $Z$ の最大値、つまり最も左上にある点は、
男子短距離は、 $l_{4}$ 付近男子長距離は、 $l_{3}$ と $l_{4}$ の間の $l_{4}$ 寄り女子短距離は、 $l_{3}$ と $l_{4}$ のちょうど真ん中あたり女子長距離は、 $l_{2}$ と $l_{3}$ の間にあるので、 $Z$ の最大値は
男子短距離は、 $30$ 付近男子長距離は、 $25$ と $30$ の間の $30$ 寄り女子短距離は、 $27$ ～ $28$ 付近女子長距離は、 $20$ と $25$ の間にあると考えられる。

以上より、箱ひげ図は
男子短距離が、(a) 男子長距離が、(c) 女子短距離が、(b) 女子長距離が、(d) であることが分かる。

ここまで分かったところで、選択肢の検討を続けよう。

① 問題文中の図４より、中央値が一番大きいのは(a)の男子短距離。なので、誤り。

② 問題文中の図４より、範囲、つまり箱ひげ図の幅が最小なのは(d)の女子長距離。なので、誤り。

③ 問題文中の図４より、(a)の男子短距離は、四分位範囲、つまり箱ひげ図の箱の幅は最大である。なので、誤り。

④ 問題文中の図４より、(d)の女子長距離の最大値は25未満。なので、正しい。

⑤ 男子長距離の箱ひげ図は(c)なので、正しい。

以上より、正しいものは④⑤である。

解答ス：４, セ：５（順不同）

(3)

まず、共分散の復習から。

復習

データ $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ と $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ があり、それぞれの平均値を $\overset{―}{a}$ ， $\overset{―}{b}$ とするとき、共分散 $s_{a b}$ は
$s_{a b} = \frac{1}{n} {$ $(a_{1} - \overset{―}{a}) (b_{1} - \overset{―}{b}) + (a_{2} - \overset{―}{a}) (b_{2} - \overset{―}{b}) +$
$\dots + (a_{n} - \overset{―}{a}) (b_{n} - \overset{―}{b})$ $}$ 式Ａ
$s_{a b}$ $= \frac{1}{n}$ $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} \cdot b_{k}$ $- \overset{―}{a} \cdot \overset{―}{b}$ 式Ｂ
だった。

これを知っていれば、問題文中の
$(x_{1} - \overset{―}{x}) (w_{1} - \overset{―}{w}) + (x_{2} - \overset{―}{x}) (w_{2} - \overset{―}{w}) +$
$\dots + (x_{n} - \overset{―}{x}) (w_{n} - \overset{―}{w})$
は、式Ａの赤い部分
$x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n}$
は、式Ｂの赤い部分
であることに気づく。

なので、式Ａ，式Ｂより
$\frac{1}{n} {(x_{1} - \overset{―}{x}) (w_{1} - \overset{―}{w}) + (x_{2} - \overset{―}{x}) (w_{2} - \overset{―}{w}) +$
$\dots + (x_{n} - \overset{―}{x}) (w_{n} - \overset{―}{w})}$
$= \frac{1}{n} (x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n}) - \overset{―}{x} \cdot \overset{―}{w}$
とかける。

この式の両辺を $n$ 倍すると
$(x_{1} - \overset{―}{x}) (w_{1} - \overset{―}{w}) + (x_{2} - \overset{―}{x}) (w_{2} - \overset{―}{w}) +$
$\dots + (x_{n} - \overset{―}{x}) (w_{n} - \overset{―}{w})$
$= x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n} - n \cdot \overset{―}{x} \cdot \overset{―}{w}$
となるので、正解は２である。

解答ソ：２

別解

上の解法は計算が簡単でいいんだけど、式Ａ，式Ｂを知らないとできない。
その場合、計算だけで解くと次のようになる。

ソの式の左辺を変形すると、
$(x_{1} - \overset{―}{x}) (w_{1} - \overset{―}{w}) + (x_{2} - \overset{―}{x}) (w_{2} - \overset{―}{w}) +$
                $\dots + (x_{n} - \overset{―}{x}) (w_{n} - \overset{―}{w})$
$= (x_{1} w_{1} - x_{1} \overset{―}{w} - w_{1} \overset{―}{x} + \overset{―}{x} \cdot \overset{―}{w})$
        $+ (x_{2} w_{2} - x_{2} \overset{―}{w} - w_{2} \overset{―}{x} + \overset{―}{x} \cdot \overset{―}{w}) +$
        $\dots + (x_{n} w_{n} - x_{n} \overset{―}{w} - w_{n} \overset{―}{x} + \overset{―}{x} \cdot \overset{―}{w})$
$= (x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n})$
        $- (x_{1} \overset{―}{w} + x_{2} \overset{―}{w} + \dots + x_{n} \overset{―}{w})$
        $- (w_{1} \overset{―}{x} + w_{2} \overset{―}{x} + \dots + w_{n} \overset{―}{x})$
        $+ (\overset{―}{x} \cdot \overset{―}{w} + \overset{―}{x} \cdot \overset{―}{w} + \dots + \overset{―}{x} \cdot \overset{―}{w})$
$= (x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n})$
        $- ($ $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}$ $) \overset{―}{w}$
        $- ($ $w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}$ $) \overset{―}{x}$
        $+ n \cdot \overset{―}{x} \cdot \overset{―}{w}$ 式Ｃ

ここで、
$\overset{―}{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$
と
$\overset{―}{w} = \frac{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}}{n}$
の両辺を $n$ 倍して、
$n \cdot \overset{―}{x} =$ $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}$ 式Ｄ
$n \cdot \overset{―}{w} =$ $w_{1} + w_{2} + \dots w_{n}$ 式Ｅ
これで、式Ｃの青い部分と緑の部分ができた。

式Ｄの青い部分と、式Ｅの緑の部分を式Ｃにそれぞれ代入すると、
$(x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n})$
$- n \cdot \overset{―}{x} \cdot \overset{―}{w} - n \cdot \overset{―}{x} \cdot \overset{―}{w} + n \cdot \overset{―}{x} \cdot \overset{―}{w}$
$= x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n} -$ $n \cdot \overset{―}{x} \cdot \overset{―}{w}$
となって、ソの式の右辺ができる。
この式の赤い部分がソだ。
よって、正解は２である。

解答ソ：２

第１問	[1]	解説
第１問	[2]	解説
第２問	[1]	解説
第２問	[2]	解説
第３問		解説
第４問		解説
第５問		解説