大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試 数学ⅡＢ 第２問 [2] 解説

解説

復習

微分と積分は逆の関係にある。
∫f(x)dx=F(x)
であれば、
F′(x)=f(x)
である。
つまり、積分して微分すると、もとの式にもどる。

ただし、
F′(x)=f(x)
であれば
∫f(x)dx=F(x)
とは言えない。
先に微分をしたとき定数項が消えてしまい、あとで積分しても定数項は消えたままである。
不定積分の時に出てくるC（積分定数）は、消えた定数項を表している。

復習より、
F′(x)=f(x)
である。

解答ツ：７

図Ａ
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅡＢ第２問[2] 解説図Ａ

f(x)がどんな関数か分からないので、1≦xの範囲でf(x)≦0となるようなグラフを図Ａにいいかげんに描いた。グラフの形はでたらめです。

Wは、図Ａの赤い部分の面積。
赤い部分はx軸より下にあるので、
W=−∫1tf(x)dx=−(F(t)−F(1))=−F(t)+F(1)式Ａ とかける。

解答テ：４

このWが図Ｂの三角形と同じ面積である。

図Ｂ
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅡＢ第２問[2] 解説図Ｂ

三角形の高さをhとすると、三平方の定理より、
h2+(2t2−22)2=(t2+1)2
とかける。

これを計算して、

途中式 h2+(t2−1)2=(t2+1)2
h2=(t2+1)2−(t2−1)2
h2=4t2
0<hなので、
h=2t
である。
なので、三角形の面積は、
12(2t2−2)⋅2t
=2t3−2t
となる。

これを式Ａに代入して、
−F(t)+F(1)=2t3−2t
F(t)=−2t3+2t+F(1)式Ｂ
とかける。

ツより、F′(x)=f(x) F(1)はF(x)のxに1を代入したものなので、定数 なので、式Ｂの両辺を微分すると、
f(t)=−6t2+2
であることが分かる。

解答ト：－, ナ：６, ニ：２, ヌ：２