$(x+n)(n+5-x)$式Ａ
を展開するんだけど、問題文中のアがある式を見ると、右辺に$x(5-x)$がある。
なので、$5-x$はかたまりのままおいておこう。

$5-x=M$
とおくと、式Ａは
$(x+n)(n+M)$
とかける。

これを展開して、
$xn+xM+n^2+nM$

$M$をもとにもどすと、
$$\begin{array}{rl}& xn+x(5-x)+n^2+n(5-x)\\ & =x(5-x)+n^2+5n+xn-xn\\ & =x(5-x)+n^2+5n\end{array}$$ となる。

解答ア：５

よって、問題文中のアがある式は
$(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+5n$
なので、$X=x(5-x)$とおくと、
$(x+n)(n+5-x)=X+n^2+5n$式Ｂ
とかける。

問題の流れから、式Ｂを使って$A$の式を簡単にするのだろうと予想できる。
$A$の式を
$\begin{array}{rl}A=& (x+0)(x+1)(x+2)\\ & (5-x)(6-x)(7-x)\mathrm{式}Ｃ\end{array}$
と考えると、
赤い部分の数字は、$0$と、それに$5$をたした$5$ 青い部分の数字は、$1$と、それに$5$をたした$6$ 緑の部分の数字は、$2$と、それに$5$をたした$7$ であることに気づく。

なので、
$n=0$のとき、式Ｂは
$(x+0)(0+5-x)=X+0^2+5\cdot 0$
$x(5-x)=X$
となり、式Ｃの赤い部分ができる。
$n=1$のとき、式Ｂは
$(x+1)(1+5-x)=X+1^2+5\cdot 1$
$(x+1)(6-x)=X+6$
となり、式Ｃの青い部分ができる。
$n=2$のとき、式Ｂは
$(x+2)(2+5-x)=X+2^2+5\cdot 2$
$(x+2)(7-x)=X+14$
となり、式Ｃの緑の部分ができる。
これを式Ｃに代入して、
$A=X(X+6)(X+14)$式Ｄ
である。

解答イ：６, ウ：１, エ：４

次は、$x={\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{2}}$のとき、$X$の値を求める問題。
$X=x(5-x)$に$x={\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{2}}$を代入すると.....計算が面倒だねぇ。
なので、お約束の方法を使う。つまり、２乗して√を消す。

$x={\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{2}}$
をそのまま２乗しても√は消えないので、ちょっと変形。右辺を√の項だけにしよう。
$2x=5+\sqrt{17}$
$2x-5=\sqrt{17}$
この式の両辺を２乗して、
$(2x-5{)}^2={\sqrt{17}}^2$

途中式

$4x^2-4\cdot 5x+5^2=17$
$$\begin{array}{rl}4x(x-5)& =17-5^2\\ & =-8\end{array}$$

$x(x-5)=-2$式Ｅ
となる。

ここで、
$$\begin{array}{rl}X& =x(5-x)\\ & =-x(x-5)\end{array}$$ なので、式Ｅより
$X=2$
である。

解答オ：２