$(x+n)(n+5-x)$式Ａ
を展開するんだけど、問題文中のアがある式を見ると、右辺に$x(5-x)$がある。
なので、$5-x$はかたまりのままおいておこう。

$5-x=M$
とおくと、式Ａは
$(x+n)(n+M)$
とかける。

これを展開して、
$xn+xM+n^{2}+nM$

$M$をもとにもどすと、
$$ \begin{align} & xn+x(5-x)+n^{2}+n(5-x)\\ &\quad=x(5-x)+n^{2}+5n+xn-xn\\ &\quad=x(5-x)+n^{2}+5n \end{align} $$ となる。

解答ア：５

よって、問題文中のアがある式は
$(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^{2}+5n$
なので、$X=x(5-x)$とおくと、
$(x+n)(n+5-x)=X+n^{2}+5n$式Ｂ
とかける。

問題の流れから、式Ｂを使って$A$の式を簡単にするのだろうと予想できる。
$A$の式を
$\begin{aligned}A=&\textcolor{red}{(x+0)}\textcolor{royalblue}{(x+1)}\textcolor{green}{(x+2)}\\&\qquad\textcolor{red}{(5-x)}\textcolor{royalblue}{(6-x)}\textcolor{green}{(7-x)}\class{tex_formula}{式Ｃ}\end{aligned}$
と考えると、
赤い部分の数字は、$0$と、それに$5$をたした$5$ 青い部分の数字は、$1$と、それに$5$をたした$6$ 緑の部分の数字は、$2$と、それに$5$をたした$7$ であることに気づく。

なので、
$n=0$のとき、式Ｂは
$(x+0)(0+5-x)=X+0^{2}+5\cdot 0$
$x(5-x)=X$
となり、式Ｃの赤い部分ができる。
$n=1$のとき、式Ｂは
$(x+1)(1+5-x)=X+1^{2}+5\cdot 1$
$(x+1)(6-x)=X+6$
となり、式Ｃの青い部分ができる。
$n=2$のとき、式Ｂは
$(x+2)(2+5-x)=X+2^{2}+5\cdot 2$
$(x+2)(7-x)=X+14$
となり、式Ｃの緑の部分ができる。
これを式Ｃに代入して、
$A=X(X+6)(X+14)$式Ｄ
である。

解答イ：６, ウ：１, エ：４

次は、$x=\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{2}$のとき、$X$の値を求める問題。
$X=x(5-x)$に$x=\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{2}$を代入すると.....計算が面倒だねぇ。
なので、お約束の方法を使う。つまり、２乗して√を消す。

$x=\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{2}$
をそのまま２乗しても√は消えないので、ちょっと変形。右辺を√の項だけにしよう。
$2x=5+\sqrt{17}$
$2x-5=\sqrt{17}$
この式の両辺を２乗して、
$(2x-5)^{2}=\sqrt{17}^{2}$

ここで、
$$ \begin{align} X&=x(5-x)\\ &=-x(x-5) \end{align} $$ なので、式Ｅより
$X=2$
である。

解答オ：２