$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|=\sqrt{0^{2}+6^{2}+3^{2}}$
       $=\sqrt{3^{2}(2^{2}+1)}$
       $=3\sqrt{5}$

解答ア：３, イ：５

$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\right|=\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}+(-5)^{2}}$
       $=\sqrt{16+4+25}$
       $=\sqrt{45}$
       $=3\sqrt{5}$

解答ウ：３, エ：５

となるから、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|=\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\right|$
である。
なので、位置ベクトルが
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$
である点を$\mathrm{D}$とすると、図Ｃのように四角形$\mathrm{OPDQ}$はひし形になる。

ひし形の対角線は角の二等分線なので、$\ell$とは直線$\mathrm{OD}$のことだ。
点$\mathrm{A}$は、この直線上にあって$\mathrm{OA}=9$である点。

点$\mathrm{A}$を求めるために、まず点$\mathrm{D}$を求めよう。

点$\mathrm{D}$の位置ベクトルは
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$
なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$
     $=(0,6,3)+(4,-2,-5)$
     $=(4,4,-2)$式Ａ
である。
また、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}\right|=\sqrt{4^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}$
       $=6$
である。

ここで、$\vec{\mathrm{OA}}$∥$\vec{\mathrm{OD}}$かつ$\mathrm{OA}=9$なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\frac{9}{6}\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$$\displaystyle =\frac{3}{2}\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}$
とかける。
これに式Ａを代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\frac{3}{2}(4,4,-2)$
     $\displaystyle =\left(\frac{3}{2}\cdot 4,\frac{3}{2}\cdot 4,\frac{3}{2}\cdot(-2)\right)$
     $=(6,6,-3)$
より、点$\mathrm{A}$の座標は
$(6,6,-3)$
である。

解答オ：６, カ：６, キ：－, ク：３

これと点$\mathrm{O}$に関して対称な点
$(-6,-6,3)$
も、直線$\ell$上にあって点$\mathrm{O}$との距離が$9$だ。
けれど、ここで問われているのは$x$座標が正である点なので、不適である。

ベクトルで垂直といえば、内積$=0$だ。

いま、$\vec{n}$を
$\vec{n}=(2,y,z)$
とすると、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{n}=0\cdot 2+6\cdot y+3\cdot z$
         $=6y+3z$式Ａ
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\cdot\vec{n}=4\cdot 2-2\cdot y-5\cdot z$
         $=-2y-5z+8$式Ｂ
とかける。

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$⊥$\vec{n}$，$\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$⊥$\vec{n}$より
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{n}=0$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\cdot\vec{n}=0$
なので、式Ａ，式Ｂは
$\left\{\begin{array}{l}
6y+3z=0\\
-2y-5z+8=0
\end{array}\right.$
といえる。
これを連立方程式として解く。

上の式より、
$2y+z=0$
$z=-2y$式Ｃ
これを下の式に代入して、
$-2y-5(-2y)+8=0$
$8y+8=0$
$y=-1$
これを式Ｃに代入して、
$z=-2\cdot(-1)$
$z$$=2$
となる。

よって、$\vec{n}$は、
$\vec{n}=(2,-1,2)$式Ｄ
と表せる。

解答ケ：－, コ：１, サ：２

図Ｄで
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}-\vec{\mathrm{H}\mathrm{R}}$式Ｅ
とかける。

いま、
$\vec{\mathrm{H}\mathrm{R}}$⊥$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$，$\vec{\mathrm{H}\mathrm{R}}$⊥$\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$
なので、$\vec{\mathrm{H}\mathrm{R}}$は平面$\alpha$と垂直。
また、
$\vec{n}$⊥$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$，$\vec{n}$⊥$\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$
なので、$\vec{n}$は平面$\alpha$と垂直。
よって、$\vec{\mathrm{H}\mathrm{R}}$∥$\vec{n}$だから、$k$を実数として
$\vec{\mathrm{H}\mathrm{R}}=k\vec{n}$式Ｆ
である。

式Ｅに式Ｆを代入すると
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}-k\vec{n}$
これを成分で表すと、ケコサより
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=(12,0,-3)-k(2,-1,2)$
     $=(12,0,-3)-(2k,-k,2k)$
     $=(-2k+12,k,-2k-3)$式Ｅ'
となる。

この$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}$は平面$\alpha$上にあるので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}$⊥$\vec{n}$
より、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}\cdot\vec{n}=0$
である。

解答シ：０

式Ｄ，式Ｅ'より、これを成分で表すと、
$(-2k+12,k,-2k-3)\cdot(2,-1,2)=0$
$2(-2k+12)-k+2(-2k-3)=0$
$-4k+24-k-4k-6=0$
$-9k+18=0$
$k=2$
となる。

解答ス：２

次は$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}$だけど、$k$が分かっているので勝ったも同然。
$k=2$を式Ｅ'に代入して、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=(-2\cdot 2+12,2,-2\cdot 2-3)$
より
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=(8,2,-7)$
である。

解答セ：８, ソ：２, タ：－, チ：７

続いて、$\mathrm{HR}$の長さ$\left|\vec{\mathrm{H}\mathrm{R}}\right|$だ。
$k=2$を式Ｆに代入すると
$\vec{\mathrm{H}\mathrm{R}}=2\vec{n}$式Ｆ'
となる。

式Ｄより
$\vec{n}=(2,-1,2)$
なので、
$\left|\vec{n}\right|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}$
    $=\sqrt{9}$
    $=3$

よって、式Ｆ'より、
$\left|\vec{\mathrm{H}\mathrm{R}}\right|=2\cdot 3$
       $=6$
である。

解答ツ：６

最後に、$\mathrm{RB}$（図Ｅの赤い線）の最大値と、そのときの点$\mathrm{B}$（赤い点）の座標を求める。

$\mathrm{RB}$は直角三角形$\mathrm{HRB}$（図Ｅの緑の三角形）の斜辺だ。
ツより $\mathrm{HR}=6$で一定だから、$\mathrm{RB}$が最大になるのは$\mathrm{HB}$が最大のとき。
点Ｂは点Ａを中心とする半径$1$の円周上にあるので、図Ｅのオレンジの円の周上にある。
よって、$\mathrm{HB}$が最大になるのは、図Ｅのように
点$\mathrm{H}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がこの順で一直線に並ぶとき。

というわけで、このときの$\mathrm{HB}$を求めよう。

$\mathrm{AB}$は円$C$の半径なので、
$\mathrm{AB}=1$
だ。

$\mathrm{HA}$は$\left|\vec{\mathrm{H}\mathrm{A}}\right|$として求めよう。

$\vec{\mathrm{H}\mathrm{A}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}$
だけど、
オカキクより
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=(6,6,-3)$ セソタチより
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=(8,2,-7)$

なので、
$\vec{\mathrm{H}\mathrm{A}}=(6,6,-3)-(8,2,-7)$
     $=(-2,4,4)$
となる。

なので、
$\left|\vec{\mathrm{H}\mathrm{A}}\right|=\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}+4^{2}}$
        $=\sqrt{36}$
        $=6$
である。

解答テ：６

よって、
$\mathrm{HB}=\mathrm{HA}+\mathrm{AB}$
$\mathrm{HB}$$=6+1$
$\mathrm{HB}$$=7$
になる。

このときの$\mathrm{RB}$は、直角三角形$\mathrm{HRB}$に三平方の定理を使って、
$\mathrm{RB}^{2}=\mathrm{HR}^{2}+\mathrm{HB}^{2}$
それぞれの値を代入して、
$\mathrm{RB}^{2}=6^{2}+7^{2}$
      $=85$
より
$\mathrm{RB}=\sqrt{85}$
である。

解答ト：８, ナ：５

このとき、
点$\mathrm{H}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は一直線上にある $\mathrm{HA}=6$ $\mathrm{HB}=7$ なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{H}\mathrm{B}}=\frac{7}{6}\vec{\mathrm{H}\mathrm{A}}$
とかける。

解答ニ：７, ヌ：６

よって、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}+\vec{\mathrm{H}\mathrm{B}}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$$\displaystyle =\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}+\frac{7}{6}\vec{\mathrm{H}\mathrm{A}}$
とかける。

この式の右辺をベクトルの成分で表示すると
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=(8,2,-7)+\frac{7}{6}(-2,4,4)$
より
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=(8,2,-7)+\frac{7}{3}(-1,2,2)$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$$\displaystyle =\left(8-\frac{7}{3},2+\frac{7\cdot 2}{3},-7+\frac{7\cdot 2}{3}\right)$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$$\displaystyle =\left(\frac{24-7}{3},\frac{6+14}{3},\frac{7\cdot (-3+2)}{3}\right)$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$$\displaystyle =\left(\frac{17}{3},\frac{20}{3},-\frac{7}{3}\right)$
となるから、点$\mathrm{B}$の座標は
$\displaystyle \left(\frac{17}{3},\frac{20}{3},-\frac{7}{3}\right)$
である。

解答ネ：１, ノ：７, ハ：３, ヒ：２, フ：０, ヘ：－, ホ：７