$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\sqrt{0^2+6^2+3^2}$
       $=\sqrt{3^2(2^2+1)}$
       $=3\sqrt{5}$

解答ア：３, イ：５

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=\sqrt{4^2+(-2{)}^2+(-5{)}^2}$
       $=\sqrt{16+4+25}$
       $=\sqrt{45}$
       $=3\sqrt{5}$

解答ウ：３, エ：５

となるから、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$
である。
なので、位置ベクトルが
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$
である点を$\mathrm{D}$とすると、図Ｃのように四角形$\mathrm{OPDQ}$はひし形になる。

ひし形の対角線は角の二等分線なので、$\ell$とは直線$\mathrm{OD}$のことだ。
点$\mathrm{A}$は、この直線上にあって$\mathrm{OA}=9$である点。

点$\mathrm{A}$を求めるために、まず点$\mathrm{D}$を求めよう。

点$\mathrm{D}$の位置ベクトルは
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$
     $=(0,6,3)+(4,-2,-5)$
     $=(4,4,-2)$式Ａ
である。
また、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|=\sqrt{4^2+4^2+(-2{)}^2}$
       $=6$
である。

ここで、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$∥$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$かつ$\mathrm{OA}=9$なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{9}{6}\overrightarrow{\mathrm{OD}}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}}$${\displaystyle =\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{OD}}}$
とかける。
これに式Ａを代入して、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{3}{2}(4,4,-2)}$
     ${\displaystyle =(\frac{3}{2}\cdot 4,\frac{3}{2}\cdot 4,\frac{3}{2}\cdot (-2))}$
     $=(6,6,-3)$
より、点$\mathrm{A}$の座標は
$(6,6,-3)$
である。

解答オ：６, カ：６, キ：－, ク：３

これと点$\mathrm{O}$に関して対称な点
$(-6,-6,3)$
も、直線$\ell$上にあって点$\mathrm{O}$との距離が$9$だ。
けれど、ここで問われているのは$x$座標が正である点なので、不適である。

ベクトルで垂直といえば、内積$=0$だ。

いま、$\overrightarrow{n}$を
$\overrightarrow{n}=(2,y,z)$
とすると、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{n}=0\cdot 2+6\cdot y+3\cdot z$
         $=6y+3z$式Ａ
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{n}=4\cdot 2-2\cdot y-5\cdot z$
         $=-2y-5z+8$式Ｂ
とかける。

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$⊥$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$⊥$\overrightarrow{n}$より
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{n}=0$
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{n}=0$
なので、式Ａ，式Ｂは
$\{\begin{array}{l}6y+3z=0\\ -2y-5z+8=0\end{array}$
といえる。
これを連立方程式として解く。

上の式より、
$2y+z=0$
$z=-2y$式Ｃ
これを下の式に代入して、
$-2y-5(-2y)+8=0$
$8y+8=0$
$y=-1$
これを式Ｃに代入して、
$z=-2\cdot (-1)$
$z$$=2$
となる。

よって、$\overrightarrow{n}$は、
$\overrightarrow{n}=(2,-1,2)$式Ｄ
と表せる。

解答ケ：－, コ：１, サ：２

図Ｄで
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\overrightarrow{\mathrm{HR}}$式Ｅ
とかける。

いま、
$\overrightarrow{\mathrm{HR}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{HR}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$
なので、$\overrightarrow{\mathrm{HR}}$は平面$\alpha$と垂直。
また、
$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$
なので、$\overrightarrow{n}$は平面$\alpha$と垂直。
よって、$\overrightarrow{\mathrm{HR}}$∥$\overrightarrow{n}$だから、$k$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{HR}}=k\overrightarrow{n}$式Ｆ
である。

式Ｅに式Ｆを代入すると
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}-k\overrightarrow{n}$
これを成分で表すと、ケコサより
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(12,0,-3)-k(2,-1,2)$
     $=(12,0,-3)-(2k,-k,2k)$
     $=(-2k+12,k,-2k-3)$式Ｅ'
となる。

この$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$は平面$\alpha$上にあるので、
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$⊥$\overrightarrow{n}$
より、
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{n}=0$
である。

解答シ：０

式Ｄ，式Ｅ'より、これを成分で表すと、
$(-2k+12,k,-2k-3)\cdot (2,-1,2)=0$
$2(-2k+12)-k+2(-2k-3)=0$
$-4k+24-k-4k-6=0$
$-9k+18=0$
$k=2$
となる。

解答ス：２

次は$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$だけど、$k$が分かっているので勝ったも同然。
$k=2$を式Ｅ'に代入して、
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(-2\cdot 2+12,2,-2\cdot 2-3)$
より
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(8,2,-7)$
である。

解答セ：８, ソ：２, タ：－, チ：７

続いて、$\mathrm{HR}$の長さ$\left|\overrightarrow{\mathrm{HR}}\right|$だ。
$k=2$を式Ｆに代入すると
$\overrightarrow{\mathrm{HR}}=2\overrightarrow{n}$式Ｆ'
となる。

式Ｄより
$\overrightarrow{n}=(2,-1,2)$
なので、
$\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}$
    $=\sqrt{9}$
    $=3$

よって、式Ｆ'より、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{HR}}\right|=2\cdot 3$
       $=6$
である。

解答ツ：６

最後に、$\mathrm{RB}$（図Ｅの赤い線）の最大値と、そのときの点$\mathrm{B}$（赤い点）の座標を求める。

$\mathrm{RB}$は直角三角形$\mathrm{HRB}$（図Ｅの緑の三角形）の斜辺だ。
ツより $\mathrm{HR}=6$で一定だから、$\mathrm{RB}$が最大になるのは$\mathrm{HB}$が最大のとき。
点Ｂは点Ａを中心とする半径$1$の円周上にあるので、図Ｅのオレンジの円の周上にある。
よって、$\mathrm{HB}$が最大になるのは、図Ｅのように
点$\mathrm{H}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がこの順で一直線に並ぶとき。

というわけで、このときの$\mathrm{HB}$を求めよう。

$\mathrm{AB}$は円$C$の半径なので、
$\mathrm{AB}=1$
だ。

$\mathrm{HA}$は$\left|\overrightarrow{\mathrm{HA}}\right|$として求めよう。

$\overrightarrow{\mathrm{HA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OH}}$
だけど、
オカキクより
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(6,6,-3)$ セソタチより
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(8,2,-7)$

なので、
$\overrightarrow{\mathrm{HA}}=(6,6,-3)-(8,2,-7)$
     $=(-2,4,4)$
となる。

なので、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{HA}}\right|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2+4^2}$
        $=\sqrt{36}$
        $=6$
である。

解答テ：６

よって、
$\mathrm{HB}=\mathrm{HA}+\mathrm{AB}$
$\mathrm{HB}$$=6+1$
$\mathrm{HB}$$=7$
になる。

このときの$\mathrm{RB}$は、直角三角形$\mathrm{HRB}$に三平方の定理を使って、
${\mathrm{RB}}^2={\mathrm{HR}}^2+{\mathrm{HB}}^2$
それぞれの値を代入して、
${\mathrm{RB}}^2=6^2+7^2$
      $=85$
より
$\mathrm{RB}=\sqrt{85}$
である。

解答ト：８, ナ：５

このとき、
点$\mathrm{H}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は一直線上にある $\mathrm{HA}=6$ $\mathrm{HB}=7$ なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\frac{7}{6}\overrightarrow{\mathrm{HA}}}$
とかける。

解答ニ：７, ヌ：６

よって、
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}+\overrightarrow{\mathrm{HB}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}}$${\displaystyle =\overrightarrow{\mathrm{OH}}+\frac{7}{6}\overrightarrow{\mathrm{HA}}}$
とかける。

この式の右辺をベクトルの成分で表示すると
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(8,2,-7)+\frac{7}{6}(-2,4,4)}$
より
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(8,2,-7)+\frac{7}{3}(-1,2,2)}$
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$${\displaystyle =(8-\frac{7}{3},2+\frac{7\cdot 2}{3},-7+\frac{7\cdot 2}{3})}$
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$${\displaystyle =(\frac{24-7}{3},\frac{6+14}{3},\frac{7\cdot (-3+2)}{3})}$
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$${\displaystyle =(\frac{17}{3},\frac{20}{3},-\frac{7}{3})}$
となるから、点$\mathrm{B}$の座標は
${\displaystyle (\frac{17}{3},\frac{20}{3},-\frac{7}{3})}$
である。

解答ネ：１, ノ：７, ハ：３, ヒ：２, フ：０, ヘ：－, ホ：７