よって、$\{b_{n}\}$は
初項が
$-\displaystyle \frac{5}{2}$ 階差数列の一般項が
$\displaystyle \frac{4}{n(n+2)}$ の数列であることが分かる。

まず、この$\{b_{n}\}$の一般項を求める。

ということで、階差数列の復習から。

復習

数列$\{a_{n}\}$の階差数列が$\{b_{n}\}$のとき、$\{a_{n}\}$の一般項は
$a_{n}=a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_{k} \hspace{30px} (2\leqq n)$

復習より、$2\leqq n$のとき、$\{b_{n}\}$の一般項は
$b_{n}=-\displaystyle \frac{5}{2}+\textcolor{red}{\sum_{k=1}^{n-1}\frac{4}{k(k+2)}}$式Ｂ
とかける。

この式の赤い部分については、決まった解き方があった。

復習

一般項が
$\displaystyle \frac{1}{n(n+a)}$
の数列の和を求めるときには、部分分数に分けて
$\displaystyle \frac{1}{n(n+a)}=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}\right)$
とする。

というわけで、部分分数に分けよう。

$\displaystyle \frac{4}{k(k+2)}=4\times\frac{1}{k(k+2)}$
$\displaystyle \frac{4}{k(k+2)}$$\displaystyle =4\times\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$
$\displaystyle \frac{4}{k(k+2)}$$\displaystyle =2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$

解答カ：２

なので、式Ｂの赤い部分は
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{4}{k(k+2)}= \sum_{k=1}^{n-1}2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{4}{k(k+2)}$$=2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$
とかける。

これをΣを使わずに表すと、
$2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$
$\hspace{40px} \displaystyle =2 \biggl\{ \biggl( \frac{1}{1} \bbox[pink]{-\frac{1}{3}} \biggr)+ \biggl(\displaystyle \frac{1}{2} \bbox[paleturquoise]{-\frac{1}{4}} \biggr) + \biggl( \bbox[pink]{\frac{1}{3}} \bbox[palegreen]{-\frac{1}{5}} \biggr)+$
$\hspace{60px} \displaystyle \cdots+ \biggl( \bbox[lightsteelblue]{\frac{1}{n-3}} \bbox[khaki]{-\frac{1}{n-1}} \biggr)+ \biggl( \bbox[thistle]{\frac{1}{n-2}} -\frac{1}{n} \biggr)$
$\hspace{100px} \displaystyle + \biggl( \bbox[khaki]{\frac{1}{n-1}} -\frac{1}{n+1} \biggr) \biggr\}$
この式の色がついた部分はセットで消えるので、
$2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)=2\displaystyle \left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$
とかける。

以上より、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{4}{k(k+2)}=2 \left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$

途中式

       $=2\displaystyle \times\frac{2n(n+1)+n(n+1)-2(n+1)-2n}{2n(n+1)}$
       $=\displaystyle \frac{3n(n+1)-2(n+1)-2n}{n(n+1)}$
       $=\displaystyle \frac{3n^{2}+3n-2n-2-2n}{n(n+1)}$

       $=\displaystyle \frac{3n^{2}-n-2}{n(n+1)}$
である。

解答キ：３, ク：２, ケ：１

よって、式Ｂは
$b_{n}=-\displaystyle \frac{5}{2}+\frac{3n^{2}-n-2}{n(n+1)}$
とかける。

これは$n=1$のときも成り立つ。

これを式Ａ'に代入して、$\{a_{n}\}$の一般項は
$a_{n}=n(n+1)\left(\displaystyle -\frac{5}{2}+\frac{3n^{2}-n-2}{n(n+1)}\right)$

途中式

$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{5n(n+1)}{2}+3n^{2}-n-2$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{5n^{2}+5n}{2}+\frac{2(3n^{2}-n-2)}{2}$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{-5n^{2}-5n+6n^{2}-2n-4}{2}$

$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{n^{2}-7n-4}{2}$式Ｃ
となる。

解答コ：７, サ：４, シ：２

$S_{n}=n(2a_{n}-24)$
に式Ｃを代入して、
$S_{n}=n\left(\displaystyle 2\times\frac{n^{2}-7n-4}{2}-24\right)$
$S_{n}$$=n(n^{2}-7n-4-24)$
$S_{n}$$=n(n^{2}-7n-28)$式Ｄ
である。

$c_{1}=S_{1}$なので、式Ｄに$n=1$を代入して、
$c_{1}=1\cdot(1^{2}-7\cdot 1-28)$
$c_{1}$$=-34$
となる。

解答ス：－, セ：３, ソ：４

また、$2\leqq n$のとき、
$c_{n}=S_{n}-S_{n-1}$
なので、これに式Ｄを代入して、
$c_{n}=n(n^{2}-7n-28)$
            $-(n-1)\{(n-1)^{2}-7(n-1)-28)$

途中式

$c_{n}$$=n(n^{2}-7n-28)$
            $-(n-1)(n^{2}-2n+1-7n+7-28)$
$c_{n}$$=n(n^{2}-7n-28)-(n-1)(n^{2}-9n-20)$
$c_{n}$$=(n^{3}-7n^{2}-28n)$
            $-(n^{3}-9n^{2}-20n)+(n^{2}-9n-20)$
$c_{n}$$=3n^{2}-17n-20$

$c_{n}$$=(n+1)(3n-20)$①
となる。

解答タ：１, チ：３, ツ：２, テ：０

①に$n=1$を代入すると、
$c_{1}=(1+1)(3\cdot 1-20)$
$c_{1}$$=-34$
なので、①は$n=1$のときも成り立つ。
よって、$\{c_{n}\}$の一般項は
$c_{n}=\textcolor{green}{(n+1)} \textcolor{red}{(3n-20)}$①
である。

$1\leqq n$なので、①の緑の部分は常に正。
よって、
赤い部分が負のとき、$c_{n} \lt 0$ 赤い部分が正のとき、$0 \lt c_{n}$ である。

赤い部分が負になるのは、
$3n-20 \lt 0$
より
$n \lt \displaystyle \frac{20}{3}$
だけど、$n$は自然数なので
$1\leqq n\leqq 6$
のときだ。

解答ト：６

以上より、$c_{1}$～$c_{6}$は負、$c_{7}$～$c_{10}$は正なので、
$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\left|c_{n}\right|=- \textcolor{blue}{(c_{1}+\cdots+c_{6})}+ \textcolor{green}{(c_{7}+\cdots+c_{10})}$
          $=- \textcolor{blue}{S_{6}} + \textcolor{green}{(S_{10}-S_{6})}$
          $=-2S_{6}+S_{10}$
である。

解答ナ：－, ニ：２

これに式Ｄを代入して、
$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\left|c_{n}\right|=-2\cdot 6(6^{2}-7\cdot 6-28)$
                          $+10(10^{2}-7\cdot 10-28)$           $=-2\cdot 6(-6-28)+10(3\cdot 10-28)$
          $=-2\cdot 6(-34)+10(2)$
          $=428$
となる。

解答ヌ：４, ネ：２, ノ：８