大学入試センター試験 2019年(平成31年) 追試数学ⅠＡ第１問 [1] 解説

(1)

$f (x) = (1 + \sqrt{2}) x - \sqrt{3} a$ 式Ａ
が
$f (0) ≦ 6$
なので、式Ａより
$(1 + \sqrt{2}) \cdot 0 - \sqrt{3} a ≦ 6$
$- \sqrt{3} a ≦ 6$
$\sqrt{3} a ≧ - 6$ 式Ｂ
両辺を $\sqrt{3}$ で割って、
$a ≧ - 2 \sqrt{3}$ 式Ｃ
となる。

解答：ア：－, イ：２, ウ：３

アドバイス

式Ｂから式Ｃへの変形は、
$a ≧ - \frac{6}{\sqrt{3}}$
としてから、右辺の分母を有理化して
$a ≧ - \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$a ≧ - \frac{6 \sqrt{3}}{3}$
$a ≧ - 2 \sqrt{3}$
とする人が多いと思う。

けれど、式Ｂの右辺の $6$ は $2 \times 3$ で、 $3$ は ${\sqrt{3}}^{2}$ なので、式Ｂは
$\sqrt{3} a ≧ - 2 {\sqrt{3}}^{2}$
と書けるから、両辺を $\sqrt{3}$ で割ると式Ｃができる。

文章で説明すると面倒な感じだけど、慣れると一瞬で計算できる。
この考え方は根号を含む分数の約分にも使えるので、マスターすることをお勧めする。

$f (6) ≧ 0$
となるのは、式Ａより
$(1 + \sqrt{2}) \cdot 6 - \sqrt{3} a ≧ 0$
$\sqrt{3} a ≦ (1 + \sqrt{2}) \cdot 6$ 式Ｄ
両辺を $\sqrt{3}$ で割って、
$a ≦ (1 + \sqrt{2}) \cdot 2 \sqrt{3}$
$a ≦ 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}$ 式Ｅ
となる。

解答エ：２, オ：３, カ：２, キ：６
または
エ：２, オ：６, カ：２, キ：３

アドバイス

式Ｄ以降は、分数にしてから有理化する方法だと、
$a ≦ \frac{(1 + \sqrt{2}) \cdot 6}{\sqrt{3}}$
$a ≦ \frac{(1 + \sqrt{2}) \cdot 6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$a ≦ \frac{(1 + \sqrt{2}) \cdot 6 \sqrt{3}}{3}$
$a ≦ (1 + \sqrt{2}) \cdot 2 \sqrt{3}$
$a ≦ 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}$
となる。

(2)

まず、イメージをつかむために数直線を描く。
$P = - 2 \sqrt{3}$
$Q = 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}$
で、中点を点 $M$ とすると、次のような数直線ができる。

図の固定

さらに、中点の座標の復習をしておこう。

復習

２点 $A$ ， $B$ の中点の座標は、
$\frac{(点 A の座標) + (点 B の座標)}{2}$

復習より、 $PQ$ の中点 $M$ の座標は、
$\frac{(点 P の座標) + (点 Q の座標)}{2}$
である。

これに
$P = - 2 \sqrt{3}$
$Q = 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}$
を代入して、求める座標は
$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}}{2}$
$= \frac{2 \sqrt{6}}{2}$
$= \sqrt{6}$
であり、これが中点に対応する実数である。

解答ク：６

(3)

この問題は、絶対値の考え方を使う方法と、使わない方法の２通りが考えられる。
その両方を解説しておく。

解法１

アドバイス

センター試験への対策として、絶対値は必ずマスターしておきたい。
だけど、多くの受験生が絶対値を好きじゃないのも事実だと思う。
なので、まず、絶対値を使わない方法で解いてみよう。

(1)より、 $f (0) ≦ 6$ かつ $f (6) ≧ 0$ となるような $a$ の範囲は、式Ｃと式Ｅの連立不等式の解だ。
よって、求める $a$ の範囲は、
$- 2 \sqrt{3} ≦ a ≦ 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}$ 式Ｆ
である。

また、問題文にあるように、 $u$ が実数， $r$ が $0$ 以上の実数のとき
$| u | ≦ t \Leftrightarrow - r ≦ u ≦ r$
となるので、問題文中の
$| a - \sqrt{ケ} | ≦ \sqrt{コ} + サ \sqrt{シ}$
は、
$- (\sqrt{コ} + サ \sqrt{シ}) ≦ a - \sqrt{ケ} ≦ \sqrt{コ} + サ \sqrt{シ}$
より
$\sqrt{ケ} - \sqrt{コ} - サ \sqrt{シ} ≦ a ≦ \sqrt{ケ} + \sqrt{コ} + サ \sqrt{シ}$
式Ｇ
と書ける。

式Ｇと式Ｆは同じ $a$ の範囲を表す式なので、左辺同士・右辺同士は等しい。
なので、
${\begin{cases} \sqrt{ケ} - \sqrt{コ} - サ \sqrt{シ} = - 2 \sqrt{3} \\ \sqrt{ケ} + \sqrt{コ} + サ \sqrt{シ} = 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6} \end{cases}$ 式Ｈ
でなければならない。

式Ｈを見ると、すぐに
$\sqrt{ケ} = \sqrt{6}$
$\sqrt{コ} = \sqrt{6}$
$サ \sqrt{シ} = 2 \sqrt{3}$
だと想像がつくけれど、ここでは計算で解いておく。

式Ｈの二つの式を辺々たして、

	$\sqrt{ケ}$	$+ \sqrt{コ}$	$+ サ \sqrt{シ}$	$=$	$2 \sqrt{3}$	$+ 2 \sqrt{6}$
$+)$	$\sqrt{ケ}$	$- \sqrt{コ}$	$- サ \sqrt{シ}$	$=$	$- 2 \sqrt{3}$
	$2 \sqrt{ケ}$			$=$		$2 \sqrt{6}$

となるので、

\sqrt{ケ} = \sqrt{6}

である。

解答ケ：６

また、式Ｈの二つの式を辺々引いて、

	$\sqrt{ケ}$	$+ \sqrt{コ}$	$+ サ \sqrt{シ}$	$=$	$2 \sqrt{3}$	$+ 2 \sqrt{6}$
$-)$	$\sqrt{ケ}$	$- \sqrt{コ}$	$- サ \sqrt{シ}$	$=$	$- 2 \sqrt{3}$
		$2 \sqrt{コ}$	$+ 2 サ \sqrt{シ}$	$=$	$4 \sqrt{3}$	$+ 2 \sqrt{6}$

\sqrt{コ} + サ \sqrt{シ} = 2 \sqrt{3} + \sqrt{6}

となるので、

\sqrt{コ} = \sqrt{6}

サ \sqrt{シ} = 2 \sqrt{3}

である。

解答コ：６, サ：２, シ：３

解法２

アドバイス

この問題については、解法１のように絶対値を使わずに解ける。
解法１で解いてもらってＯＫだ。
けれど、(2)で求めた結果を全く使わなかったことからも分かるように、解法１は問題の流れには乗っていない。
流れは、次のような絶対値を使う方法だ。

(1)より、 $f (0) ≦ 6$ かつ $f (6) ≧ 0$ となるような $a$ の範囲は、式Ｃと式Ｅの連立不等式の解なので、
$- 2 \sqrt{3} ≦ a ≦ 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}$
である。
これは、(2)の図Ａの点 $P$ と点 $Q$ の間の部分にあたる（点 $P$ と点 $Q$ を含む）。
なので、 $a$ の範囲を数直線で表すと、図Ｂができる。

図の固定

図Ｂにおいて、点 $M$ は線分 $PQ$ の中点。
なので、点 $M$ と点 $P$ の距離と、点 $M$ と点 $Q$ の距離は等しくて、
$\sqrt{6} - (- 2 \sqrt{3})$ 式Ｉ
$= \sqrt{6} + 2 \sqrt{3}$
である。

$a$ は点 $M$ から見て点 $M$ や点 $P$ より遠くなることはないので、
$a$ と点 $M$ の距離 $≦ \sqrt{6} + 2 \sqrt{3}$ 式Ｊ
であることが分かる。

ここで、 $a$ と $M$ の距離を考える。
式Ｉで点 $M$ と点 $P$ の距離を求めたけど、それは
$($ 点 $M$ の座標 $) - ($ 点 $P$ の座標 $)$
という計算だった。
同じように、 $a$ と $M$ の距離は
$a - ($ 点 $M$ の座標 $)$
$= a - \sqrt{6}$
だけど、 $a$ が点 $M$ の右にあるか左にあるか分からない。
左にあると、 $a - \sqrt{6}$ だと負の値になってしまう。
なので、
$| a - \sqrt{6} |$
と絶対値をつけておこう。

これを式Ｊに代入して、
$| a - \sqrt{6} | ≦ \sqrt{6} + 2 \sqrt{3}$
となる。

解答ケ：６, コ：６, サ：２, シ：３

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