まずアイの式だ。
$\mathrm{AB}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$とか$\mathrm{AC}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}$とか 見慣れない項があるので、この部分から考えよう。

図Ａのように、頂点Aから辺BCに垂線を下ろし、その足を点Hとする。
$\mathrm{△}\mathrm{ABH}$ は直角三角形なので、
$$\begin{array}{rl}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}& =\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABH}\\ & =\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}}\end{array}$$ とかける。

同様に、
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AC}}}$
である。

なので、アイの式は
$$\begin{array}{rl}\boxed{\text{アイ}}& =\mathrm{AB}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}+\mathrm{AC}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}\\ & =\mathrm{AB}\cdot \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}}+\mathrm{AC}\cdot \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AC}}\\ & =\mathrm{BH}+\mathrm{CH}\\ & =\mathrm{BC}\\ & =12\end{array}$$ となる。

解答ア：１, イ：２

アイの式に$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$と$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}$の値を代入すると、
${\displaystyle \frac{1}{3}\mathrm{AB}+\frac{7}{9}\mathrm{AC}=12}$式Ａ
となる。

アドバイス

次は${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}}$だ。
ABとかACとかの辺の長さが入っている公式は
正弦定理 余弦定理 面積 の３種類あるけれど、今回は面積は論外。
また、余弦定理は${\mathrm{AB}}^2$とか${\mathrm{AC}}^2$とかになるからパス。
正弦定理を使おう。

正弦定理より、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}}}$
これを変形して、

途中式

まず両辺をACで割って、
${\displaystyle \frac{1}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}\cdot \sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}}}$
両辺に$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}$をかけて、

${\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}}$式Ｂ
という式が出来る。

この式の$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$は、
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}+{\cos }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=1$
より
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2=1$
だから

途中式

$$\begin{array}{rl}{\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}& =1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\\ & =\frac{3^2-1}{3^2}\\ & =\frac{8}{3^2}\end{array}$$ ここで、$0<\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$なので、

${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}$式Ｃ

また、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}$は、
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}+{\cos }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}=1$
より
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}+{\left({\displaystyle \frac{7}{9}}\right)}^2=1$
だから

途中式

$$\begin{array}{rl}{\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}& =1-{\left(\frac{7}{9}\right)}^2\\ & =\frac{9^2-7^2}{9^2}\\ & =\frac{(9+7)(9-7)}{9^2}\\ & =\frac{16\cdot 2}{9^2}\end{array}$$ ここで、$0<\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}$なので、

$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{9}}$式Ｄ

式Ｃ，式Ｄを式Ｂに代入して、
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}& =\frac{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}\\ & =\frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}\end{array}$$

途中式

繁分数は面倒だから、まず右辺の分母分子に$9$をかけよう。
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}& =\frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}\times 9}{\frac{2\sqrt{2}}{3}\times 9}\\ & =\frac{4\sqrt{2}}{3\cdot 2\sqrt{2}}\end{array}$$ あとは、右辺を約分すると

${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{2}{3}}$式Ｅ
となる。

解答ウ：２, エ：３

ABとACの式が２つ出来たので、連立方程式として解こう。

式Ｅの両辺にACをかけて、
${\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{2}{3}\mathrm{AC}}$式Ｅ'

これを式Ａに代入して、
${\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\mathrm{AC}+\frac{7}{9}\mathrm{AC}=12}$

途中式

${\displaystyle \frac{2}{9}\mathrm{AC}+\frac{7}{9}\mathrm{AC}=12}$
${\displaystyle \frac{9}{9}\mathrm{AC}=12}$

$\mathrm{AC}=12$
となる。

これを式Ｅ'に代入すると、
${\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{2}{3}\cdot 12}$
$\mathrm{AB}$$=8$
である。

解答オ：８, カ：１, キ：２

ここまでで分かったことを書き込むと、図Ｂができる。

さて、最後はADだ。
△ABDを考えると、２辺の長さと１角の三角比が分かってるので、余弦定理だ。

点Dは辺BCの中点なので、
$\mathrm{BD}=6$
である。

△ABDに余弦定理を使うと、
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{AD}}^2& ={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BD}}^2-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BD}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABD}\\ & =8^2+6^2-2\cdot 8\cdot 6\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{{\mathrm{AD}}^2}& =(2\cdot 4{)}^2+(2\cdot 3{)}^2-2\cdot 8\cdot 2\\ & =2^2(4^2+3^2-8)\\ & =2^2\cdot 17\end{array}$$ ここで、$0<\mathrm{AD}$なので、

$\mathrm{AD}=2\sqrt{17}$
となる。

解答ク：２, ケ：１, コ：７