対数をそのまま考えると分かりにくいときには、指数に書きかえてから考えるのがお薦め。
というわけで、まず指数と対数の関係の復習から始めよう。

復習

$0<a$，$0<b$のとき
${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$
である。

復習より、
${\log }_2\boxed{\text{タ}}=0$
は
$2^0=\boxed{\text{タ}}$
とかける。
よって、
$\boxed{\text{タ}}=1$
である。

解答タ：１

${\log }_2\boxed{\text{チ}}=1$
は
$2^1=\boxed{\text{チ}}$
なので、
$\boxed{\text{チ}}=2$
である。

解答チ：２

また、$\ell$を整数として、
${\log }_{2}x=\ell$
とおくと、
$2^{\ell }=x$
とかける。
いま、$x$は$100$以下の自然数だ。
よって、$2$の整数乗が$100$以下の自然数になる場合を考えればよい。

$2$の整数乗を書き出してみると、

$2^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}$	自然数でないので×
$2^0=1$	○
$2^1=2$	○
$⋮$
$2^6=64$	○
$2^7=128$	$100$を超えるので×

なので、$x$が$100$以下の自然数となるのは
７個
である。

解答ツ：７

$54=27\times 2$
$54$$=3^3\times 2$
なので、${\log }_{2}54$は
$$\begin{array}{rl}{\log }_{2}54& ={\log }_2(3^3\cdot 2)\\ & ={\log }_2{3}^3+{\log }_{2}2\\ & =3{\log }_{2}3+{\log }_{2}2\\ & =3{\log }_{2}3+1\mathrm{式}Ａ\end{array}$$ とかける。
いま${\log }_{2}3=r$なので、式Ａは
${\log }_{2}54=3r+1$
となる。

解答テ：３, ト：１

次は、対数の大小の問題だ。

${\log }_{2}5$と${\displaystyle \frac{r+3}{2}}$は、そのままの形ではどうにもならないので、${\log }_{2}X$の形にそろえてから比較しよう。

$r={\log }_{2}3$なので、
${\displaystyle \frac{r+3}{2}=\frac{{\log }_{2}3+3}{2}}$
である。
これを変形すると、
${\displaystyle \frac{r+3}{2}=\frac{1}{2}{\log }_{2}3+\frac{3}{2}}$
となる。

右辺の${\displaystyle \frac{3}{2}}$は対数じゃないので、対数にしないといけない。
対数にするには、$1$をかける。
$1$とは、${\log }_{2}2$のことだ。
${\log }_{2}2$をかけると、上の式は
${\displaystyle \frac{r+3}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{2}3+{\displaystyle \frac{3}{2}}{\log }_{2}2$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{{\displaystyle \frac{r+3}{2}}}& ={\log }_2{3}^{\frac{1}{2}}+{\log }_2{2}^{\frac{3}{2}}\\ & ={\log }_2\sqrt{3}+{\log }_2\sqrt{2^3}\\ & ={\log }_2\sqrt{3}+{\log }_2\sqrt{8}\end{array}$$

$\phantom{{\displaystyle \frac{r+3}{2}}}={\log }_2\sqrt{24}$式Ｂ
となる。

式Ｂは真数がルートなので、${\log }_{2}5$も同じ形にすると、
${\log }_{2}5={\log }_2\sqrt{25}$式Ｃ
とかける。

式Ｂと式Ｃを比較すると、
底の$2$は$1$より大きい $\sqrt{25}>\sqrt{24}$ なので、
${\log }_2\sqrt{25}>{\log }_2\sqrt{24}$
といえる。
よって、
${\displaystyle {\log }_{2}5>\frac{r+3}{2}}$
である。

解答ナ：２

${\displaystyle {\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{3}}}$と$r$は、
${\displaystyle {\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{3}}}$の底は${\displaystyle \frac{1}{2}}$ $r={\log }_{2}3$の底は$2$ なので、底の変換公式を使って底を$2$にそろえよう。

底の変換公式は、

公式

${\displaystyle {\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$

だった。

底の変換公式より、
${\log }_{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{{\log }_2{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}{{\log }_2{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{{\log }_{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}& =\frac{{\log }_2{\sqrt{3}}^{-1}}{{\log }_2{2}^{-1}}\\ & =\frac{-{\log }_2\sqrt{3}}{-{\log }_{2}2}\\ & =\frac{-{\log }_2\sqrt{3}}{-1}\end{array}$$

$\phantom{{\log }_{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}={\log }_2\sqrt{3}$式Ｄ
である。

一方、$r$は
$r={\log }_{2}3$
なので、式Ｄと比較すると
底の$2$は$1$より大きい $\sqrt{3}<3$ だから、
${\log }_2\sqrt{3}<{\log }_{2}3$
より
${\displaystyle {\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{3}}<r}$
である。

解答ニ：０

$n\leqq {\log }_{k}2<n+1$
は、中辺だけ対数なので面倒だ。
左辺と右辺も対数にしよう。

${\log }_{k}k=1$なので、左辺と右辺にかけても値は変わらないから、
$n{\log }_{k}k\leqq {\log }_{k}2<(n+1){\log }_{k}k$
より
${\log }_k{k}^n\leqq {\log }_{k}2<{\log }_k{k}^{n+1}$
とかける。
底の$k$は$3$以上なので、
$k^n\leqq 2<k^{n+1}$式Ｅ
である。

$n$は整数だから、整数だけ考えると、
$k^0=1$なので、$k^0<2$ $k^1=k$なので、$2<k^1$ だ。
よって、式Ｅを満たす$n$は
$n=0$
である。

解答ヌ：０

${\displaystyle \frac{m}{10}\leqq {\log }_{k}2}$
の左辺も、さっきと同じように対数にすると、
${\displaystyle \frac{m}{10}{\log }_{k}k\leqq {\log }_{k}2}$
両辺を$10$倍して、
$m{\log }_{k}k\leqq 10{\log }_{k}2$
${\log }_k{k}^m\leqq {\log }_k{2}^{10}$
底の$k$は$1$より大きいので、
$k^m\leqq 2^{10}$
となる。

解答ネ：４

ここまではいいのだが、この後の「${\log }_{k}2$を小数で表したときの小数第1位の数字を求めることができる」の意味が分かりにくいかも知れない。
これを説明するより、実際にノを求める方法を見た方が分かりやすそうだ。

さっき解いた
${\displaystyle \frac{m}{10}\leqq {\log }_{k}2}$

$k^m\leqq 2^{10}$
を${\log }_{7}2$に当てはめると、
${\displaystyle \frac{m}{10}\leqq {\log }_{7}2}$式Ｆ

$7^m\leqq 2^{10}$式Ｇ
とかける。

式Ｇの不等式を解く。
$7^m\leqq 2^{10}$
$7^m\leqq 1024$式Ｇ'
だけど、
$7^2=49$
$7^3=(50-1)\times 7$
$7^3$$=350-7$
$7^3$$=343$
だから、$7^4$は計算しなくても$1024$より大きくなってしまうのは明らか。
よって、式Ｇ'を満たす最大の整数$m$は$3$で、$4$だと$1024$より大きくなってしまう。

式Ｆと式Ｇは、形は違うけど同じ式なので、式Ｆを満たす最大の整数$m$も
$m=3$
で、
$m=4$
だと${\log }_{7}2$より大きくなってしまう。

これを式で表すと
${\displaystyle \frac{3}{10}\leqq {\log }_{7}2<\frac{4}{10}}$
より
$0.3\leqq {\log }_{7}2<0.4$
となるので、${\log }_{7}2$の小数第１位は
$3$
である。

解答ノ：３

以上より、$k$が$3$以上の整数のとき、$m$を整数として、
$k^m\leqq 2^{10}<k^{m+1}$式Ｈ
を満たす$m$が${\log }_{k}2$の小数第１位の数字であることが分かる。
よって、ハヒは、$m=2$のとき式Ｈが成り立つの最小の$k$だ。

式Ｈに$m=2$を代入して、
$k^2\leqq 1024<k^3$
だけど、
${10}^2=100$
${10}^3=1000$
なので、$k=10$だとギリギリ式Ｈは成り立たない。
よって、計算するまでもなく、求める$k$は
$k=11$
である。

解答ハ：１, ヒ：１