アイウエより、式①，式②は
$560=16\times 35$①
$560=13\times 43+1$②
となる。

①と②の連立方程式より、
$16\times 35=13\times 43+1$式Ａ
とかけるので、
$(x,y)=(35,43)$
は、不定方程式
$16x=13y+1$
の解のひとつである。

解のひとつが見つかったので、あとはいつも通りに解こう。

式Ａの両辺を$c$倍して、
$16\times 35c=13\times 43c+c$式Ａ'
これを、不定方程式
$16x=13y+c$
から辺々引くと、

	$16x$	$=$	$13y$	$+c$
$-)$	$16\times 35c$	$=$	$13\times 43c$	$+c$
	$16(x-35c)$	$=$	$13(y-43c)$	式Ｂ

とかける。

ここで、$16$と$13$は互いに素なので、式Ｂが成り立つためには、$s$を整数として
$\{\begin{array}{l}x-35c=13s\\ y-43c=16s\end{array}$
でなければならない。

なので、すべての整数解は
$\{\begin{array}{l}x=13s+35c\\ y=16s+43c\end{array}$
と表せる。

解答オ：１, カ：３, キ：１, ク：６

①より
$560=16\times 35$
なので、$560$は$16$の倍数だ。

$k$の式は
$k=$${560}^2$$+$$560q$$+r$
だけど、緑の項は$16$の倍数だから、$k$が$16$の倍数であるためには
$r$が$16$の倍数
でなければならない。

解答ケ：１, コ：６

②より
$560=13\times 43+1$
だけど、この両辺を２乗すると
${560}^2=(13\times 43+1{)}^2$
${560}^2$$=(13\times 43{)}^2+2(13\times 43)\times 1+1^2$
${560}^2$$=$$(13\times 43{)}^2$$+$$2(13\times 43)$$+$$1$
となる。

この式の緑の項は$13$の倍数なので、${560}^2$を$13$で割った余りは赤い部分の
$1$
である。

解答サ：１

よって、${560}^2$は、$n$を整数として
${560}^2=13n+1$式Ｃ
とかける。

式②と式Ｃを$k$の式に代入すると、
$k=(13n+1)+(13\times 43+1)q+r$
より
$k=$$13n$$+$$13\times 43q$$+$$1+q+r$
となる。

この式の緑の項は$13$の倍数だから、$k$が$13$の倍数であるためには、赤い部分の
$1+q+r$が$13$の倍数
でなければならない。

解答シ：１, ス：３

$k$は$16$でも$13$でも割り切れるから、$16$と$13$の公倍数だ。
したがって、$k$は$16$と$13$の最小公倍数
$16\times 13=208$
の倍数である。

ここでちょっと倍数の復習をしておくと、

復習

連続する$n$個の整数には、$n$の倍数が含まれる

だったから、連続する$208$個の整数の中には、$16$と$13$の公倍数が含まれていることが分かる。

問題文より
$k={560}^2+560q+r$
だけど、
$k$を${560}^2$で割った余りが$l$なので、
$0\leqq l<{560}^2$ $l$を$560$で割った商が$q$なので、
$0\leqq q<560$式Ｄ $l$を$560$で割った余りが$r$なので、
$0\leqq r<560$式Ｅ である。

なので、$r$は
$\begin{array}{l}0\\ 1\\ ⋮\\ 558\\ 559\end{array}\}560$個の整数
の連続した整数のどれか。

よって、$q$が定数のとき、$k$は
$\begin{array}{l}{560}^2+560q+0\\ {560}^2+560q+1\\ ⋮\\ {560}^2+560q+558\\ {560}^2+560q+559\end{array}\}560$個の整数
の連続した整数のどれかだ。

連続する$208$個の整数の中には$16$と$13$の公倍数が含まれているので、この連続する$560$個の整数の中にも$16$と$13$の公倍数が含まれている。
ってことは、$q$の値が何であっても、$16$と$13$の公倍数の$k$はできるわけだ。

今求めているのは$k$が最小の数のときなので、$q$はできるだけ小さい数だ。
式Ｄより、
$0\leqq q<560$
なので、求める$q$は
$q=0$
である。

解答セ：０

アドバイス

ここまで、考え方を説明したのでちょっと長い解説になったけど、分かってしまえば解くのは一瞬だ。

次は$r$だ。

$q=0$であるのが分かっているので、
$k={560}^2+r$
である。
これが$208$の倍数になればよい。

ここからは頭を使わずに手を使う。
${560}^2$を$208$で割る。（笑）

${560}^2=313600$

$313600÷208$は、筆算すると

						1	5	0	7
2	0	8	)	3	1	3	6	0	0
				2	0	8
				1	0	5	6
				1	0	4	0
						1	6	0	0
						1	4	5	6
							1	4	4

なので、
$1507$余り$144$だ。

余りが$144$なので、
$208-144=64$
より、あと$64$あったら$208$で割り切れる。
よって、$k$が$208$で割り切れる最小の数のとき、
$k={560}^2+r$
の$r$は
$r=64$
である。

解答ソ：６, タ：４

アドバイス

余りが$144$なので、例えば
$k={560}^2+r$
の$r$が$-144$でも$k$は$208$で割り切れる。
けれど、式Ｅより
$0\leqq r<560$
なので、$r=-144$は不適。

また、例えば$r$が
$64+208=272$
のときにも$k$は$208$で割り切れ、これは式Ｅの$r$の範囲にも入っている。
けれど、$k$が最小のときを問われているので、やっぱり不適である。

問題文より、$m$を$0$以上の整数として、
$\sqrt{k}$が自然数のとき、
$k=(560+m{)}^2$
とかける。
これを展開すると
$k={560}^2+2\cdot 560m+m^2$
となる。
この式を
$k={560}^2+560q+r$
と見比べて、
$\{\begin{array}{l}q=2m\\ r=m^2\end{array}$式Ｆ
という式が出来る。

$k$は$16$の倍数かつ$13$の倍数なので、(2)より
$r$は$16$の倍数 $1+q+r$は$13$の倍数 だから、$t$，$u$を整数として、
$r=16t$ $1+q+r=13u$ とかける。

この２つの式に式Ｆを代入すると、
$m^2=16t$式Ｇ $1+2m+m^2=13u$ より
$(m+1{)}^2=13u$式Ｈ という２つの式ができる。

式Ｇの両辺の正の平方根をとると、
$m=\sqrt{16t}$
$m$$=4\sqrt{t}$
より、$m$は$4$の倍数である。

式Ｈの両辺の正の平方根をとると、
$m+1=\sqrt{13u}$
だけど、これが整数になるので、$u$は$13$の倍数でなければならない。

なので、$u^{\prime }$を整数として、
$u=13u^{\prime }$
とおくと、
$m+1=\sqrt{13\cdot 13u^{\prime }}$
$m+1$$=13\sqrt{u^{\prime }}$
より、$m+1$は$13$の倍数である。

以上から、
$\{\begin{array}{l}m\text{は}4\text{の倍数}\\ m+1\text{は}13\text{の倍数}\end{array}$
なので、連続した２つの整数で、小さい数は$4$の倍数、大きい数は$13$の倍数であるものを探せばよい。

アドバイス

これからは、頭を使わずに手を使う。
問題文から$m=$チツなので、２桁の数だ。
ということは、$m+1$は最大でも$100$だ。
$1$から$100$までに$13$の倍数は７つしかない。
さらに、$m$が$4$の倍数なので偶数だから、$m+1$は奇数だ。
なので、７つある$13$の倍数の半分は考えなくていい。

アドバイスより、$m+1$の候補になるのは
$13\cdot 1$，$13\cdot 3$，$13\cdot 5$，$13\cdot 7$
の４つ。
このうち、$1$小さい数が$4$の倍数である最小ものを探す。

$m+1=13\cdot 1$
$m+1$$=13$
のとき、
$m=12$
で、$4$の倍数だ。
何だか一発で答えに当たってしまった。
なので、求める$m$は
$12$
である。

解答チ：１, ツ：２