問題文より、$p$，$q$の条件は、
$p$：$n^{2}-8n+15=0$ $q$：$n \gt 2$かつ$n \lt c$

命題「$p\Rightarrow q$」の
逆は、「$q\Rightarrow p$」 対偶は、「$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$」 である。
このそれぞれを求める。

命題「$p\Rightarrow q$」の逆は、「$q\Rightarrow p$」 $p$：$n^{2}-8n+15=0$ $q$：$n \gt 2$かつ$n \lt c$ より、求める逆は
$(n \gt 2$かつ$n \lt c)\ \Rightarrow\ n^{2}-8n+15=0$
なので、正しいのは⑤。

解答ス：５

命題「$p\Rightarrow q$」の対偶は、「$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$」 $p$：$n^{2}-8n+15=0$ $q$：$n \gt 2$かつ$n \lt c$ なので、求める対偶は、
$\overline{n \gt 2\text{かつ}n \lt c}\ \Rightarrow\ \overline{n^{2}-8n+15=0}$
である。

$\overline{n \gt 2\text{かつ}n \lt c}$の部分は、ド・モルガンの法則より、
$\overline{n \gt 2\ \cap\ n \lt c}$
$\overline{n \gt 2}\ \cup\ \overline{n \lt c}$
$n\leqq 2\ \cup\ n\geqq c$
と変形できる。

この部分の別解

この部分、数直線で解くと次のようになる。

$n \gt 2$かつ$n \lt c$は、図Ａの緑の部分。

$\overline{n \gt 2\text{かつ}n \lt c}$は、図Ａの緑の部分の否定なので、緑じゃない部分。
つまり、図Ａの赤い部分。

図の固定

これを式で表すと、、
$n\leqq 2$または$n\geqq c$
と書ける。

$\overline{n^{2}-8n+15=0}$の部分は、
$n^{2}-8n+15\neq 0$
と表せる。

よって、対偶は
$(n\leqq 2$ または $n\geqq c) \Rightarrow\ n^{2}-8n+15\neq 0$
なので、正しいのは②。

解答セ：２

いま問われているのは$q\Rightarrow p$の反例だ。
なので、$q$に含まれるけど$p$に含まれない数を探す。
上の数直線でいえば、図Ｃで赤丸だけど、図Ｂで赤丸じゃない数を探す。
以上より、反例は$n=4$である。

解答ソ：４

図の固定

(2)で求めたように、条件$p$の集合は$\{3,5\}$
（図Ｆの赤い点） 条件$q$の集合は$2 \lt n \lt c$
（図Fの緑の範囲） この２つの集合で、$p$が$q$の外にはみ出せばよい。
なので、図Ｆの数直線のどちらかのようになればよい。

図より、求める場合は$c=4$または$c=5$なので、選択肢の中であてはまるのは⓪だ。

解答タ：０

今回も数直線で考えよう。
集合$A$，$\overline{A}$，$B$，$\overline{B}$と条件$q$の集合を数直線に表すと、図Ｇができる。

図の固定

図Ｇの青と緑の範囲を組み合わせて、赤い範囲をつくればよい。
よって、図Ｇより、$q$と同じになるのは
$A\cap\overline{B}$
であることが分かる。
なので、選択肢のうち正しいのは①だ。

解答チ：１