方程式①の判別式が正であればよいので、
$D=\{2(2a-b){\}}^2-4\cdot b\cdot (b-4a+3)>0$
各辺を$4$で割って、
$\frac{D}{4}=(2a-b{)}^2-b\cdot (b-4a+3)>0$
展開して、
$\frac{D}{4}=4a^2-4ab+b^2-b^2+4ab-3b>0$
$\frac{D}{4}=4a^2-3b>0$式Ａ
$4a^2>3b$
$b<{\displaystyle \frac{4}{3}{a}^2}$
となる。

解答ツ：４, テ：３

さらに、このときの実数解を解の公式を使って求める。
式Ａの中辺は$\frac{D}{4}$。
だから、式Ａの中辺を$4$倍すれば判別式だ。
解の公式のルートの中身は判別式なので、式Ａの中辺の$4$倍を使おう。

解の公式より、
$x={\displaystyle \frac{-2(2a-b)\pm \sqrt{4\cdot (4a^2-3b)}}{2b}}$
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{-(2a-b)\pm \sqrt{4a^2-3b}}{b}}$
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{b-2a\pm \sqrt{4a^2-3b}}{b}}$
となる。

解答ト：２

方程式①の解が正の実数と負の実数のとき、グラフＡは$x$軸の正の部分と負の部分のそれぞれで交わる。
よって、グラフＡは図Ａのようになればよい。

まず、復習の３つの条件のうち、条件Ｂから始めよう。
いま、グラフは$x$軸の正の部分と負の部分で交わるので、境目は$x=0$である。
図Ａより、このときの$y$は負になるので、
$a^2\cdot 0^2+2(2a-a^2)\cdot 0+a^2-4a+3<0$
$a^2-4a+3<0$
$(a-1)(a-3)<0$
より、
$1<a<3$式Ｂ
である。

次に復習の条件Ａだ。
さっきの条件Ｂより、下に凸の放物線が$x=0$で負になるので、$x$軸と２点で交わるのは明らか。
なので、条件Ａは考えなくてもいい。

さらに、条件Ｃ。
今回の境目は$x=0$だけど、
図Ａの黒い放物線のように、軸が$x=0$であっても、 オレンジのように、軸が$x=0$より右にあっても、 緑のように、軸が$x=0$より左にあっても、 目的の、$x$軸の正の部分と負の部分で交わる放物線ができる。
つまり、放物線の軸はどこにあってもいい。
なので、条件Ｃも考えなくてよい。

また、問題文より$a\ne 0$。

以上より、求める$a$の範囲は、式Ｂのままで、
$1<a<3$
である。

解答ナ：１, ニ：３

方程式①の解が異なる二つの正の実数のとき、グラフＡは$x$軸の正の部分２か所で交わる。
よって、グラフＡは図Ｂのようになればよい。

まず、復習の３つの条件のうち、条件Ａから。
グラフが$x$軸と異なる２点で交わる条件は、(1)より、
$b<{\displaystyle \frac{4}{3}{a}^2}$
だけど、$b=a^2$なので、
$a^2<{\displaystyle \frac{4}{3}{a}^2}$
となる。
これを整理すると、
$3a^2<4a^2$
$0<a^2$
より
$a\ne 0$式Ｃ
となる。
問題文に$a$は$0$でない実数とあるけど、同じ式が出来た。

次に、条件Ｂだ。
今、グラフは$x$軸の正の部分と２か所で交わるので、境目は$x=0$である。
図Ｂより、このときの$y$は正になるので、
$a^2\cdot 0^2+2(2a-a^2)\cdot 0+a^2-4a+3>0$
$a^2-4a+3>0$
$(a-1)(a-3)>0$
より、
$a<1$，$3<a$式Ｄ

最後に、条件Ｃ。
今回の境目は$x=0$だけど、図Ｂより放物線の軸は$y$軸より右にないといけない。
ここで、放物線の軸についてちょっと復習する。

復習

$y=a{x}^2+bx+c$の放物線の軸（頂点の$x$座標）は
${\displaystyle \frac{-b}{2a}}$
だった。

グラフＡの式を平方完成するのは面倒なので、復習の方法を使おう。

復習より、グラフＡの軸は、
$x={\displaystyle \frac{-2(2a-a^2)}{2a^2}}$式Ｅ
これが$y$軸より右にあるので、
$0<{\displaystyle \frac{-2(2a-a^2)}{2a^2}}$
$0<{\displaystyle \frac{-(2a-a^2)}{a^2}}$
$0<a^2$なので、両辺に$a^2$をかけても不等号の向きは変わらない。
$0<-(2a-a^2)$
$0<a^2-2a$
$a(a-2)>0$
より
$a<0$，$2<a$式Ｆ

以上の式Ｃ，式Ｄ，式Ｆの重なる部分が答だ。
数直線を描くと、

となるので、求める範囲は
$a<0$，$3<a$
である。

解答ヌ：０, ネ：３