方程式①の判別式が正であればよいので、
$D=\{2(2a-b)\}^{2}-4\cdot b\cdot(b-4a+3) \gt 0$
各辺を$4$で割って、
$\frac{D}{4}=(2a-b)^{2}-b\cdot(b-4a+3) \gt 0$
展開して、
$\frac{D}{4}=4a^{2}-4ab+b^{2}-b^{2}+4ab-3b \gt 0$
$\frac{D}{4}=4a^{2}-3b \gt 0$式Ａ
$4a^{2} \gt 3b$
$b \lt \displaystyle \frac{4}{3}a^{2}$
となる。

解答ツ：４, テ：３

さらに、このときの実数解を解の公式を使って求める。
式Ａの中辺は$\frac{D}{4}$。
だから、式Ａの中辺を$4$倍すれば判別式だ。
解の公式のルートの中身は判別式なので、式Ａの中辺の$4$倍を使おう。

解の公式より、
$x=\displaystyle \frac{-2(2a-b)\pm\sqrt{4\cdot(4a^{2}-3b)}}{2b}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{-(2a-b)\pm\sqrt{4a^{2}-3b}}{b}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{b-2a\pm\sqrt{4a^{2}-3b}}{b}$
となる。

解答ト：２

方程式①の解が正の実数と負の実数のとき、グラフＡは$x$軸の正の部分と負の部分のそれぞれで交わる。
よって、グラフＡは図Ａのようになればよい。

まず、復習の３つの条件のうち、条件Ｂから始めよう。
いま、グラフは$x$軸の正の部分と負の部分で交わるので、境目は$x=0$である。
図Ａより、このときの$y$は負になるので、
$a^{2}\cdot 0^{2}+2(2a-a^{2})\cdot 0+a^{2}-4a+3 \lt 0$
$a^{2}-4a+3 \lt 0$
$(a-1)(a-3) \lt 0$
より、
$1 \lt a \lt 3$式Ｂ
である。

次に復習の条件Ａだ。
さっきの条件Ｂより、下に凸の放物線が$x=0$で負になるので、$x$軸と２点で交わるのは明らか。
なので、条件Ａは考えなくてもいい。

さらに、条件Ｃ。
今回の境目は$x=0$だけど、
図Ａの黒い放物線のように、軸が$x=0$であっても、 オレンジのように、軸が$x=0$より右にあっても、 緑のように、軸が$x=0$より左にあっても、 目的の、$x$軸の正の部分と負の部分で交わる放物線ができる。
つまり、放物線の軸はどこにあってもいい。
なので、条件Ｃも考えなくてよい。

また、問題文より$a\neq 0$。

以上より、求める$a$の範囲は、式Ｂのままで、
$1 \lt a \lt 3$
である。

解答ナ：１, ニ：３

方程式①の解が異なる二つの正の実数のとき、グラフＡは$x$軸の正の部分２か所で交わる。
よって、グラフＡは図Ｂのようになればよい。

まず、復習の３つの条件のうち、条件Ａから。
グラフが$x$軸と異なる２点で交わる条件は、(1)より、
$b \lt \displaystyle \frac{4}{3}a^{2}$
だけど、$b=a^{2}$なので、
$a^{2} \lt \displaystyle \frac{4}{3}a^{2}$
となる。
これを整理すると、
$3a^{2} \lt 4a^{2}$
$0 \lt a^{2}$
より
$a\neq 0$式Ｃ
となる。
問題文に$a$は$0$でない実数とあるけど、同じ式が出来た。

次に、条件Ｂだ。
今、グラフは$x$軸の正の部分と２か所で交わるので、境目は$x=0$である。
図Ｂより、このときの$y$は正になるので、
$a^{2}\cdot 0^{2}+2(2a-a^{2})\cdot 0+a^{2}-4a+3 \gt 0$
$a^{2}-4a+3 \gt 0$
$(a-1)(a-3) \gt 0$
より、
$a \lt 1$，$3 \lt a$式Ｄ

最後に、条件Ｃ。
今回の境目は$x=0$だけど、図Ｂより放物線の軸は$y$軸より右にないといけない。
ここで、放物線の軸についてちょっと復習する。

復習

$y=ax^{2}+bx+c$の放物線の軸（頂点の$x$座標）は
$\displaystyle \frac{-b}{2a}$
だった。

グラフＡの式を平方完成するのは面倒なので、復習の方法を使おう。

復習より、グラフＡの軸は、
$x=\displaystyle \frac{-2(2a-a^{2})}{2a^{2}}$式Ｅ
これが$y$軸より右にあるので、
$0 \lt \displaystyle \frac{-2(2a-a^{2})}{2a^{2}}$
$0 \lt \displaystyle \frac{-(2a-a^{2})}{a^{2}}$
$0 \lt a^{2}$なので、両辺に$a^{2}$をかけても不等号の向きは変わらない。
$0 \lt -(2a-a^{2})$
$0 \lt a^{2}-2a$
$a(a-2) \gt 0$
より
$a \lt 0$，$2 \lt a$式Ｆ

以上の式Ｃ，式Ｄ，式Ｆの重なる部分が答だ。
数直線を描くと、

となるので、求める範囲は
$a \lt 0$，$3 \lt a$
である。

解答ヌ：０, ネ：３