$f(x)$は$x=1$で極値をもつから、
$f'(1)=0$
である。

解答ア：０

なので、$f(x)$の式は
$f(x)=px^{3}-3px$式Ａ
$f'(x)$は
$f'(x)=3px^{2}-3p$式Ｂ
となる。

$y=f(x)$上の点$(s,f(s))$における接線を直線$m$とする。

直線$m$の傾きを$a$とすると、式Ｂより、
$a=3ps^{2}-3p$式Ｃ
となる。

傾き$a$の直線が$(s,f(s))$を通るので、直線$m$の式は
$y-f(s)=(3ps^{2}-3p)(x-s)$
$y=(3ps^{2}-3p)(x-s)+f(s)$式Ｄ
とかける。

さらに、式Ａより
$f(s)=ps^{3}-3ps$
なので、式Ｄは
$y=(3ps^{2}-3p)(x-s)+ps^{3}-3ps$
より
$y=(3ps^{2}-3p)x-3ps^{3}+3ps+ps^{3}-3ps$
$y$$=(3ps^{2}-3p)x-2ps^{3}$①
となる。

解答エ：３, オ：３, カ：２

次は、キ。
式Ｃより、傾きは
$a=3ps^{2}-3p$式Ｃ
だけど、キは$a$が最小になるときの$s$だ。
いま、$p$は定数と考える。

問題文より$0 \lt p$なので、縦軸を$a$，横軸を$s$として式Ｃのグラフを描くと、図Ａができる。

図Ａより、傾き$a$が最小になるのは、
$s=0$
のとき。

解答キ：０

最小値は、式Ｃに$s=0$を代入して、
$a=3p\cdot 0^{2}-3p$
$a$$=-3p$
である。

解答ク：－, ケ：３

まず、曲線$C$のグラフを描こう。

曲線$C$の式は
$y=px^{3}-3px$式Ａ'
だけど、$x$の奇数乗の項ばかりなので、奇関数だ。
よって、曲線$C$は原点に関して対称である。

また、式Ａ'の右辺は
$px^{3}-3px$
$=px(x^{2}-3)$
$=px(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$
と因数分解できるので、曲線$C$は$x$軸と
$(-\sqrt{3},0)$，原点，$(\sqrt{3},0)$
で交わる。

また、キクケより、曲線$C$上の点
$(s,f(s))$
における接線の傾きの最小値は、
$s=0$ のとき $-3p$
だった。

以上より、曲線$C$と原点における接線のグラフは図Ｂのようになる。

図の固定

確認しておくと、原点を通る直線は、
傾きが$-3p$のとき、曲線$C$と接する 傾きが$-3p$以外のとき、曲線$C$と交わる ことになる。

ここで、原点を通る傾き$b$の直線を直線$n$として、曲線$C$との共有点の数を考えてみよう。

以上より、曲線Cと、原点を通り 傾きが$b$の直線の共有点の個数は、
$\left\{\begin{array}{l} -3p\geqq b\text{のとき、共有点は１個}\\ -3p \lt b\text{のとき、共有点は３個} \end{array}\right.$式Ｅ
であることがわかる。

いま問われているのは、曲線$C$と、原点を通り 傾きが$-1$の直線との共有点の個数だ。
よって、式Ｅの$b$を$-1$にかえた
$\left\{\begin{array}{l} -3p\geqq-1\text{のとき、共有点は１個}\\ -3p \lt -1\text{のとき、共有点は３個} \end{array}\right.$
が答えだ。

解答コ：－, サ：１, シ：１, ス：３

ここまで、曲線$C$と$y=-x$の共有点について考えた。
ここからは、曲線$C$と$y=-x+r$の共有点を考える。

図Ｃ，図Ｄ，図Ｅは、曲線$C$と$y=bx$のグラフだった。
この$y=bx$を$y$方向に$r$平行移動すると、$y=bx+r$になる。
なので、図Ｃ，図Ｄ，図Ｅの赤い直線を平行移動、つまり上下に動かしてみよう。

図Ｃの赤い直線を上下に動かすと、図Ｆができる。

図の固定

図Ｆを見ると、$r$の値にかかわらず共有点は１個。
よって、
$-3p \gt b$
つまり
$p \lt -\displaystyle \frac{b}{3}$
のとき、$r$の値によらず共有点は１個である。

図Ｄの赤い直線を上下に動かすと、図Ｇができる。

図の固定

図Ｇにおいても、$r$の値にかかわらず共有点は１個。
なので、
$-3p=b$
つまり
$p=-\displaystyle \frac{b}{3}$
のときも、$r$の値によらず共有点は１個である。

図Ｅの赤い直線を上下に動かすと、図Ｈができる。

図の固定

図Ｈを見ると、$r$の値によって共有点の数は１個だったり２個だったり３個だったりする。
よって、
$-3p \lt b$
つまり
$p \gt -\displaystyle \frac{b}{3}$
のとき、$r$の値によって共有点は１個だったり２個だったり３個だったりする。

以上より、$r$が変化した場合、
$\left\{\begin{array}{l} p\leqq-\frac{b}{3}\text{のとき、共有点は常に１個}\\ p \gt -\frac{b}{3}\text{のとき、共有点は１個または２個または３個} \end{array}\right.$
                  式Ｈ
ことがわかる。

いま問われているのは、曲線$C$と
$y=-x+r$
との共有点の個数だ。
また、$p \gt 0$である。
よって、式Ｈの$b$を$-1$にかえ、$p \gt 0$を加えた
$\left\{\begin{array}{l} 0 \lt p\leqq\frac{1}{3}\text{のとき、共有点は１個}\\ p \gt \frac{1}{3}\text{のとき、共有点は１個または２個または３個} \end{array}\right.$
が答えだ。

解答セ：１, ソ：１, タ：３

この小問では、$p \gt \displaystyle \frac{1}{3}$の場合を考える。
先に描いたグラフだと、図Ｈの場合だ。

図Ｈをちょっと整理して、必要な情報を書きたすと図Ｉができる。

図の固定

図Ｉのように、曲線$C$と接する 傾きが$-1$の直線を$\ell_{1}$，$\ell_{2}$とし、$\ell_{1}$，$\ell_{2}$と曲線$C$の接点を$\mathrm{P}_{1}$，$\mathrm{P}_{2}$、$y$軸との交点の$y$座標を$r_{1}$，$r_{2}$とする。

曲線$C$と直線$\ell$が３個の共有点をもつのは、直線$\ell$が緑の範囲にあるとき。
言いかえると、$r$は直線$\ell$と$y$軸との交点の$y$座標なので、
$r_{2} \lt r \lt r_{1}$式Ｉ
であるとき。

ここで、図Ｉは原点に関して対称なので、
$r_{2}=-r_{1}$
だから、式Ｉは
$-r_{1} \lt r \lt r_{1}$
より
$|r| \lt r_{1}$式Ｉ'
と表せる。

この$r_{1}$を得るために、まず$\ell_{1}$の式を求める。

$\ell_{1}$の傾きは$-1$ 式Ｂより、曲線$C$の導関数は$3px^{2}-3p$ なので、接点の$x$座標は、方程式
$3px^{2}-3p=-1$
の解だ。

これを解いて、
$3px^{2}=3p-1$
$x^{2}=\displaystyle \frac{3p-1}{3p}$
$\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac{3p-1}{3p}}$式Ｊ
となる。

解答チ：３, ツ：１, テ：３

このとき（直線$\ell$が$\ell_{1}$または$\ell_{2}$と等しいとき）、$\ell$と曲線$C$の共有点は
２個
になる。

解答ト：２

式Ｊの２つの解のうち、$\mathrm{P}_{1}$の$x$座標は負なので
$\displaystyle x=-\sqrt{\frac{3p-1}{3p}}$式Ｊ'
だ。

$\mathrm{P}_{1}$の$y$座標は、式Ａ（曲線$C$の式）に式Ｊ'を代入する。
そのまま代入すると式が複雑になるので
$\displaystyle \frac{3p-1}{3p}=A$
とおいて、式Ｊ'を
$x=-\sqrt{A}$式Ｊ''
としてから代入しよう。

式Ｊ''を式Ａに代入して、
$y=p\left(-\sqrt{A}\right)^{3}-3p\left(-\sqrt{A}\right)$
$y$$=\left\{\left(-\sqrt{A}\right)^{2}-3\right\}p\left(-\sqrt{A}\right)$
$y$$=-(A-3)p\sqrt{A}$
より、$\mathrm{P}_{1}$の座標は
$(-\sqrt{A}$，$-(A-3)p\sqrt{A})$
である。

$\ell_{1}$は$\mathrm{P}_{1}$を通る 傾き$-1$の直線なので、$\ell_{1}$の式は
$y-\left\{-(A-3)p\sqrt{A}\right\}=-1\left\{x-\left(-\sqrt{A}\right)\right\}$
$y=-x-\sqrt{A}-(A-3)p\sqrt{A}$
$y$$=-x-\{1+(A-3)p\}\sqrt{A}$
$y$$=-x-(Ap-3p+1)\sqrt{A}$
とかける。
この式の$A$をもとにもどすと
$\displaystyle y=-x-\left(\frac{3p-1}{3p}\cdot p-3p+1\right)\sqrt{\frac{3p-1}{3p}}$
$y$$\displaystyle =-x-\left(\frac{3p-1}{3}-\frac{9p}{3}+\frac{3}{3}\right)\sqrt{\frac{3p-1}{3p}}$
$y\displaystyle $$\displaystyle =-x-\frac{-6p+2}{3}\sqrt{\frac{3p-1}{3p}}$
$y$$=-x+$$\displaystyle \frac{6p-2}{3}\sqrt{\frac{3p-1}{3p}}$
となる。

この式の赤い部分が、$\ell_{1}$と$y$軸との交点の$y$座標、つまり$r_{1}$の値なので、式Ｉ'の$|r|$の範囲は
$|r| \lt \displaystyle \frac{6p-2}{3}\sqrt{\frac{3p-1}{3p}}$
である。

解答ナ：６, ニ：２, ヌ：３

$y=x^{2}-1$，$x$軸，$x=u$，$x=t$で囲まれた部分とは、図Ｊの赤い部分。

図の固定

この赤い部分の面積が、$f(t)$と常に等しいという。
これを式で表すと
$\displaystyle \int_{u}^{t}(x^{2}-1)dx=f(t)$式Ｋ
となる。

ここで、定積分と微分の関係を復習しておくと、

だった。
なので、式Ｋの両辺を微分すると、
$\displaystyle \left[\int_{u}^{t}(x^{2}-1)dx\right]'=f'(t)$
より
$t^{2}-1=3pt^{2}-3p$
とかける。

この式が常に成り立つので、両辺の同類項の係数は等しいから、
$\left\{\begin{array}{l}
3p=1\\
-3p=-1
\end{array}\right.$
より
$p=\displaystyle \frac{1}{3}$
である。

解答ネ：１, ノ：３

また、
$\displaystyle \int_{u}^{u}(x^{2}-1)dx=0$
なので、式Ｋより
$f(u)=0$
である。

これを解くと$u$の値が分かるけど、計算するまでもなく、図Ｂより
$u=0$，$\pm\sqrt{3}$
だ。
いま、$u$は１以上の実数なので、
$u=\sqrt{3}$
である。

解答ハ：３