$(3,1)$が中心で半径が$1$の円なので、円$C$の式は
$(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=1^2$
とかける。
これを展開すると、
$x^2-6x+9+y^2-2y+1=1$
$x^2+y^2-6x-2y+9=0$
となる。

解答ア：６, イ：２, ウ：９

次は$\ell$に垂直な直線の方程式だ。

復習より、求める垂直な直線の傾き$a$は
$a{\displaystyle \cdot \frac{3}{4}=-1}$
$a=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$
である。 また、接点で接線と垂直に交わるので、この直線は円$C$の中心
$(3,1)$
を通る。

よって、求める直線の方程式は、
$y-1=-{\displaystyle \frac{4}{3}(x-3)}$
である。
これを整理して、
$y=-{\displaystyle \frac{4}{3}x+4+1}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{4}{3}x+5}$
となる。

解答キ：－, ク：４, ケ：３, コ：５

図の固定

図Ｂの赤い線の長さを求める問題だ。
これは、いつも通りのお約束の方法で解こう。
図Ｂの青い直角三角形を使って、三平方の定理で$b$を求める。
それを$2$倍すると、赤い線の長さだ。

円$C$の中心を点$C$とする。
$\mathrm{AB}$の中点を点$\mathrm{H}$とすると、点$\mathrm{H}$で直線$\ell$と直交する直線は点$C$を通る。（図Ｂ）
$\mathrm{BH}$の長さを$b$とおく。

$\mathrm{CH}$（図Ｂのオレンジの線）は点$C$と直線$\ell$の距離なので、式Ａの
${\displaystyle \frac{|a\cdot 3-1|}{\sqrt{a^2+(-1{)}^2}}}$
がそのまま使える。
どうせ２乗するんだから、式Ａ'の左辺をそのまま使おう。 $\mathrm{BC}$（図Ｂの緑の線）は円$C$の半径なので、
$1$
だ。

なので、三平方の定理の
${\mathrm{BH}}^2+{\mathrm{CH}}^2={\mathrm{BC}}^2$
は
$b^2+{\displaystyle \frac{9a^2-6a+1}{a^2+1}=1^2}$
とかける。

これを計算して、
$b^2=1^2-{\displaystyle \frac{9a^2-6a+1}{a^2+1}}$
$b^2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{a^2+1}{a^2+1}-\frac{9a^2-6a+1}{a^2+1}}$
$b^2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{6a-8a^2}{a^2+1}}$
$0<b$だから、
${\displaystyle b=\sqrt{\frac{6a-8a^2}{a^2+1}}}$
である。
よって、$\mathrm{AB}$の長さは、
$\mathrm{AB}=2b$
$\mathrm{AB}$${\displaystyle =2\sqrt{\frac{6a-8a^2}{a^2+1}}}$式Ｃ
となる。

解答サ：２, シ：６, ス：８

この$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$を求める。
式Ｃを求めた勢いで
${\displaystyle 2\sqrt{\frac{6a-8a^2}{a^2+1}}=2}$
とかやっちゃいそうだけど、ちょっと落ち着こう。

図の固定

円$C$の半径は$1$だった。
なので、$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるのは、$\mathrm{AB}$が直径のとき。
つまり、図Ｃのように、直線$\ell$が点$C$を通るときだ。

このとき、直線$\ell$の傾き$a$は、原点から点$C$まで、
$x$の増加量は$3$ $y$の増加量は$1$ なので、
$a={\displaystyle \frac{1}{3}}$
である。

解答セ：１, ソ：３