確率変数$W$は、二項分布$B(n,p)$に従うので、復習より
平均(期待値)$m=np$ 分散$\sigma^{2}=np(1-p)$ である。

よって、
$np=\displaystyle \frac{1216}{27}$式Ａ
また、標準偏差$\sigma$は分散$\sigma^{2}$の正の平方根なので、
$\displaystyle np(1-p)=\left(\frac{152}{27}\right)^{2}$式Ｂ
と書ける。

この２つの式の連立方程式を解く。

式Ａを式Ｂに代入して、
$\displaystyle \frac{1216}{27}(1-p)=\left(\frac{152}{27}\right)^{2}$
$1-p=\displaystyle \left(\frac{152}{27}\right)^{2}\times\frac{27}{1216}$

途中式

$1-p\displaystyle $$\displaystyle =\frac{152^{2}\times 27}{27^{2}\times 1216}$
$1-p\displaystyle $$\displaystyle =\frac{152^{2}}{27\cdot 1216}$

$1-p\displaystyle $$\displaystyle =\frac{19}{27}$
$p=1-\displaystyle \frac{19}{27}$
$p\displaystyle $$\displaystyle =\frac{8}{27}$

これを式Ａに代入して、
$\displaystyle \frac{8}{27}n=\frac{1216}{27}$
$n=\displaystyle \frac{1216}{8}$
$n$$=152$
である。

解答ア：１, イ：５, ウ：２, エ：８, オ：２, カ：７

キクケの式の右辺の()内を見ると、$W$を標準化していることが分かる。なので、左辺の()内の
$W\geqq 38$
を標準化しよう。
両辺から平均値$m$を引いて、
$W-m\geqq 38-m$
両辺を標準偏差$\sigma$で割って、
$\displaystyle \frac{W-m}{\sigma}\geqq\frac{38-m}{\sigma}$式Ｃ

問題文より
$m=\displaystyle \frac{1216}{27}$ $\displaystyle \sigma=\frac{152}{27}$

なので、式Ｃは
$\displaystyle \frac{W-m}{\sigma}\geqq\frac{38-\frac{1216}{27}}{\frac{152}{27}}$
$\displaystyle \frac{W-m}{\sigma}$$\displaystyle \geqq 38\cdot\frac{27}{152}-\frac{1216}{27}\cdot\frac{27}{152}$
$\displaystyle \frac{W-m}{\sigma}$$\displaystyle \geqq\frac{27}{4}-\frac{32}{4}$
$\displaystyle \frac{W-m}{\sigma}$$\displaystyle \geqq-\frac{5}{4}$
           $\geqq-1.25$
と変形できる。

解答キ：１, ク：２, ケ：５

ここで、$W$の従う二項分布を正規分布で近似して、$P(Z\geqq-1.25)$の確率を求めるということは、図Ａを標準正規分布として、赤い線より右の面積を求めることと同じである。

ところが、正規分布表には$0\leqq Z$の範囲しか載っていない。なので、図Ａの赤い線より右を、緑の部分と青い部分に分けて、それぞれの面積を求めて後でたそう。

緑の部分の面積は、図Ｂの緑の部分の面積と等しい。なので、正規分布表より、$0.3944$。 青い部分の面積は、グラフ全部の面積の半分なので、$0.5$。 よって、求める面積は
$0.3944+0.5\doteqdot 0.89$
なので、確率の近似値も
$0.89$
である。

解答コ：８, サ：９

確率密度関数$f(x)$をグラフにすると、図Ｃができる。
このとき、求める確率は、式Ｄより
$\displaystyle \int_{a}^{\frac{3}{2}a}f(x)dx$
つまり図Ｃ中の斜線部分の面積。
積分して求めてもいいんだけど、今は計算が簡単なので台形の面積の公式を使う。

斜線部分の面積$S$は、台形の面積の公式から
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6a}+\frac{1}{3a}\right)\left(\frac{3}{2}a-a\right)$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot\frac{1+2}{6a}\cdot\frac{1}{2}a$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2a}\cdot\frac{a}{2}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{8}$
なので、求める確率も
$\displaystyle \frac{1}{8}$
である。

解答シ：１, ス：８

$X$の平均$E(X)$は、式Ｅより（問題文にも同じ式が載っているけど）
$E(X)=\displaystyle \int_{-a}^{2a}xf(x)dx$式Ｆ
と書ける。
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2}{3a^{2}}(x+a) & (-a\leqq x\leqq 0)\\ \frac{1}{3a^{2}}(2a-x) & (0\leqq x\leqq 2a) \end{array}\right.$
なので、式Ｆは
$E(X)=\displaystyle \int_{-a}^{0}x\cdot\frac{2}{3a^{2}}(x+a)dx+\int_{0}^{2a}x\cdot\frac{1}{3a^{2}}(2a-x)dx$
$E(X)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2}{3a^{2}}$$\displaystyle \int_{-a}^{0}x(x+a)dx$$+\displaystyle \frac{1}{3a^{2}}$$\displaystyle \int_{0}^{2a}x(2a-x)dx$式Ｆ'
となる。

これを計算するのだけれど、$\displaystyle \frac{1}{6}$公式が使えるので、楽に計算しよう。

公式

$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$

を使うと、
式Ｆ'の赤い部分は、
$\displaystyle \int_{-a}^{0}x(x+a)dx=-\frac{1}{6}a^{3}$
となる。

また、式Ｆ'の青い部分だけれど、展開すると$x^{2}$の係数が$-1$になってしまう。
なので、
$\displaystyle \int_{0}^{2a}x(2a-x)dx=-\int_{0}^{2a}x(x-2a)dx$
と変形してから$\displaystyle \frac{1}{6}$公式を使うと、
$-\displaystyle \int_{0}^{2a}x(x-2a)dx=-\left\{-\frac{1}{6}(2a)^{3}\right\}$
$-\displaystyle \int_{0}^{2a}x(x-2a)dx=$$\displaystyle \frac{1}{6}(2a)^{3}$
となる。

以上より、式Ｆ'は
$E(X)=\displaystyle \frac{2}{3a^{2}}\left(-\frac{1}{6}a^{3}\right)+\frac{1}{3a^{2}}\left\{\frac{1}{6}(2a)^{3}\right\}$
と変形できる。

これを計算して、
$E(X)=-\displaystyle \frac{2a^{3}}{6\cdot 3a^{2}}+\frac{(2a)^{3}}{6\cdot 3a^{2}}$
$E(X)\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{a}{3\cdot 3}+\frac{2^{2}a}{3\cdot 3}$
$E(X)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a}{3\cdot 3}(-1+2^{2})$
$E(X)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a}{3}$
である。

解答セ：ａ, ソ：３