確率変数$W$は、二項分布$B(n,p)$に従うので、復習より
平均(期待値)$m=np$ 分散${\sigma }^2=np(1-p)$ である。

よって、
$np={\displaystyle \frac{1216}{27}}$式Ａ
また、標準偏差$\sigma$は分散${\sigma }^2$の正の平方根なので、
$np(1-p)={\left({\displaystyle \frac{152}{27}}\right)}^2$式Ｂ
と書ける。

この２つの式の連立方程式を解く。

式Ａを式Ｂに代入して、
${\displaystyle \frac{1216}{27}}(1-p)={\left({\displaystyle \frac{152}{27}}\right)}^2$
$1-p={\left({\displaystyle \frac{152}{27}}\right)}^2\times {\displaystyle \frac{27}{1216}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{1-p}& ={\displaystyle \frac{{152}^2\times 27}{{27}^2\times 1216}}\\ & ={\displaystyle \frac{{152}^2}{27\cdot 1216}}\end{array}$$

$\phantom{1-p}={\displaystyle \frac{19}{27}}$

$$\begin{array}{rl}p& =1-{\displaystyle \frac{19}{27}}\\ & ={\displaystyle \frac{8}{27}}\end{array}$$

これを式Ａに代入して、
${\displaystyle \frac{8}{27}}n={\displaystyle \frac{1216}{27}}$
$$\begin{array}{rl}n& ={\displaystyle \frac{1216}{8}}\\ & =152\end{array}$$ である。

解答ア：１, イ：５, ウ：２, エ：８, オ：２, カ：７

キクケの式の右辺の()内を見ると、$W$を標準化していることが分かる。なので、左辺の()内の
$W\geqq 38$
を標準化しよう。
両辺から平均値$m$を引いて、
$W-m\geqq 38-m$
両辺を標準偏差$\sigma$で割って、
${\displaystyle \frac{W-m}{\sigma }}\geqq {\displaystyle \frac{38-m}{\sigma }}$式Ｃ

問題文より
$m={\displaystyle \frac{1216}{27}}$ $\sigma ={\displaystyle \frac{152}{27}}$

なので、式Ｃは
${\displaystyle \frac{W-m}{\sigma }}\geqq {\displaystyle \frac{38-\frac{1216}{27}}{\frac{152}{27}}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{{\displaystyle \frac{W-m}{\sigma }}}& \geqq 38\cdot {\displaystyle \frac{27}{152}}-{\displaystyle \frac{1216}{27}}\cdot {\displaystyle \frac{27}{152}}\\ & \geqq {\displaystyle \frac{27}{4}}-{\displaystyle \frac{32}{4}}\\ & \geqq -{\displaystyle \frac{5}{4}}\end{array}$$

$\phantom{{\displaystyle \frac{W-m}{\sigma }}}\geqq -1.25$
と変形できる。

解答キ：１, ク：２, ケ：５

ここで、$W$の従う二項分布を正規分布で近似して、$P(Z\geqq -1.25)$の確率を求めるということは、図Ａを標準正規分布として、赤い線より右の面積を求めることと同じである。

ところが、正規分布表には$0\leqq Z$の範囲しか載っていない。なので、図Ａの赤い線より右を、緑の部分と青い部分に分けて、それぞれの面積を求めて後でたそう。

緑の部分の面積は、図Ｂの緑の部分の面積と等しい。なので、正規分布表より、$0.3944$。 青い部分の面積は、グラフ全部の面積の半分なので、$0.5$。 よって、求める面積は
$0.3944+0.5\doteqdot 0.89$
なので、確率の近似値も
$0.89$
である。

解答コ：８, サ：９

確率密度関数$f(x)$をグラフにすると、図Ｃができる。
このとき、求める確率は、式Ｄより
${\displaystyle {\int }_a^{\frac{3}{2}a}f(x)dx}$
つまり図Ｃ中の斜線部分の面積。
積分して求めてもいいんだけど、今は計算が簡単なので台形の面積の公式を使う。

斜線部分の面積$S$は、台形の面積の公式から
$S={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{6a}}+{\displaystyle \frac{1}{3a}})({\displaystyle \frac{3}{2}}a-a)$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{S}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1+2}{6a}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}a\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2a}}\cdot {\displaystyle \frac{a}{2}}\end{array}$$

$\phantom{S}={\displaystyle \frac{1}{8}}$
なので、求める確率も
${\displaystyle \frac{1}{8}}$
である。

解答シ：１, ス：８

$X$の平均$E(X)$は、式Ｅより（問題文にも同じ式が載っているけど）
${\displaystyle E(X)={\int }_{-a}^{2a}xf(x)dx}$式Ｆ
と書ける。
$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2}{3a^2}}(x+a)& (-a\leqq x\leqq 0)\\ {\displaystyle \frac{1}{3a^2}}(2a-x)& (0\leqq x\leqq 2a)\end{array}$
なので、式Ｆは
$$\begin{array}{rl}E(X)& ={\int }_{-a}^{0}x\cdot {\displaystyle \frac{2}{3a^2}}(x+a)dx\\ & +{\int }_0^{2a}x\cdot {\displaystyle \frac{1}{3a^2}}(2a-x)dx\\ & ={\displaystyle \frac{2}{3a^2}}{\int }_{-a}^{0}x(x+a)dx\\ & +{\displaystyle \frac{1}{3a^2}}{\int }_0^{2a}x(2a-x)dx\\ & \mathrm{式}{Ｆ}^{\prime }\end{array}$$ となる。

これを計算するのだけれど、${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式が使えるので、楽に計算しよう。

公式

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=-{\displaystyle \frac{1}{6}}(\beta -\alpha {)}^3}$

を使うと、
式Ｆ'の赤い部分は、
${\displaystyle {\int }_{-a}^{0}x(x+a)dx=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{a}^3}$
となる。

また、式Ｆ'の青い部分だけれど、展開すると$x^2$の係数が$-1$になってしまう。
なので、
${\displaystyle {\int }_0^{2a}x(2a-x)dx=-{\int }_0^{2a}x(x-2a)dx}$
と変形してから${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式を使うと、
$$\begin{array}{rl}-{\int }_0^{2a}x(x-2a)dx& =-\{-{\displaystyle \frac{1}{6}}(2a{)}^3\}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}}(2a{)}^3\end{array}$$ となる。

以上より、式Ｆ'は
$E(X)={\displaystyle \frac{2}{3a^2}}(-{\displaystyle \frac{1}{6}}{a}^3)+{\displaystyle \frac{1}{3a^2}}\{{\displaystyle \frac{1}{6}}(2a{)}^3\}$
と変形できる。

これを計算して、
$$\begin{array}{rl}E(X)& =-{\displaystyle \frac{2a^3}{6\cdot 3a^2}}+{\displaystyle \frac{(2a{)}^3}{6\cdot 3a^2}}\\ & =-{\displaystyle \frac{a}{3\cdot 3}}+{\displaystyle \frac{2^{2}a}{3\cdot 3}}\\ & ={\displaystyle \frac{a}{3\cdot 3}}(-1+2^2)\\ & ={\displaystyle \frac{a}{3}}\end{array}$$ である。

解答セ：ａ, ソ：３

ここで、確率変数の変換の復習をしておこう。

復習

確率変数$R$の
平均(期待値)が$E(R)$ 分散が$V(R)$ であるとする。

$R$を使って
$Q=aR+b$ （$a$，$b$は定数）
とするとき、確率変数$Q$の
平均(期待値)$E(Q)=aE(R)+b$
式Ｇ 分散$V(Q)=a^{2}V(R)$ である。

式Ｇより、$Y$の平均$E(Y)$は
$$\begin{array}{rl}E(Y)& =2\cdot {\displaystyle \frac{a}{3}}+7\\ & ={\displaystyle \frac{2a}{3}}+7\end{array}$$ である。

解答タ：２, チａ, ツ：３, テ：７