図Ａにおいて、方べきの定理より、
$\mathrm{BC}\cdot \mathrm{CE}=\mathrm{AC}\cdot \mathrm{CD}$
$\mathrm{BC}\cdot \mathrm{CE}$$=7\cdot 4$
$\mathrm{BC}\cdot \mathrm{CE}$$=28$
である。

解答ア：２, イ：８

これに$\mathrm{BC}=8$を代入して、
$8\mathrm{CE}=28$
${\displaystyle \mathrm{CE}=\frac{28}{8}}$
${\displaystyle \mathrm{CE}}$${\displaystyle =\frac{7}{2}}$
となる。

解答ウ：７, エ：２

よって、
${\displaystyle \mathrm{BE}=8-\frac{7}{2}}$
${\displaystyle \mathrm{BE}}$${\displaystyle =\frac{9}{2}}$
である。

図Ａに以上の値を書き込むと、図Ｂができる。

図Ｂにおいて、△$\mathrm{ABC}$にメネラウスの定理を使って、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{AF}}\cdot \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{BE}}=1}$

なので、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{AF}}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{\frac{7}{2}}{\frac{9}{2}}=1}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{AF}}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{7}{9}=1}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{AF}}\cdot \frac{7}{12}=1}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{AF}}=\frac{12}{7}}$
である。

解答オ：１, カ：２, キ：７

これに$\mathrm{BF}=\mathrm{AF}+3$を代入して、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AF}+3}{\mathrm{AF}}=\frac{12}{7}}$
$7(\mathrm{AF}+3)=12\mathrm{AF}$
$7\mathrm{AF}+21=12\mathrm{AF}$
$5\mathrm{AF}=21$
${\displaystyle \mathrm{AF}=\frac{21}{5}}$
となる。

解答ク：２, ケ：１, コ：５

三角形$\mathrm{ABC}$に、$\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$に注目して余弦定理を使うと、
${\mathrm{BA}}^2+{\mathrm{BC}}^2-2\mathrm{BA}\cdot \mathrm{BC}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}={\mathrm{AC}}^2$
$3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=7^2$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\frac{3^2+8^2-7^2}{2\cdot 3\cdot 8}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}$${\displaystyle =\frac{3^2+15}{2\cdot 3\cdot 8}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}$${\displaystyle =\frac{3+5}{2\cdot 8}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}}$
となる。
ここで、$0^{\circ }<\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}<{180}^{\circ }$なので、
$\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}={60}^{\circ }$
である。

解答サ：６, シ：０

復習

内接円の半径を求める式はひとつしかなくて、三角形の長さを$a$，$b$，$c$，面積を$S$，内接円の半径を$r$としたとき、
$S={\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)}$式Ａ
だった。

なので、まず△$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよう。
$\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}={60}^{\circ }$
なので、これを使って
$S={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{BA}\cdot \mathrm{BC}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8\cdot \sin {60}^{\circ }}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$
$S$$=6\sqrt{3}$

これを式Ａに代入して、
${\displaystyle \frac{1}{2}r(3+8+7)=6\sqrt{3}}$
$9r=6\sqrt{3}$
$r={\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{9}}$
$r{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
となる。

解答ス：２, セ：３, ソ：３

図Ｃのように、円$\mathrm{I}$と$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおくと、
$\mathrm{AP}=\mathrm{AR}$ $\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}$ $\mathrm{CQ}=\mathrm{CR}$ である。

$\mathrm{BQ}=x$とすると、
$\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}=x$なので、
$\mathrm{AP}=\mathrm{AR}=3-x$ $\mathrm{CQ}=\mathrm{CR}=8-x$

だから、
$\mathrm{AC}=\mathrm{AR}+\mathrm{CR}$
$\mathrm{AC}$$=(3-x)+(8-x)$
$\mathrm{AC}$$=11-2x$
と表せる。

$\mathrm{AC}=7$なので、これは
$11-2x=7$
より、
$\mathrm{x}=2$
となる。

よって、
$\mathrm{BQ}=2$式Ｂ
である。

△$\mathrm{BIQ}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{BQI}={90}^{\circ }$の直角三角形なので、三平方の定理より、
${\mathrm{BI}}^2={\mathrm{BQ}}^2+{\mathrm{IQ}}^2$式Ｃ
である。
$\mathrm{IQ}$は内接円の半径なので、スセソより
${\displaystyle \mathrm{IQ}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
だった。

また、式Ｂより
$\mathrm{BQ}=2$
なので、式Ｃは
${\mathrm{BI}}^2=2^2+{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^2$
である。

これを計算して、
${\displaystyle {\mathrm{BI}}^2=4+\frac{12}{3^2}}$
${\displaystyle {\mathrm{BI}}^2}$${\displaystyle =\frac{3^2\cdot 4+12}{3^2}}$
${\displaystyle {\mathrm{BI}}^2}$${\displaystyle =\frac{3\cdot 4(3+1)}{3^2}}$
${\displaystyle {\mathrm{BI}}^2}$${\displaystyle =\frac{3\cdot 4^2}{3^2}}$
ここで、$0<\mathrm{BI}$なので、
${\displaystyle \mathrm{BI}=\frac{4\sqrt{3}}{3}}$
である。

解答タ：４, チ：３, ツ：３