図Ａにおいて、方べきの定理より、
$\mathrm{BC}\cdot \mathrm{CE}=\mathrm{AC}\cdot \mathrm{CD}$
$\mathrm{BC}\cdot \mathrm{CE}$$=7\cdot 4$
$\mathrm{BC}\cdot \mathrm{CE}$$=28$
である。

解答ア：２, イ：８

これに$\mathrm{BC}=8$を代入して、
$8\mathrm{CE}=28$
$\displaystyle \mathrm{CE}=\frac{28}{8}$
$\displaystyle \mathrm{CE}$$\displaystyle =\frac{7}{2}$
となる。

解答ウ：７, エ：２

よって、
$\displaystyle \mathrm{BE}=8-\frac{7}{2}$
$\displaystyle \mathrm{BE}$$\displaystyle =\frac{9}{2}$
である。

図Ａに以上の値を書き込むと、図Ｂができる。

図Ｂにおいて、△$\mathrm{ABC}$にメネラウスの定理を使って、
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{F}}\cdot\frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}\cdot\frac{\mathrm{C}\mathrm{E}}{\mathrm{B}\mathrm{E}}=1$

なので、
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{F}}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{\frac{7}{2}}{\frac{9}{2}}=1$
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{F}}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{7}{9}=1$
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{F}}\cdot\frac{7}{12}=1$
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{F}}=\frac{12}{7}$
である。

解答オ：１, カ：２, キ：７

これに$\mathrm{BF}=\mathrm{AF}+3$を代入して、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{F}+3}{\mathrm{A}\mathrm{F}}=\frac{12}{7}$
$7(\mathrm{AF}+3)=12\mathrm{AF}$
$7\mathrm{AF}+21=12\mathrm{AF}$
$5\mathrm{AF}=21$
$\displaystyle \mathrm{AF}=\frac{21}{5}$
となる。

解答ク：２, ケ：１, コ：５

三角形$\mathrm{ABC}$に、$\angle \mathrm{ABC}$に注目して余弦定理を使うと、
$\mathrm{BA}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2\mathrm{BA}\cdot \mathrm{BC}\cos\angle \mathrm{ABC}=\mathrm{AC}^{2}$
$3^{2}+8^{2}-2\cdot 3\cdot 8\cos\angle \mathrm{ABC}=7^{2}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ABC}=\frac{3^{2}+8^{2}-7^{2}}{2\cdot 3\cdot 8}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ABC}$$\displaystyle =\frac{3^{2}+15}{2\cdot 3\cdot 8}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ABC}$$\displaystyle =\frac{3+5}{2\cdot 8}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ABC}$$\displaystyle =\frac{1}{2}$
となる。
ここで、$0^{\circ} \lt \cos\angle \mathrm{ABC} \lt 180^{\circ}$なので、
$\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$
である。

解答サ：６, シ：０

復習

内接円の半径を求める式はひとつしかなくて、三角形の長さを$a$，$b$，$c$，面積を$S$，内接円の半径を$r$としたとき、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)$式Ａ
だった。

なので、まず△$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよう。
$\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$
なので、これを使って
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{BA}\cdot \mathrm{BC}\sin\angle \mathrm{ABC}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8\cdot\sin 60^{\circ}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$
$S$$=6\sqrt{3}$

これを式Ａに代入して、
$\displaystyle \frac{1}{2}r(3+8+7)=6\sqrt{3}$
$9r=6\sqrt{3}$
$r=\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{9}$
$r\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{3}$
となる。

解答ス：２, セ：３, ソ：３

図Ｃのように、円$\mathrm{I}$と$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおくと、
$\mathrm{AP}=\mathrm{AR}$ $\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}$ $\mathrm{CQ}=\mathrm{CR}$ である。

$\mathrm{BQ}=x$とすると、
$\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}=x$なので、
$\mathrm{AP}=\mathrm{AR}=3-x$ $\mathrm{CQ}=\mathrm{CR}=8-x$

だから、
$\mathrm{AC}=\mathrm{AR}+\mathrm{CR}$
$\mathrm{AC}$$=(3-x)+(8-x)$
$\mathrm{AC}$$=11-2x$
と表せる。

$\mathrm{AC}=7$なので、これは
$11-2x=7$
より、
$\mathrm{x}=2$
となる。

よって、
$\mathrm{BQ}=2$式Ｂ
である。

△$\mathrm{BIQ}$は$\angle \mathrm{BQI}=90^{\circ}$の直角三角形なので、三平方の定理より、
$\mathrm{BI}^{2}=\mathrm{BQ}^{2}+\mathrm{IQ}^{2}$式Ｃ
である。
$\mathrm{IQ}$は内接円の半径なので、スセソより
$\displaystyle \mathrm{IQ}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
だった。

また、式Ｂより
$\mathrm{BQ}=2$
なので、式Ｃは
$\mathrm{BI}^{2}=2^{2}+\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{2}$
である。

これを計算して、
$\displaystyle \mathrm{BI}^{2}=4+\frac{12}{3^{2}}$
$\displaystyle \mathrm{BI}^{2}$$\displaystyle =\frac{3^{2}\cdot 4+12}{3^{2}}$
$\displaystyle \mathrm{BI}^{2}$$\displaystyle =\frac{3\cdot 4(3+1)}{3^{2}}$
$\displaystyle \mathrm{BI}^{2}$$\displaystyle =\frac{3\cdot 4^{2}}{3^{2}}$
ここで、$0 \lt \mathrm{BI}$なので、
$\displaystyle \mathrm{BI}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
である。

解答タ：４, チ：３, ツ：３