大学入試センター試験 2017年(平成29年) 本試数学ⅠＡ第１問 [2] 解説

(1)

アドバイス

必要条件・十分条件の問題は、一般的には
$A\Rightarrow B$ ×
$A\Leftarrow B$ ○
ならば、$A$は$B$であるための必要条件
$A\Rightarrow B$ ○
$A\Leftarrow B$ ×
ならば、$A$は$B$であるための十分条件
って解くけど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることが多い。

なので、数直線やベン図などで表せるときは、次のように集合の大小で考える方がおすすめ。

$A$が$B$を含んでいるとき、$A$は$B$であるための必要条件

$A$が$B$に含まれているとき、$A$は$B$であるための十分条件

「大は小の必要条件。」呪文のように憶えておこう。

数直線を描いてもいいんだけど、値が$x=\pm 1$で単純なので、ここでは表を作ることにする。

$q$と$p$について、

$q$の集合は、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$q$		○		○

$p$の集合は、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$p$				○

より、$q$は$p$を含んでいる。
なので、必要条件。

解答ケ：０

$\overline{p}$と$q$について、

$\overline{p}$の集合は、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$\overline{p}$	○	○	○		○

$q$の集合は、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$q$		○		○

より、$\overline{p}$も$q$も、お互い相手を含んでいない。
なので、必要条件でも十分条件でもない。。

解答コ：３

（$p$または$\overline{q}$）と$q$について、

$p$と$\overline{q}$の集合から（$p$または$\overline{q}$）をつくると、次のようになる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$p$				○
$\overline{q}$	○		○		○
$p$または$\overline{q}$	○		○	○	○

$q$の集合は、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$q$		○		○

より、（$p$または$\overline{q}$）も$q$も、お互い相手を含んでいない。
なので、必要条件でも十分条件でもない。。

解答サ：３

（$\overline{p}$かつ$q$）と$q$について、

$\overline{p}$と$q$の集合から（$\overline{p}$かつ$q$）をつくると、次のようになる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$\overline{p}$	○	○	○		○
$q$		○		○
$\overline{p}$かつ$q$		○

$q$の集合は、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$q$		○		○

より、（$\overline{p}$かつ$q$）は$q$に含まれている。
なので、十分条件。

解答シ：１

(2)

ここで、命題の真偽と集合の復習をしておこう。

復習

命題$A\Rightarrow B$が真の場合、集合$A$，集合$B$のベン図は

図の固定

である。
言いかえると、
$A$が$B$に含まれるか等しいとき、$A\Rightarrow B$は真である。

ということで、(1)と同じように表を作ろう。

（$p$かつ$q$）$\Rightarrow r$について、

$p$と$q$の集合から（$p$かつ$q$）をつくると、次のようになる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$p$						○
$q$		○				○
$p$かつ$q$						○

$r$の集合は、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$r$					○	○	○

なので、（$p$かつ$q$）は$r$に含まれる。
よって、「（$p$かつ$q$）$\Rightarrow r$」は真。

$q\Rightarrow r$について、

$q$の集合は、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$q$		○				○

$r$の集合は、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$r$					○	○	○

なので、$q$は$r$に含まれない。
よって、「$q\Rightarrow r$」は偽。

$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$について、

$\overline{q}$の集合は、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$\overline{q}$	○		○		○

$\overline{p}$の集合は、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$\overline{p}$	○	○	○		○

なので、$\overline{q}$は$\overline{p}$に含まれる。
よって、「$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$」は真。

以上より、選択肢のうち正しいのは②である。

解答ス：２

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