大学入試センター試験 2017年(平成29年) 本試数学ⅠＡ第１問 [2] 解説

(1)

アドバイス

必要条件・十分条件の問題は、一般的には
$A \Rightarrow B$ ×
$A \Leftarrow B$ ○
ならば、 $A$ は $B$ であるための必要条件
$A \Rightarrow B$ ○
$A \Leftarrow B$ ×
ならば、 $A$ は $B$ であるための十分条件
って解くけど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることが多い。

なので、数直線やベン図などで表せるときは、次のように集合の大小で考える方がおすすめ。

A

が

B

を含んでいるとき、

A

は

B

であるための必要条件

A

が

B

に含まれているとき、

A

は

B

であるための十分条件

「大は小の必要条件。」呪文のように憶えておこう。

数直線を描いてもいいんだけど、値が $x = \pm 1$ で単純なので、ここでは表を作ることにする。

$q$ と $p$ について、

$q$ の集合は、

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$1$	$\dots$
$q$		○		○

$p$ の集合は、

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$1$	$\dots$
$p$				○

より、 $q$ は $p$ を含んでいる。
なので、必要条件。

解答ケ：０

$\overset{―}{p}$ と $q$ について、

$\overset{―}{p}$ の集合は、

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$1$	$\dots$
$\overset{―}{p}$	○	○	○		○

$q$ の集合は、

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$1$	$\dots$
$q$		○		○

より、 $\overset{―}{p}$ も $q$ も、お互い相手を含んでいない。
なので、必要条件でも十分条件でもない。。

解答コ：３

（ $p$ または $\overset{―}{q}$ ）と $q$ について、

$p$ と $\overset{―}{q}$ の集合から（ $p$ または $\overset{―}{q}$ ）をつくると、次のようになる。

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$1$	$\dots$
$p$				○
$\overset{―}{q}$	○		○		○
$p$ または $\overset{―}{q}$	○		○	○	○

$q$ の集合は、

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$1$	$\dots$
$q$		○		○

より、（ $p$ または $\overset{―}{q}$ ）も $q$ も、お互い相手を含んでいない。
なので、必要条件でも十分条件でもない。。

解答サ：３

（ $\overset{―}{p}$ かつ $q$ ）と $q$ について、

$\overset{―}{p}$ と $q$ の集合から（ $\overset{―}{p}$ かつ $q$ ）をつくると、次のようになる。

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$1$	$\dots$
$\overset{―}{p}$	○	○	○		○
$q$		○		○
$\overset{―}{p}$ かつ $q$		○

$q$ の集合は、

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$1$	$\dots$
$q$		○		○

より、（ $\overset{―}{p}$ かつ $q$ ）は $q$ に含まれている。
なので、十分条件。

解答シ：１

(2)

ここで、命題の真偽と集合の復習をしておこう。

復習

命題 $A \Rightarrow B$ が真の場合、集合 $A$ ，集合 $B$ のベン図は

図の固定

である。
言いかえると、
$A$ が $B$ に含まれるか等しいとき、 $A \Rightarrow B$ は真である。

ということで、(1)と同じように表を作ろう。

（ $p$ かつ $q$ ） $\Rightarrow r$ について、

$p$ と $q$ の集合から（ $p$ かつ $q$ ）をつくると、次のようになる。

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$0$	$\dots$	$1$	$\dots$
$p$						○
$q$		○				○
$p$ かつ $q$						○

$r$ の集合は、

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$0$	$\dots$	$1$	$\dots$
$r$					○	○	○

なので、（ $p$ かつ $q$ ）は $r$ に含まれる。
よって、「（ $p$ かつ $q$ ） $\Rightarrow r$ 」は真。

$q \Rightarrow r$ について、

$q$ の集合は、

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$0$	$\dots$	$1$	$\dots$
$q$		○				○

$r$ の集合は、

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$0$	$\dots$	$1$	$\dots$
$r$					○	○	○

なので、 $q$ は $r$ に含まれない。
よって、「 $q \Rightarrow r$ 」は偽。

$\overset{―}{q} \Rightarrow \overset{―}{p}$ について、

$\overset{―}{q}$ の集合は、

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$1$	$\dots$
$\overset{―}{q}$	○		○		○

$\overset{―}{p}$ の集合は、

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$1$	$\dots$
$\overset{―}{p}$	○	○	○		○

なので、 $\overset{―}{q}$ は $\overset{―}{p}$ に含まれる。
よって、「 $\overset{―}{q} \Rightarrow \overset{―}{p}$ 」は真。

以上より、選択肢のうち正しいのは②である。

解答ス：２

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