三角形$\mathrm{ABC}$に余弦定理を使うと、
$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{BA}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2\mathrm{BA}\cdot \mathrm{BC}\cos\angle \mathrm{ABC}$
$\mathrm{AC}^{2}$$=(\sqrt{3}-1)^{2}+(\sqrt{3}+1)^{2}$
               $-2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)\cos 60^{\circ}$
$\displaystyle \mathrm{AC}^{2}$$\displaystyle =3-2\sqrt{3}+1+3+2\sqrt{3}+1-2(3-1)\cdot\frac{1}{2}$
$\mathrm{AC}^{2}$$=6$
$0 \lt \mathrm{AC}$なので、
$\mathrm{AC}=\sqrt{6}$
となる。

解答ア：６

三角形$\mathrm{ABC}$で$\angle \mathrm{ABC}$に注目して正弦定理を使うと、外接円の半径を$R$として、
$2R=\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}$
$2R\displaystyle $$\displaystyle =\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin 60^{\circ}}$
$2R\displaystyle $$\displaystyle =\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$2R\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$
$2R$$=2\sqrt{2}$
$R=\sqrt{2}$
となる。

解答イ：２

さらに、三角形$\mathrm{ABC}$で$\angle \mathrm{BAC}$に注目して正弦定理を使うと、
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}}=2R$
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{\sin\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}}=2\sqrt{2}$
$2\sqrt{2}\sin\angle \mathrm{BAC}=\sqrt{3}+1$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
となる。

解答ウ：６, エ：２, オ：４
または
ウ：２, エ：６, オ：４

△$\mathrm{ABD}$の面積は
△$\displaystyle \mathrm{ABD}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}\cdot\sin\angle \mathrm{BAD}$
である。
これが$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}$なので、
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}\cdot\sin\angle \mathrm{BAD}=\frac{\sqrt{2}}{6}$式Ａ
とかける。

(1)より$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
また、$\sin\angle \mathrm{BAC}=\sin\angle \mathrm{BAD}$なので、式Ａは
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{6}$
となる。

これを計算して、
$\displaystyle \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\cdot 4}=\frac{\sqrt{2}}{6}$
$\displaystyle \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}=\frac{\sqrt{2}}{6}\cdot\frac{2\cdot 4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

途中式

$\displaystyle \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}$$\displaystyle =\frac{4\sqrt{2}}{3\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}$
$\displaystyle \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}$$\displaystyle =\frac{4\sqrt{2}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{3\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}$
$\displaystyle \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}$$\displaystyle =\frac{4\left(2\sqrt{3}-2\right)}{3(6-2)}$
$\displaystyle \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}$$\displaystyle =\frac{4\left(2\sqrt{3}-2\right)}{3\cdot 4}$

$\displaystyle \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}$$\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}-2}{3}$式Ｂ
である。

解答カ：２, キ：３, ク：２, ケ：３

ここで、$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1$なので、式Ｂは
$\displaystyle \left(\sqrt{3}-1\right)\cdot \mathrm{AD}=\frac{2\sqrt{3}-2}{3}$
とかける。
右辺の分子を因数分解して、
$\displaystyle \left(\sqrt{3}-1\right)\cdot \mathrm{AD}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{3}$
両辺を$\sqrt{3}-1$で割って、
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2}{3}$
となる。

解答コ：２, サ：３