$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$に余弦定理を使うと、
${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{BA}}^2+{\mathrm{BC}}^2-2\mathrm{BA}\cdot \mathrm{BC}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$
とかける。

これに各値を代入して、
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{AC}}^2& =(\sqrt{3}-1{)}^2+(\sqrt{3}+1{)}^2\\ & -2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)\cos {60}^{\circ }\\ & =3-2\sqrt{3}+1+3+2\sqrt{3}+1\\ & -2(3-1)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =6\end{array}$$

$0<\mathrm{AC}$なので、
$\mathrm{AC}=\sqrt{6}$
である。

解答ア：６

$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$で$\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$に注目して正弦定理を使うと、外接円の半径を$R$として、
$2R={\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{2R}& ={\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin {60}^{\circ }}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}}\\ & =2\sqrt{2}\end{array}$$

$R=\sqrt{2}$
となる。

解答イ：２

さらに、$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$で$\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}$に注目して正弦定理を使うと、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}}=2R$
${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}}=2\sqrt{2}$
$2\sqrt{2}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=\sqrt{3}+1$
$$\begin{array}{rl}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}& ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\end{array}$$ となる。

解答ウ：６, エ：２, オ：４
または
ウ：２, エ：６, オ：４

$\mathrm{△}\mathrm{ABD}$の面積は
$\mathrm{△}\mathrm{ABD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}\cdot \sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAD}$
である。
これが${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}$なので、
${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}\cdot \sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAD}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}$式Ａ
とかける。

(1)より$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$
また、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAD}$なので、式Ａは
${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}$
となる。

これを計算して、
$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\cdot 4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}$
$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot 4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}}& ={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}\\ & ={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}}\\ & ={\displaystyle \frac{4(2\sqrt{3}-2)}{3(6-2)}}\\ & ={\displaystyle \frac{4(2\sqrt{3}-2)}{3\cdot 4}}\end{array}$$

$\phantom{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-2}{3}}$式Ｂ
である。

解答カ：２, キ：３, ク：２, ケ：３

ここで、$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1$なので、式Ｂは
$(\sqrt{3}-1)\cdot \mathrm{AD}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-2}{3}}$
とかける。
右辺の分子を因数分解して、
$(\sqrt{3}-1)\cdot \mathrm{AD}={\displaystyle \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3}}$
両辺を$\sqrt{3}-1$で割って、
$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
となる。

解答コ：２, サ：３