よく見る、交点への位置ベクトルの問題。
問題文が誘導してくれているので、単純に計算をしてゆけば解ける。

$\vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$
なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}=\frac{\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}}{2}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}$$\displaystyle =\frac{(1,\sqrt{3})+(-2,0)}{2}-(2,0)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}$$\displaystyle =\frac{(-1,\sqrt{3})}{2}-(2,0)$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}$$=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-(2,0)$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}$$=\left(-\frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
である。

解答エ：５, オ：２, カ：３, キ：２

$\vec{\mathrm{D}\mathrm{C}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}$
なので、
$\vec{\mathrm{D}\mathrm{C}}=(-1,\sqrt{3})-(-2,0)$
$\vec{\mathrm{D}\mathrm{C}}$$=(1,\sqrt{3})$
である。

解答ク：１, ケ：３

式Ａ$=$式Ｂより、
$\left(2-\frac{5}{2}r,\frac{\sqrt{3}}{2}r\right)=(s-2,\sqrt{3}s)$
なので、
$\left\{\begin{array}{l}
2-\frac{5}{2}r=s-2\\
\frac{\sqrt{3}}{2}r=\sqrt{3}s
\end{array}\right.$
と言える。
この連立方程式を解く。

下の式の両辺を$\sqrt{3}$で割って、
$\displaystyle \frac{1}{2}r=s$式Ｃ

これを上に式に代入して、
$2-5s=s-2$
$4=6s$
$s=\displaystyle \frac{4}{6}$
$s\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2}{3}$
となる。
これを式Ｃに代入して、
$\displaystyle \frac{1}{2}r=\frac{2}{3}$
$r=\displaystyle \frac{4}{3}$
である。

解答コ：４, サ：３, シ：２, ス：３

以上から$\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$を求めるのだけれど、$r$を式Ａに代入するより、$s$を式Ｂに代入する方が楽だ。
なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=(s-2,\sqrt{3}s)$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$$=\left(\frac{2}{3}-2,\sqrt{3}\times\frac{2}{3}\right)$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$$=\left(-\frac{4}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$
である。

解答セ：４, ソ：３, タ：２, チ：３, ツ：３

図がだんだんややこしくなってきた。
センター試験じゃ計算用紙のスペースはあんまりないけど、できるだけ図を大きく描くのがポイント。
問題を解いていて行き詰まっても、図を大きく描くだけで解けたりすることがある。

$\vec{\mathrm{E}\mathrm{P}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{E}}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}=(1,a)$式Ｄ
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{E}}=(-1,-\sqrt{3})$
なので、
$\vec{\mathrm{E}\mathrm{P}}=(1,a)-(-1,-\sqrt{3})$
$\vec{\mathrm{E}\mathrm{P}}$$=(2,a+\sqrt{3})$
である。

解答テ：２, ト：ａ, ナ：３

点Hの座標を$(x,a)$とおくと、
$\vec{\mathrm{C}\mathrm{H}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}$
なので、
$\vec{\mathrm{C}\mathrm{H}}$$=(x,a)-(-1,\sqrt{3})$
$\vec{\mathrm{C}\mathrm{H}}$$=(x+1,a-\sqrt{3})$
と書ける。

問題文より、$\vec{\mathrm{C}\mathrm{H}}$⊥$\vec{\mathrm{E}\mathrm{P}}$なので、
$\vec{\mathrm{C}\mathrm{H}}\cdot\vec{\mathrm{E}\mathrm{P}}=0$
より、
$(x+1)\cdot 2+(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})=0$
$2x+2+a^{2}-3=0$
$2x+a^{2}-1=0$
$2x=-a^{2}+1$
$x=\displaystyle \frac{-a^{2}+1}{2}$
である。

なので、点Hの座標は
$\left(\frac{-a^{2}+1}{2},a\right)$式Ｅ
である。

解答ニ：－, ヌ：２, ネ：１, ノ：２, ハ：ａ

アドバイス

角度の問題なので、ベクトルの内積を考えよう。
$\vec{a}=(x_{a},y_{a})$
$\vec{b}=(x_{b},y_{b})$
$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角が$\theta$
のとき、ベクトルの内積を
$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}$
$\vec{a}\cdot\vec{b}$$=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta$
とふた通りに表して、$\cos\theta$を求めるお約束の解き方だ。

式Ｄ，式Ｅより、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=(1,\mathrm{a})\cdot\left(\frac{-a^{2}+1}{2},a\right)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}$$\displaystyle =\frac{-a^{2}+1}{2}+a^{2}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}$$\displaystyle =\frac{a^{2}+1}{2}$式Ｆ

また、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|\cdot\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}\right|\cos\theta$

三平方の定理より、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|=\sqrt{1^{2}+a^{2}}$
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}\right|=\sqrt{\left(\frac{-a^{2}+1}{2}\right)^{2}+a^{2}}$
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}\right|$$=\sqrt{\frac{a^{4}-2a^{2}+1}{2^{2}}+\frac{4a^{2}}{2^{2}}}$
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}\right|$$=\sqrt{\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{2^{2}}}$
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}\right|$$=\sqrt{\left(\frac{a^{2}+1}{2}\right)^{2}}$
ここで、$0 \lt \displaystyle \frac{a^{2}+1}{2}$なので、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}\right|=\frac{a^{2}+1}{2}$

なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=\sqrt{1^{2}+a^{2}}\times\frac{a^{2}+1}{2}\times\cos\theta$式Ｇ
である。

式Ｆ$=$式Ｇなので、
$\displaystyle \frac{a^{2}+1}{2}=\sqrt{1+a^{2}}\times\frac{a^{2}+1}{2}\times\cos\theta$
と書ける。
$\displaystyle \frac{a^{2}+1}{2}\neq 0$なので、
この式の両辺を$\displaystyle \frac{a^{2}+1}{2}$で割ると、
$\sqrt{1+a^{2}}\cos\theta=1$
となる。

問題文より$\displaystyle \cos\theta=\frac{12}{13}$なので、
$\displaystyle \sqrt{1+a^{2}}\times\frac{12}{13}=1$
$\displaystyle \sqrt{1+a^{2}}=\frac{13}{12}$
両辺を２乗して、
$1+a^{2}=\displaystyle \frac{13^{2}}{12^{2}}$
$a^{2}=\displaystyle \frac{13^{2}}{12^{2}}-1$
$a^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{13^{2}-12^{2}}{12^{2}}$
$a^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{(13-12)(13+12)}{12^{2}}$
$a^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{25}{12^{2}}$
$a=\displaystyle \pm\frac{5}{12}$
である。

解答ヒ：５, フ：１, ヘ：２