よく見る、交点への位置ベクトルの問題。
問題文が誘導してくれているので、単純に計算をしてゆけば解ける。

$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$
なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}}{2}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AM}}}$${\displaystyle =\frac{(1,\sqrt{3})+(-2,0)}{2}-(2,0)}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AM}}}$${\displaystyle =\frac{(-1,\sqrt{3})}{2}-(2,0)}$
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$$=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})-(2,0)$
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$$=(-\frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$
である。

解答エ：５, オ：２, カ：３, キ：２

$\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}}$
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{DC}}=(-1,\sqrt{3})-(-2,0)$
$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$$=(1,\sqrt{3})$
である。

解答ク：１, ケ：３

式Ａ$=$式Ｂより、
$(2-\frac{5}{2}r,\frac{\sqrt{3}}{2}r)=(s-2,\sqrt{3}s)$
なので、
$\{\begin{array}{l}2-\frac{5}{2}r=s-2\\ \frac{\sqrt{3}}{2}r=\sqrt{3}s\end{array}$
と言える。
この連立方程式を解く。

下の式の両辺を$\sqrt{3}$で割って、
${\displaystyle \frac{1}{2}r=s}$式Ｃ

これを上に式に代入して、
$2-5s=s-2$
$4=6s$
$s={\displaystyle \frac{4}{6}}$
$s{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2}{3}}$
となる。
これを式Ｃに代入して、
${\displaystyle \frac{1}{2}r=\frac{2}{3}}$
$r={\displaystyle \frac{4}{3}}$
である。

解答コ：４, サ：３, シ：２, ス：３

以上から$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を求めるのだけれど、$r$を式Ａに代入するより、$s$を式Ｂに代入する方が楽だ。
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=(s-2,\sqrt{3}s)$
$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$$=(\frac{2}{3}-2,\sqrt{3}\times \frac{2}{3})$
$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$$=(-\frac{4}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3})$
である。

解答セ：４, ソ：３, タ：２, チ：３, ツ：３

図がだんだんややこしくなってきた。
センター試験じゃ計算用紙のスペースはあんまりないけど、できるだけ図を大きく描くのがポイント。
問題を解いていて行き詰まっても、図を大きく描くだけで解けたりすることがある。

$\overrightarrow{\mathrm{EP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OE}}$
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1,a)$式Ｄ
$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(-1,-\sqrt{3})$
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{EP}}=(1,a)-(-1,-\sqrt{3})$
$\overrightarrow{\mathrm{EP}}$$=(2,a+\sqrt{3})$
である。

解答テ：２, ト：ａ, ナ：３

点Hの座標を$(x,a)$とおくと、
$\overrightarrow{\mathrm{CH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$$=(x,a)-(-1,\sqrt{3})$
$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$$=(x+1,a-\sqrt{3})$
と書ける。

問題文より、$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{EP}}$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{CH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}=0$
より、
$(x+1)\cdot 2+(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})=0$
$2x+2+a^2-3=0$
$2x+a^2-1=0$
$2x=-a^2+1$
$x={\displaystyle \frac{-a^2+1}{2}}$
である。

なので、点Hの座標は
$(\frac{-a^2+1}{2},a)$式Ｅ
である。

解答ニ：－, ヌ：２, ネ：１, ノ：２, ハ：ａ

アドバイス

角度の問題なので、ベクトルの内積を考えよう。
$\overrightarrow{a}=(x_a,y_a)$
$\overrightarrow{b}=(x_b,y_b)$
$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$\theta$
のとき、ベクトルの内積を
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_a{x}_b+y_a{y}_b$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$$=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \theta$
とふた通りに表して、$\cos \theta$を求めるお約束の解き方だ。

式Ｄ，式Ｅより、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1,\mathrm{a})\cdot (\frac{-a^2+1}{2},a)$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}}$${\displaystyle =\frac{-a^2+1}{2}+a^2}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}}$${\displaystyle =\frac{a^2+1}{2}}$式Ｆ

また、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|\cos \theta$

三平方の定理より、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\sqrt{1^2+a^2}$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|=\sqrt{{\left(\frac{-a^2+1}{2}\right)}^2+a^2}$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|$$=\sqrt{\frac{a^4-2a^2+1}{2^2}+\frac{4a^2}{2^2}}$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|$$=\sqrt{\frac{a^4+2a^2+1}{2^2}}$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|$$=\sqrt{{\left(\frac{a^2+1}{2}\right)}^2}$
ここで、$0<{\displaystyle \frac{a^2+1}{2}}$なので、
${\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|=\frac{a^2+1}{2}}$

なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\sqrt{1^2+a^2}\times \frac{a^2+1}{2}\times \cos \theta }$式Ｇ
である。

式Ｆ$=$式Ｇなので、
${\displaystyle \frac{a^2+1}{2}=\sqrt{1+a^2}\times \frac{a^2+1}{2}\times \cos \theta }$
と書ける。
${\displaystyle \frac{a^2+1}{2}\ne 0}$なので、
この式の両辺を${\displaystyle \frac{a^2+1}{2}}$で割ると、
$\sqrt{1+a^2}\cos \theta =1$
となる。

問題文より${\displaystyle \cos \theta =\frac{12}{13}}$なので、
${\displaystyle \sqrt{1+a^2}\times \frac{12}{13}=1}$
${\displaystyle \sqrt{1+a^2}=\frac{13}{12}}$
両辺を２乗して、
$1+a^2={\displaystyle \frac{{13}^2}{{12}^2}}$
$a^2={\displaystyle \frac{{13}^2}{{12}^2}-1}$
$a^2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{{13}^2-{12}^2}{{12}^2}}$
$a^2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{(13-12)(13+12)}{{12}^2}}$
$a^2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{25}{{12}^2}}$
$a={\displaystyle \pm \frac{5}{12}}$
である。

解答ヒ：５, フ：１, ヘ：２