$\{s_{n}\}$は初項が$1$，公比が$2$の等比数列なので、
$s_{!}=1$ $s_{2}=2$ $s_{3}=4$ である。
よって、
$s_{1}s_{2}s_{3}=1\cdot 2\cdot 4$
$s_{1}s_{2}s_{3}$$=8$
$s_{1}+s_{2}+s_{3}=1+2+4$
$s_{1}+s_{2}+s_{3}$$=7$
となる。

解答ア：８, イ：７

$\{s_{n}\}$は初項が$x$，公比が$r$の等比数列なので、
$s_{!}=x$ $s_{2}=xr$ $s_{3}=xr^{2}$ である。
よって、
$s_{1}s_{2}s_{3}=x\cdot xr\cdot xr^{2}$
$s_{1}s_{2}s_{3}$$=x^{3}r^{3}$式Ａ
$s_{1}+s_{2}+s_{3}=x+xr+xr^{2}$
$s_{1}+s_{2}+s_{3}$$=x(1+r+r^{2})$式Ｂ
となる。

この式Ａが①式なので、
$x^{3}r^{3}=a^{3}$
$xr=a$③
である。

解答ウ：ａ

また、式Ｂが②式なので、
$x(1+r+r^{2})=b$式Ｃ
となるけど、問題文より$r$，$a$，$b$の関係式を作りたいので、$x$がじゃまだ。
なので、③式を
$x=\displaystyle \frac{a}{r}$
と変形して、式Ｃに代入して$x$を消そう。
$\displaystyle \frac{a}{r}(1+r+r^{2})=b$
$a(1+r+r^{2})=br$
$a+ar+ar^{2}-br=0$
$ar^{2}+ar-br+a=0$
$ar^{2}+(a-b)r+a=0$④
となる。

解答エ：ａ, オ：ａ, カ：ｂ, キ：ａ

$r$は等比数列$\{s_{n}\}$の公比で、実数であるので、④式の判別式$D$は
$D\geqq 0$
と書ける。
よって、
$D=(a-b)^{2}-4\cdot a\cdot a\geqq 0$
    $a^{2}-2ab+b^{2}-4a^{2}\geqq 0$
        $-3a^{2}-2ab+b^{2}\geqq 0$
           $3a^{2}+2ab-b^{2}\leqq 0$⑤
である。

解答ク：３, ケ：２

③式，④式に$a=64$，$b=336$を代入して、
$xr=64$③' $64r^{2}+(64-336)r+64=0$④' である。
この連立方程式を解く。

④'式の両辺を$16$で割って、
$4r^{2}+(4-21)r+4=0$
より、
$4r^{2}-17r+4=0$
$(4r-1)(r-4)=0$
$r=\displaystyle \frac{1}{4},4$
となるけど、問題文より公比$r$は$1$より大きいので、
$r=4$
である。

解答コ：４

これを③'式に代入して、
$4x=64$
$x=16$
である。

解答サ：１, シ：６

以上より、$\{s_{n}\}$は、
初項：$16$ 公比：$4$ の等比数列なので、一般項$s_{n}$は
$s_{n}=16\cdot 4^{n-1}$
$s_{n}$$=4^{n+1}$
である。

$\{t_{n}\}$を
$t_{n}=4^{n+1}\log_{4}4^{n+1}$
とするので、これを変形して、
$t_{n}=4^{n+1}\times(n+1)\log_{4}4$
$t_{n}$$=4^{n+1}\times(n+1)$
$t_{n}$$=(n+1)4^{n+1}$式Ｄ
となる。

解答ス：１, セ：１

これは「等差数列$\times$等比数列」の形の数列なので、和を求める場合、決まった解き方があるから憶えておこう。

$U_{n}$は、$T_{n}$の初項から$n$項までの和なので、
$U_{n}=T_{1}+T_{2}+T_{3}+\cdots+T_{n-1}+T_{n}$
と書ける。

式Ｄより、これはさらに
$U_{n}=2\cdot 4^{2}+3\cdot 4^{3}+\cdots+n\cdot 4^{n}+(n+1)4^{n+1}$式Ｅ
と書ける。

式Ｅの両辺を$4$倍して、
$4U_{n}=2\cdot 4^{3}+3\cdot 4^{4}+\cdots+n\cdot 4^{n+1}+(n+1)4^{n+2}$式Ｆ
式Ｅから式Ｆを辺々引いて、

	$U_{n}$	$=$	$2\cdot 4^{2}$	$+$	$3\cdot 4^{3}$	$+$	$\cdots$	$+$	$(n+1)4^{n+1}$
$-)$	$4U_{n}$	$=$			$2\cdot 4^{3}$	$+$	$\cdots$	$+$	$n\cdot 4^{n+1}$	$+$	$(n+1)4^{n+2}$
$(1-4)U_{n}$		$=$	$2\cdot 4^{2}$	$+$	$4^{3}$	$+$	$\cdots$	$+$	$4^{n+1}$	-	$(n+1)4^{n+2}$

となるけど、赤い部分は
初項：$4^{3}$ 公比：$4$ 項数：$n-1$ の等比数列の和なので、
$\displaystyle \frac{4^{3}(1-4^{n-1})}{1-4}$
と書ける。

なので、
$(1-4)U_{n}=2\displaystyle \cdot 4^{2}+\frac{4^{3}(1-4^{n-1})}{1-4}-(n+1)4^{n+2}$
となる。

これを計算して、
$-3U_{n}=2\displaystyle \cdot 4^{2}+\frac{4^{3}-4^{n+2}}{-3}-(n+1)4^{n+2}$
$-3U_{n}\displaystyle $$\displaystyle =2\cdot 4^{2}-\frac{4}{3}\cdot 4^{2}+\frac{1}{3}\cdot 4^{n+2}-(n+1)4^{n+2}$
$-3U_{n}$$=\left(2-\frac{4}{3}\right)4^{2}+\left\{\frac{1}{3}-(n+1)\right\}4^{n+2}$
$-3U_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2}{3}\cdot 4^{2}-\left(n+\frac{2}{3}\right)4^{n+2}$
$-3U_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{32}{3}-\frac{3n+2}{3}\cdot 4^{n+2}$
$U_{n}=-\displaystyle \frac{32}{3\cdot 3}+\frac{3n+2}{3\cdot 3}\cdot 4^{n+2}$
$U_{n}\displaystyle $$\displaystyle =+\frac{3n+2}{9}\cdot 4^{n+2}-\frac{32}{9}$
である。

解答ソ：３, タ：２, チ：９, ツ：２, テ：３, ト：２, ナ：９