$\{s_n\}$は初項が$1$，公比が$2$の等比数列なので、
$s_{!}=1$ $s_2=2$ $s_3=4$ である。
よって、
$s_1{s}_2{s}_3=1\cdot 2\cdot 4$
$s_1{s}_2{s}_3$$=8$
$s_1+s_2+s_3=1+2+4$
$s_1+s_2+s_3$$=7$
となる。

解答ア：８, イ：７

$\{s_n\}$は初項が$x$，公比が$r$の等比数列なので、
$s_{!}=x$ $s_2=xr$ $s_3=x{r}^2$ である。
よって、
$s_1{s}_2{s}_3=x\cdot xr\cdot x{r}^2$
$s_1{s}_2{s}_3$$=x^3{r}^3$式Ａ
$s_1+s_2+s_3=x+xr+x{r}^2$
$s_1+s_2+s_3$$=x(1+r+r^2)$式Ｂ
となる。

この式Ａが①式なので、
$x^3{r}^3=a^3$
$xr=a$③
である。

解答ウ：ａ

また、式Ｂが②式なので、
$x(1+r+r^2)=b$式Ｃ
となるけど、問題文より$r$，$a$，$b$の関係式を作りたいので、$x$がじゃまだ。
なので、③式を
$x={\displaystyle \frac{a}{r}}$
と変形して、式Ｃに代入して$x$を消そう。
${\displaystyle \frac{a}{r}(1+r+r^2)=b}$
$a(1+r+r^2)=br$
$a+ar+a{r}^2-br=0$
$a{r}^2+ar-br+a=0$
$a{r}^2+(a-b)r+a=0$④
となる。

解答エ：ａ, オ：ａ, カ：ｂ, キ：ａ

$r$は等比数列$\{s_n\}$の公比で、実数であるので、④式の判別式$D$は
$D\geqq 0$
と書ける。
よって、
$D=(a-b{)}^2-4\cdot a\cdot a\geqq 0$
    $a^2-2ab+b^2-4a^2\geqq 0$
        $-3a^2-2ab+b^2\geqq 0$
           $3a^2+2ab-b^2\leqq 0$⑤
である。

解答ク：３, ケ：２

③式，④式に$a=64$，$b=336$を代入して、
$xr=64$③' $64r^2+(64-336)r+64=0$④' である。
この連立方程式を解く。

④'式の両辺を$16$で割って、
$4r^2+(4-21)r+4=0$
より、
$4r^2-17r+4=0$
$(4r-1)(r-4)=0$
$r={\displaystyle \frac{1}{4},4}$
となるけど、問題文より公比$r$は$1$より大きいので、
$r=4$
である。

解答コ：４

これを③'式に代入して、
$4x=64$
$x=16$
である。

解答サ：１, シ：６

以上より、$\{s_n\}$は、
初項：$16$ 公比：$4$ の等比数列なので、一般項$s_n$は
$s_n=16\cdot 4^{n-1}$
$s_n$$=4^{n+1}$
である。

$\{t_n\}$を
$t_n=4^{n+1}{\log }_4{4}^{n+1}$
とするので、これを変形して、
$t_n=4^{n+1}\times (n+1){\log }_{4}4$
$t_n$$=4^{n+1}\times (n+1)$
$t_n$$=(n+1)4^{n+1}$式Ｄ
となる。

解答ス：１, セ：１

これは「等差数列$\times$等比数列」の形の数列なので、和を求める場合、決まった解き方があるから憶えておこう。

$U_n$は、$T_n$の初項から$n$項までの和なので、
$U_n=T_1+T_2+T_3+\cdots +T_{n-1}+T_n$
と書ける。

式Ｄより、これはさらに
$U_n=2\cdot 4^2+3\cdot 4^3+\cdots +n\cdot 4^n+(n+1)4^{n+1}$式Ｅ
と書ける。

式Ｅの両辺を$4$倍して、
$4U_n=2\cdot 4^3+3\cdot 4^4+\cdots +n\cdot 4^{n+1}+(n+1)4^{n+2}$式Ｆ
式Ｅから式Ｆを辺々引いて、

	$U_n$	$=$	$2\cdot 4^2$	$+$	$3\cdot 4^3$	$+$	$\cdots$	$+$	$(n+1)4^{n+1}$
$-)$	$4U_n$	$=$			$2\cdot 4^3$	$+$	$\cdots$	$+$	$n\cdot 4^{n+1}$	$+$	$(n+1)4^{n+2}$
$(1-4)U_n$		$=$	$2\cdot 4^2$	$+$	$4^3$	$+$	$\cdots$	$+$	$4^{n+1}$	-	$(n+1)4^{n+2}$

となるけど、赤い部分は
初項：$4^3$ 公比：$4$ 項数：$n-1$ の等比数列の和なので、
${\displaystyle \frac{4^3(1-4^{n-1})}{1-4}}$
と書ける。

なので、
$(1-4)U_n=2{\displaystyle \cdot 4^2+\frac{4^3(1-4^{n-1})}{1-4}-(n+1)4^{n+2}}$
となる。

これを計算して、
$-3U_n=2{\displaystyle \cdot 4^2+\frac{4^3-4^{n+2}}{-3}-(n+1)4^{n+2}}$
$-3U_n{\displaystyle }$${\displaystyle =2\cdot 4^2-\frac{4}{3}\cdot 4^2+\frac{1}{3}\cdot 4^{n+2}-(n+1)4^{n+2}}$
$-3U_n$$=(2-\frac{4}{3})4^2+\{\frac{1}{3}-(n+1)\}{4}^{n+2}$
$-3U_n{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2}{3}\cdot 4^2-(n+\frac{2}{3})4^{n+2}}$
$-3U_n{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{32}{3}-\frac{3n+2}{3}\cdot 4^{n+2}}$
$U_n=-{\displaystyle \frac{32}{3\cdot 3}+\frac{3n+2}{3\cdot 3}\cdot 4^{n+2}}$
$U_n{\displaystyle }$${\displaystyle =+\frac{3n+2}{9}\cdot 4^{n+2}-\frac{32}{9}}$
である。

解答ソ：３, タ：２, チ：９, ツ：２, テ：３, ト：２, ナ：９