$y=x^2+1$
を微分すると
$y^{\prime }=2x$
なので、$(t,t^2+1)$における接線の傾きは
$2t$
である。

傾き$2t$の直線が$(t,t^2+1)$を通るから、接線の方程式は
$y-(t^2+1)=2t(x-t)$
$$\begin{array}{rl}y& =2t(x-t)+(t^2+1)\\ & =2tx-2t^2+t^2+1\\ & =2tx-t^2+1\mathrm{式}Ａ\end{array}$$ となる。

解答ア：２, イ：１

この直線が$(a,2a)$を通るので、式Ａの$x$に$a$，$y$に$2a$を代入して、
$2a=2at-t^2+1$
$t^2-2at+2a-1=0$式Ｂ
となる。

解答ウ：２, エ：２, オ：１

これを因数分解する。
たすきがけをして、

$t$		$-(2a-1)$	→	$(-2a+1)t$
$t$		$-1$	→	$-t$
				$-2at$

より、式Ｂは
$\{t-(2a-1)\}(t-1)=0$
と書けるので、
$t=2a-1$，$1$
である。

解答カ：２, キ：１, ク：１

以上より、点$\mathrm{P}$から$C$へは、接点の$x$座標が$2a-1$と$1$の２本の接線を引くことができる。
ただし、
$2a-1=1$
つまり
$a=1$
のとき、２つの接点は重なるので、接線は１本しか引けない。

解答ケ：１

$t=2a-1$のとき、式Ａは
$$\begin{array}{rl}y& =2(2a-1)x-(2a-1{)}^2+1\\ & =(4a-2)x-(4a^2-4a+1)+1\\ & =(4a-2)x-4a^2+4a\mathrm{①}\end{array}$$ となる。

解答コ：４, サ：２, シ：４, ス：４

また、$t=1$のとき、式Ａは
$$\begin{array}{rl}y& =2x-1+1\\ & =2x\end{array}$$ となる。

解答セ：２

①式の接線と$y$軸の交点の$y$座標$r$は、①に$x=0$を代入して
$r=-4a^2+4a$
であり、$0<r$となるのは
$0<-4a^2+4a$

途中式

$4a^2-4a<0$
$a^2-a<0$
$a(a-1)<0$

より、
$0<a<1$
のときである。

解答ソ：０, タ：１

このとき、△$\mathrm{OPR}$（図Ａの赤い三角形）について、
底辺を$\mathrm{OR}$，高さを点$\mathrm{P}$と$y$軸の距離と考えると、面積$S$は、
$$\begin{array}{rl}S& ={\displaystyle \frac{1}{2}}(-4a^2+4a)a\\ & =(-2a^2+2a)a\\ & =2(-a^3+a^2)\\ & =2(a^2-a^3)\mathrm{式}Ｃ\end{array}$$ となる。

解答チ：２, ツ：２, テ：３

式Ｃを微分して、
$$\begin{array}{rl}{S}^{\prime }& =2(2a-3a^2)\\ & =2(2a-3a^2)\\ & =-2a(3a-2)\end{array}$$ より、
$a=0,{\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき、$S^{\prime }=0$である。

式Ｃより
$S=2a^2(1-a)$
なので、
$a=0$のとき、
$S=0$
$a={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき、
$$\begin{array}{rl}S& =2{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2(1-{\displaystyle \frac{2}{3}})\\ & =2{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\\ & ={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^3\\ & ={\displaystyle \frac{8}{27}}\end{array}$$

以上より、$0<a<1$の範囲で増減表を書くと、

表Ｂ

$a$	$0$	$\cdots$	${\displaystyle \frac{2}{3}}$	$\cdots$	$1$
$S^{\prime }$	$0$	$+$	$0$	$-$
$S$	$0$	$\nearrow$	${\displaystyle \frac{8}{27}}$	$\searrow$

となる。

増減表より。
$a={\displaystyle \frac{2}{3}}$
のとき
最大値
$S={\displaystyle \frac{8}{27}}$
である。

解答ト：２, ナ：３, ニ：８, ヌ：２, ネ：７

次は、図Ｃの赤い部分の面積を求める。
直接求めてもいいんだけど、直線の式が
$y=(4a-2)x-4a^2+4a$
で面倒。
なので、ここでは緑で囲んだ面積から青い台形を引く方針で解く。

緑で囲んだ面積は、
$$\begin{array}{rl}\text{緑}& ={\int }_0^a{x}^2+1dx\\ & ={[{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+x]}_0^a\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}^3+a\end{array}$$ 青い台形は、上底が$2a$，下底が$-4a^2+4a$，高さが$a$なので、面積は
$$\begin{array}{rl}\text{青}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (2a-4a^2+4a)\cdot a\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(-4a^2+6a)a\\ & =-2a^3+3a^2\end{array}$$ となる。

よって、赤い部分の面積$T$は
$$\begin{array}{rl}T& =\text{緑}-\text{青}\\ & =({\displaystyle \frac{1}{3}}{a}^3+a)-(-2a^3+3a^2)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}^3+2a^3-3a^2+a\\ & ={\displaystyle \frac{7}{3}}{a}^3-3a^2+a\end{array}$$ である。

解答ノ：７, ハ：３, ヒ：３, フ：ａ

これを微分すると
$T^{\prime }=7a^2-6a+1$
なので、$T^{\prime }=0$のとき、解の公式より
$$\begin{array}{rl}a& ={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{6^2-4\cdot 7\cdot 1}}{2\cdot 7}}\\ & ={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{2^2(3^2-7)}}{2\cdot 7}}\\ & ={\displaystyle \frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2\cdot 7}}\\ & ={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{2}}{7}}\end{array}$$ である。

${\displaystyle \frac{2}{3}}\leqq a<1$の範囲での増減が問われているので、この${\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{2}}{7}}$が${\displaystyle \frac{2}{3}}\leqq a<1$に入るかどうか調べよう。
${\displaystyle \frac{3-\sqrt{2}}{7}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}$
は明らかなので、
${\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{7}}$と${\displaystyle \frac{2}{3}}$の大小を調べる。
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{7}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}& ={\displaystyle \frac{3(3+\sqrt{2})-7\cdot 2}{7\cdot 3}}\\ & ={\displaystyle \frac{9+3\sqrt{2}-14}{7\cdot 3}}\\ & ={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}-5}{7\cdot 3}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{18}-\sqrt{25}}{7\cdot 3}}<0\end{array}$$ なので、
${\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{7}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}$
である。

以上より増減表を書くと

表Ｄ

$a$	$\cdots$	${\displaystyle \frac{3-\sqrt{2}}{7}}$	$\cdots$	${\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{7}}$	$\cdots$	${\displaystyle \frac{2}{3}}$	$\cdots$	$1$
$T^{\prime }$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$T$	$\nearrow$	極大値	$\searrow$	極小値	$\nearrow$

となる。

増減表より、${\displaystyle \frac{2}{3}}\leqq a<1$の範囲において、$T$は単調に増加する。

解答ヘ：２