まず、倍数の見分け方の復習をしよう。

復習

２の倍数：１の位が２の倍数 ３の倍数：各桁の数字の和が３の倍数 ４の倍数：下２桁が４の倍数 ５の倍数：１の位が０，５ ９の倍数：各桁の数字の和が９の倍数

復習より、$37a$が４の倍数になるためには、
$7a$が４の倍数 であればよい。

$70$台の自然数で４の倍数なのは
$72$ $76$ なので、
$a=2$，$6$
である。

解答ア：２, イ：６ （順不同）

復習より、$7b5c$が４の倍数になるためには、
$5c$が４の倍数 であればよい。

$50$台の自然数で４の倍数なのは
$52$ $56$ なので、
$c=2$，$6$
である。

また、$7b5c$が９の倍数になるためには、
$7+b+5+c$が９の倍数 であればよい。
つまり、
$7+b+5+c=b+c+12$
$7+b+5+c$$=(b+c+3)+9$
なので、
$b+c+3=9$
より、$b+c=6$ $b+c+3=18$
より、$b+c=15$ のどちらかであればよい。

これは結構たくさんありそうなので、表を書こう。

表Ａ

		$b$
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$c$	0							○
	1						○
	2					○
	3				○
	4			○
	5		○
	6	○									○
	7									○
	8								○
	9							○

より、$11$個あった。

問われているのは４と９の公倍数なので、表Ａの
赤いマス（４の倍数） ○のマス（９の倍数） の共通部分。
なので、３個ある。

解答ウ：３

このうち、$7b5c$が最小になるのは、$b$が最小のときなので、表Ａで一番左にある
$b=0$，$c=6$
のとき。

解答エ：０, オ：６

$7b5c$が最大になるのは、$b$が最大のときなので、表Ａで一番右にある
$b=9$，$c=6$
のとき。

解答カ：９, キ：６

$7b5c=(6\times n)^{2}$
は
$7b5c=6^{2}\times n^{2}$
$7b5c$$=(2\times 3)^{2}\times n^{2}$
$7b5c$$=4\times 9\times n^{2}$
と変形できるので、この場合の$7b5c$は、上で求めた３通りの中にある。

こういった場合、考えるよりも手を動かそう。
上で求めた３通りは、
$7056$ $7452$ $7956$ なので、この３つを$6^{2}$で割った、
$7056\div 6^{2}=196$ $7452\div 6^{2}=207$ $7956\div 6^{2}=221$ から、平方数を探す。

$15^{2}$は$225$なので、$221$が平方数とは考えにくい。
なので、答は$196$か$207$だ。

計算しやすい$196$からはじめると、
$2\underline{)196}$
  $2\underline{)98}$
  $7\underline{)49}$
      $7$
なので、
$196=2^{2}\times 7^{2}$
$196$$=14^{2}$
である。

$196$が$14^{2}$で、$225$が$15^{2}$だから、計算するまでもなく、$196 \lt 207 \lt 225$である$207$が平方数にはならない。

なので、答は
$b=0$，$c=6$，$n=14$
である。

解答ク：０, ケ：６, コ：１, サ：４

アドバイス

上の解説では、
$225=15^{2}$
を使った。
$15^{2}$だけでなく、憶えておくと便利な数字がいくつかある。
$11^{2}=121$ $12^{2}=144$ $15^{2}=225$ $5^{3}=125$ $2^{10}=1024$ などは知っておくとよい。

面倒だけど、$1188$を素因数分解しよう。
４桁の数字で、上２桁が同じ数字，下２桁が同じ数字だから、$11$で割り切れるはず。
$11\underline{)1188}$
  $2\underline{)108}$
    $2\underline{)54}$
    $3\underline{)27}$
      $3\underline{)9}$
         $3$
より、
$1188=2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 11$
となる。

この２個の$2$，３個の$3$，１個の$11$からいくつか選んでかけ合わせると、$1188$の約数ができる。
例えば$2$を１個，$3$を１個，$11$を１個選んでかけ合わせた
$2^{1}\cdot 3^{1}\cdot 11^{1}=66$
は$1188$の約数であるし、
$2$を０個，$3$を０個，$11$を０個選んでかけ合わせた
$2^{0}\cdot 3^{0}\cdot 11^{0}=1$
も$1188$の約数である。
なので、約数は数字の選び方の数だけ存在する。

$2$の選び方は、０個，１個，２個の３通り $3$の選び方は、０個，１個，２個，３個の４通り $11$の選び方は、０個，１個の２通り だから、数字の選び方は全部で
$3\times 4\times 2=24$通り
ある。なので、約数も
$24$個
ある。

解答シ：２, ス：４

２の倍数も同じように考えよう。
２の倍数なので、「$2$を０個選ぶ」場合は不適。
なので、数字の選び方は
$2$の選び方は、１個，２個の２通り $3$の選び方は、０個，１個，２個，３個の４通り $11$の選び方は、０個，１個の２通り より、
$2\times 4\times 2=16$通り
ある。なので、約数も
$16$個
ある。

解答セ：１, ソ：６

４の倍数も同様に、
$2$の選び方は、２個の１通り $3$の選び方は、０個，１個，２個，３個の４通り $11$の選び方は、０個，１個の２通り より、
$1\times 4\times 2=8$通り
なので、約数も
$8$個
である。

解答タ：８

以上から、$1188$のすべての正の約数の中には、
２の倍数が$16$個 ４の倍数が$8$個 ある。
この４の倍数の中には２の倍数も含まれるので、
２の倍数だけど４の倍数じゃないのが$8$個 ４の倍数が$8$個 あることになる。
なので、これを全部かけ合わせると、$2$は
$2^{8}\times\left(2^{2}\right)^{8}=2^{8}\times 2^{16}$
$2^{8}\times\left(2^{2}\right)^{8}$$=2^{24}$
回かけることになる。
よって、すべての正の約数の積は、$A$を奇数として
$A\times 2^{24}$
と表せる。

さて、ここで
$65000$
って数を考えてみよう。
末尾には$0$が３個並んでるけど、何でだ？って考えると、
これは$10$進法の数で、
$65000=65\times 10^{3}$
だから、$10^{3}$の３だけ$0$が並んでいる
ということに気づく。

ということは、
$3^{10}$
を３進法で表すと、末尾には$0$が$10$個並ぶし、
$7^{10}$
を７進法で表すと、末尾には$0$が$10$個並ぶ
と考えられる。

以上の考え方から、
$A\times 2^{24}$
を２進法で表すと、末尾には$0$が$24$個並ぶ。

解答チ：２, ツ：４