大学入試センター試験 2016年(平成28年) 追試 数学ⅠＡ 第２問 [4] 解説
(1)
表３の得点のうち、特徴的な点にだけ注目しよう。
Xの最低点は56で、そのYは63。
Yの最低点は40で、そのXは68。
この２点を４つの散布図で確認する。
０ Yの最低点のXが、70を超えているので誤り。 １ Yの最低点が40ではないので誤り。 ２ Xの最低点のYが、60未満なので誤り。 ３ Xの最低点，Yの最低点ともに正しい。 以上より、正解は３。
解答ソ：３
(2)
まず、復習から。
復習
もとのデータのすべてを$a$倍した場合、新しいデータの
平均値は$a$倍になる。
分散は$a^{2}$倍になる。
標準偏差は$|a|$倍になる。
詳しくはこのページ参照。
なので、変換後の標準偏差はもとの値の$\displaystyle \frac{1}{2}$になる。
次に、共分散。
問題の表４の説明にもあるとおり、共分散は科目Xと科目Yの偏差の積の平均値。
科目Xの偏差が$\displaystyle \frac{1}{2}$，科目Yの偏差も$\displaystyle \frac{1}{2}$になると、掛け合わせるともとの値の$\displaystyle \frac{1}{4}$になる。
その平均値なので、もとの値の$\displaystyle \frac{1}{4}$。
以上より、標準偏差は$\displaystyle \frac{1}{2}$，共分散は$\displaystyle \frac{1}{4}$になる。
解答タ：２
別解
共分散については、相関係数から考えることもできる。
復習
もとのデータのすべてを$a$倍して$b$たしても、相関係数の値は変わらない。
ただし、相関係数を求める２つのデータの片方に正の数、他方に負の数をかけると、相関係数の符号は逆になる。
復習
データXの標準偏差を$s_{x}$，データYの標準偏差を$s_{y}$，データXとYの共分散を$s_{xy}$とすると、相関係数$r_{xy}$は、
$r_{xy}=\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$式Ａ
(2)のはじめに復習したように、変換後の標準偏差は、科目Xも科目Yも$\displaystyle \frac{1}{2}$になる。
式Ａで相関係数の計算をするとき、$s_{x}$，$s_{y}$ともに変換後は$\displaystyle \frac{1}{2}$になるから、分母は$\displaystyle \frac{1}{4}$になっているはず。
一方、相関係数の値は変わらない。
ということは、分子の$s_{xy}$も$\displaystyle \frac{1}{4}$にならないとおかしい。
以上より、共分散はもとの値の$\displaystyle \frac{1}{4}$。
解答タ：２
アドバイス
以上、できるだけ数式を使わずに説明した。
問題文に出てきた用語（偏差とか標準偏差とか共分散とか）の意味があいまいな人は、もう一度復習しておこう。