図Ａより、正八角形のひとつの内角は、$90^{\circ}+45^{\circ}$で、$135^{\circ}$である。

解答ア：１, イ：３, ウ：５

また、図Ａより、$\angle \mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{5}=90^{\circ}$である。

解答エ：５

ここまでは説明の必要はないと思う。

ベクトル$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{\mathrm{k}}}$を考える前に、図Ａの緑の線のベクトルを求めておこう。

$\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{1} // \mathrm{P}_{7}\mathrm{A}$
$\displaystyle \mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{1}:\mathrm{P}_{7}\mathrm{A}=1:\frac{1}{\sqrt{2}}$

なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}_{7}\mathrm{A}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{a}$
である。

よって、
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}_{7}\mathrm{A}}=\vec{\mathrm{B}\mathrm{P}_{2}}=\vec{\mathrm{C}\mathrm{P}_{3}}=\vec{\mathrm{P}_{6}\mathrm{D}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{a}$
といえる。

$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{A}}=\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{7}}+\vec{\mathrm{P}_{7}\mathrm{A}}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{A}}$$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{a}+\vec{b}$
なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{A}}=\vec{\mathrm{P}_{1}\mathrm{B}}=\vec{\mathrm{C}\mathrm{P}_{4}}=\vec{\mathrm{D}\mathrm{P}_{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{a}+\vec{b}$
となる。

これが分かったところで問題にもどって、
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{2}}=\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{1}}+\vec{\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}}$
ここで、
$\vec{\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}}=\vec{\mathrm{P}_{1}\mathrm{B}}+\vec{\mathrm{B}\mathrm{P}_{2}}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}}$$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{a}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}}$$\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{2}}\vec{a}+\vec{b}$
$\vec{\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}}$$=\sqrt{2}\vec{a}+\vec{b}$式Ａ
なので、
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{2}}=\vec{a}+\sqrt{2}\vec{a}+\vec{b}$
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{2}}$$=(1+\sqrt{2})\vec{a}+\vec{b}$
である。

解答オ：４

$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{3}}=\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{2}}+\vec{\mathrm{P}_{2}\mathrm{P}_{3}}$
ここで、
$\mathrm{P}_{2}\mathrm{P}_{3} // \mathrm{P}_{0}\mathrm{A}$
$\displaystyle \mathrm{P}_{2}\mathrm{P}_{3}:\mathrm{P}_{0}\mathrm{A}=1:\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}:1$
より、
$\vec{\mathrm{P}_{2}\mathrm{P}_{3}}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{a}+\vec{b}\right)$
$\vec{\mathrm{P}_{2}\mathrm{P}_{3}}$$=\vec{a}+\sqrt{2}\vec{b}$
なので、
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{3}}=(1+\sqrt{2})\vec{a}+\vec{b}+\vec{a}+\sqrt{2}\vec{b}$
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{3}}$$=(2+\sqrt{2})\vec{a}+(1+\sqrt{2})\vec{b}$
となる。

解答カ：２

$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{4}}=\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{3}}+\vec{\mathrm{P}_{3}\mathrm{P}_{4}}$
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{4}}$$=(2+\sqrt{2})\vec{a}+(1+\sqrt{2})\vec{b}+\vec{b}$
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{4}}$$=(2+\sqrt{2})\vec{a}+(2+\sqrt{2})\vec{b}$
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{4}}$$=(2+\sqrt{2})(\vec{a}+\vec{b})$
である。

解答キ：８

$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{5}}=\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{4}}+\vec{\mathrm{P}_{4}\mathrm{P}_{5}}$
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{5}}$$=(2+\sqrt{2})(\vec{a}+\vec{b})-\vec{a}$
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{5}}$$=(1+\sqrt{2})\vec{a}+(2+\sqrt{2})\vec{b}$
である。

解答ク：５

$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{6}}=\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{5}}+\vec{\mathrm{P}_{5}\mathrm{P}_{6}}$
ここで、$\vec{\mathrm{P}_{5}\mathrm{P}_{6}}=-\vec{\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}}$なので、式Ａより、
$\vec{\mathrm{P}_{5}\mathrm{P}_{6}}=-\sqrt{2}\vec{a}-\vec{b}$
なので、
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{6}}=(1+\sqrt{2})\vec{a}+(2+\sqrt{2})\vec{b}-\sqrt{2}\vec{a}-\vec{b}$
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{6}}$$=\vec{a}+(1+\sqrt{2})\vec{b}$
となる。

解答ケ：１

アドバイス

思いつきさえすれば、$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{5}}$，$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{6}}$は別解のように求めた方が早い。

$\vec{\mathrm{Q}_{6}\mathrm{Q}_{7}}=\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{Q}_{7}}-\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{Q}_{6}}$
(3)より、
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{Q}_{6}}=\vec{a}+\vec{b}$
$\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{Q}_{7}}=\sqrt{2}\vec{a}+\vec{b}$
なので、
$\vec{\mathrm{Q}_{6}\mathrm{Q}_{7}}=(\sqrt{2}\vec{a}+\vec{b})-(\vec{a}+\vec{b})$
$\vec{\mathrm{Q}_{6}\mathrm{Q}_{7}}$$=(\sqrt{2}-1)\vec{a}$
となる。

解答シ：２, ス：１

正八角形$\mathrm{Q}_{0}\mathrm{Q}_{1}\mathrm{Q}_{2}\mathrm{Q}_{3}\mathrm{Q}_{4}\mathrm{Q}_{5}\mathrm{Q}_{6}\mathrm{Q}_{7}$と正八角形$\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}\mathrm{P}_{3}\mathrm{P}_{4}\mathrm{P}_{5}\mathrm{P}_{6}\mathrm{P}_{7}$は相似で、
$\vec{\mathrm{Q}_{6}\mathrm{Q}_{7}}=(\sqrt{2}-1)\vec{a}$ $\vec{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{1}}=\vec{a}$ より、相似比は$\sqrt{2}-1:1$である。
$\mathrm{Q}_{0}\mathrm{Q}_{1}\mathrm{Q}_{2}\mathrm{Q}_{3}\mathrm{Q}_{4}\mathrm{Q}_{5}\mathrm{Q}_{6}\mathrm{Q}_{7}$の面積を$Q$
$\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}\mathrm{P}_{3}\mathrm{P}_{4}\mathrm{P}_{5}\mathrm{P}_{6}\mathrm{P}_{7}$の面積を$P$
とすると、面積比は相似比の2乗なので、
$Q:P=(\sqrt{2}-1)^{2}:1^{2}$
$Q:P$$=3-2\sqrt{2}:1$
より、
$Q=(3-2\sqrt{2})P$
である。

解答セ：３, ソ：２, タ：２