図Ａより、正八角形のひとつの内角は、${90}^{\circ }+{45}^{\circ }$で、${135}^{\circ }$である。

解答ア：１, イ：３, ウ：５

また、図Ａより、$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_5={90}^{\circ }$である。

解答エ：５

ここまでは説明の必要はないと思う。

ベクトル$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_{\mathrm{k}}}$を考える前に、図Ａの緑の線のベクトルを求めておこう。

${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1//{\mathrm{P}}_7\mathrm{A}$
${\displaystyle {\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1:{\mathrm{P}}_7\mathrm{A}=1:\frac{1}{\sqrt{2}}}$

なので、
${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{P}}_7\mathrm{A}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{a}}$
である。

よって、
${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{P}}_7\mathrm{A}}=\overrightarrow{{\mathrm{BP}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{CP}}_3}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_6\mathrm{D}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{a}}$
といえる。

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0\mathrm{A}}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_7}+\overrightarrow{{\mathrm{P}}_7\mathrm{A}}$
${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{P}}_0\mathrm{A}}}$${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$
なので、
${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{P}}_0\mathrm{A}}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1\mathrm{B}}=\overrightarrow{{\mathrm{CP}}_4}=\overrightarrow{{\mathrm{DP}}_5}=\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$
となる。

これが分かったところで問題にもどって、
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1}+\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}$
ここで、
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1\mathrm{B}}+\overrightarrow{{\mathrm{BP}}_2}$
${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}}$${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{a}}$
${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}}$${\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{2}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}$$=\sqrt{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$式Ａ
なので、
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_2}=\overrightarrow{a}+\sqrt{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_2}$$=(1+\sqrt{2})\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$
である。

解答オ：４

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_3}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_2}+\overrightarrow{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3}$
ここで、
${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3//{\mathrm{P}}_0\mathrm{A}$
${\displaystyle {\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3:{\mathrm{P}}_0\mathrm{A}=1:\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}:1}$
より、
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3}=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3}$$=\overrightarrow{a}+\sqrt{2}\overrightarrow{b}$
なので、
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_3}=(1+\sqrt{2})\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\sqrt{2}\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_3}$$=(2+\sqrt{2})\overrightarrow{a}+(1+\sqrt{2})\overrightarrow{b}$
となる。

解答カ：２

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_4}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_3}+\overrightarrow{{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4}$
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_4}$$=(2+\sqrt{2})\overrightarrow{a}+(1+\sqrt{2})\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_4}$$=(2+\sqrt{2})\overrightarrow{a}+(2+\sqrt{2})\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_4}$$=(2+\sqrt{2})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
である。

解答キ：８

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_5}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_4}+\overrightarrow{{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_5}$
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_5}$$=(2+\sqrt{2})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})-\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_5}$$=(1+\sqrt{2})\overrightarrow{a}+(2+\sqrt{2})\overrightarrow{b}$
である。

解答ク：５

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_6}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_5}+\overrightarrow{{\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_6}$
ここで、$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_6}=-\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}$なので、式Ａより、
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_6}=-\sqrt{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$
なので、
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_6}=(1+\sqrt{2})\overrightarrow{a}+(2+\sqrt{2})\overrightarrow{b}-\sqrt{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_6}$$=\overrightarrow{a}+(1+\sqrt{2})\overrightarrow{b}$
となる。

解答ケ：１

アドバイス

思いつきさえすれば、$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_5}$，$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_6}$は別解のように求めた方が早い。

$\overrightarrow{{\mathrm{Q}}_6{\mathrm{Q}}_7}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_7}-\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_6}$
(3)より、
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_6}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_7}=\sqrt{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$
なので、
$\overrightarrow{{\mathrm{Q}}_6{\mathrm{Q}}_7}=(\sqrt{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
$\overrightarrow{{\mathrm{Q}}_6{\mathrm{Q}}_7}$$=(\sqrt{2}-1)\overrightarrow{a}$
となる。

解答シ：２, ス：１

正八角形${\mathrm{Q}}_0{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{Q}}_4{\mathrm{Q}}_5{\mathrm{Q}}_6{\mathrm{Q}}_7$と正八角形${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_6{\mathrm{P}}_7$は相似で、
$\overrightarrow{{\mathrm{Q}}_6{\mathrm{Q}}_7}=(\sqrt{2}-1)\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1}=\overrightarrow{a}$ より、相似比は$\sqrt{2}-1:1$である。
${\mathrm{Q}}_0{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{Q}}_4{\mathrm{Q}}_5{\mathrm{Q}}_6{\mathrm{Q}}_7$の面積を$Q$
${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_6{\mathrm{P}}_7$の面積を$P$
とすると、面積比は相似比の2乗なので、
$Q:P=(\sqrt{2}-1{)}^2:1^2$
$Q:P$$=3-2\sqrt{2}:1$
より、
$Q=(3-2\sqrt{2})P$
である。

解答セ：３, ソ：２, タ：２