$x>1$
の両辺の底$2$の対数をとる。
底が$1$より大きいので、
${\log }_{2}x>{\log }_{2}1$
${\log }_{2}x>0$
となる。
${\log }_{2}x=s$なので、
$s>0$
である。

解答ア：０

$A=x\sqrt{y}$より、
${\log }_{2}A={\log }_{2}x\sqrt{y}$
${\log }_{2}A$$={\log }_{2}x+{\log }_2\sqrt{y}$
${\log }_{2}A$$={\log }_{2}x+{\log }_2{y}^{\frac{1}{2}}$
${\displaystyle {\log }_{2}A}$${\displaystyle ={\log }_{2}x+\frac{1}{2}{\log }_{2}y}$

${\log }_{2}x=s$，${\log }_{2}y=t$ なので、
${\displaystyle {\log }_{2}A=s+\frac{t}{2}}$②
となる。

解答イ：２

また、変換公式を使って
${\log }_{2}x=s$
の底を$4$に変えると、
${\displaystyle \frac{{\log }_{4}x}{{\log }_{4}2}=s}$
${\displaystyle \frac{{\log }_{4}x}{\frac{1}{2}}=s}$
${\displaystyle {\log }_{4}x=\frac{1}{2}s}$③
となる。

解答ウ：５

①式 $(2y{)}^{{\log }_{4}x}=16$ の両辺の底$2$の対数をとると、
${\log }_2(2y{)}^{{\log }_{4}x}={\log }_{2}16$
${\log }_{4}x\cdot {\log }_{2}2y={\log }_{2}16$
${\log }_{4}x\cdot ({\log }_{2}2+{\log }_{2}y)={\log }_{2}16$
${\log }_{4}x\cdot (1+{\log }_{2}y)=4$

${\displaystyle {\log }_{4}x=\frac{1}{2}s}$，${\log }_{2}y=t$ なので、
${\displaystyle \frac{1}{2}s(t+1)=4}$
$s(t+1)=8$④
である。

解答エ：１, オ：８

$s\ne 0$なので、④式はさらに
$t+1={\displaystyle \frac{8}{s}}$
$t={\displaystyle \frac{8}{s}-1}$④'
とかける。

これを②式に代入して、
${\displaystyle {\log }_{2}A=s+\frac{\frac{8}{s}-1}{2}}$
${\displaystyle {\log }_{2}A}$${\displaystyle =s+\frac{4}{s}-\frac{1}{2}}$②'
となる。

解答カ：４, キ：１, ク：２

ここで$0<s$における②'の最小値を求めるのだけれど、分母に$s$があるので、数Ⅱの範囲では微分はできない。
微分以外で関数の最小を求める方法を考えると、相加平均と相乗平均の関係ではないかと気づく。
ついでに相加平均と相乗平均の関係の復習をしよう。

復習

$0<\mathrm{A}$，$0<\mathrm{B}$のとき、
${\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\geqq \sqrt{\mathrm{AB}}}$ （等号成立は$\mathrm{A}=\mathrm{B}$のとき）
だった。この式の分母を払った
$\mathrm{A}+\mathrm{B}\geqq 2\sqrt{\mathrm{AB}}$
を使うことが多い。

$0<s$なので、相加平均と相乗平均の関係より、
$s+{\displaystyle \frac{4}{s}\geqq 2\sqrt{s\cdot \frac{4}{s}}}$
$s+{\displaystyle \frac{4}{s}}$${\displaystyle \geqq 2\sqrt{4}}$
$s+{\displaystyle \frac{4}{s}}$${\displaystyle \geqq 4}$
これをもとに、②'式をつくる。

両辺から${\displaystyle \frac{1}{2}}$を引いて、
$s+{\displaystyle \frac{4}{s}-\frac{1}{2}\geqq \frac{7}{2}}$
この左辺は${\log }_{2}A$なので、
${\displaystyle {\log }_{2}A\geqq \frac{7}{2}}$
であることが分かる。
なので、$s={\displaystyle \frac{4}{s}}$のとき、${\log }_{2}A$の最小値${\displaystyle \frac{7}{2}}$だ。
これを、$x$，$y$と$A$で表せば答だ。

まず、$s={\displaystyle \frac{4}{s}}$から片付けよう。
両辺を$s$倍して、
$s^2=4$
$0<s$なので、
$s=2$
より、${\log }_{2}A$が最小となるのは$s=2$のとき。

解答ケ：２

このとき、
$s={\log }_{2}x$なので、
${\log }_{2}x=2$
$x=4$

また、$s=2$を④'式に代入して、
$t={\displaystyle \frac{8}{2}-1=3}$
$t={\log }_{2}y$なので、
${\log }_{2}y=3$
$y=8$
である。

解答コ：４, サ：８

最後は、${\log }_{2}A$の最小値${\displaystyle \frac{7}{2}}$だ。
${\displaystyle {\log }_{2}A=\frac{7}{2}}$
$A=2^{\frac{7}{2}}$
$A$$={\sqrt{2}}^7$
$A$$=8\sqrt{2}$
となる。

解答シ：８, ス：２