Ａ君，Ｂ君，Ｃ君，Ｄ君４人の小テストの成績を棒グラフにした、図Ａのようなデータを考えてみよう。
赤い点線が平均値で、緑の矢印の長さがそれぞれの偏差を表している。偏差の2乗の平均が分散で、分散の正の平方根が標準偏差だから、緑の矢印の長さで分散や標準偏差が決まる。

データに定数を加えたとき

図Ａのデータのそれぞれに５点たすと、図Ｂのグラフになる。

図Ａと図Ｂを見比べると、図Ｂは図Ａのグラフを右に$5$平行移動したものだ。

赤い線も右に$5$平行移動するので、平均値は$5$増える。
緑の矢印の長さは変わらないので、分散と標準偏差は変わらない。

今度は図Ａのデータのそれぞれに20点たしてみる。すると、グラフは図Ｃになる。

図Ａと図Ｃを見比べると、図Ｃは図Ａのグラフを右に$20$平行移動したものだ。

赤い線も右に$20$平行移動するので、平均値は$20$増える。
緑の矢印の長さは変わらないので、分散と標準偏差は変わらない。

このことから、もとのデータのすべてに$+b$した場合、
平均値は、もとの平均値$+b$になる。 分散，標準偏差は変わらない。 ことが分かる。

データを定数倍したとき

図Ａのデータのそれぞれを$1.5$倍すると、図Ｄのグラフになる。上のグラフが図Ａ、下のグラフは図Ａを$1,5$倍したものだ。

ふたつのグラフを見比べると、赤い線も$1.5$倍の位置に移動し、緑の矢印の長さも$1.5$倍になっているのに気づく。

なので、
平均値は$1.5$倍になる。
分散は緑の矢印の２乗の平均だから、分散は${1.5}^2$倍になる。
標準偏差分散の正の平方根なので、$\sqrt{{1.5}^2}=1.5$より、標準偏差は$1.5$倍になる。

標準偏差はデータの散らばりを表すので、散らばりが$1.5$倍になるから標準偏差も$1.5$倍、分散はその２乗なので${1.5}^2$倍、と思ってもらってもいい。本当は分散が先に決まるので、順番が逆だけど、センター試験では問題ないです。

図Ａのデータのそれぞれを$3$倍すると、図Ｅのグラフになる。

ふたつのグラフを見比べると、赤い線も$3$倍の位置に移動し、緑の矢印の長さも$3$倍になっているのに気づく。

なので、
平均値は$3$倍になる。
分散は$3^2$倍になる。
標準偏差は$3$倍になる。

これも、標準偏差はデータの散らばりを表すので、散らばりが$3$倍になるから標準偏差も$3$倍、分散はその２乗なので$3^2$倍、と思ってもらってもいいです。

このことから、もとのデータのすべてを$a$倍した場合、 平均値は、もとの平均値の$a$倍になる。 分散は、もとの分散の$a^2$倍になる。 標準偏差は、もとの標準偏差の$|a|$倍になる。 ことが分かる。

データ$\{x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n\}$があり、
平均値を
    ${\displaystyle \frac{1}{n}(x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n)=\bar{x}}$式Ａ
分散を
    ${\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+(x_3-\bar{x}{)}^2+}$
            $\cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2\}=s_x^2$式Ｂ
標準偏差を
    $\sqrt{s_x^2}=s_x$式Ｃ
とする。

データ$\{y_1,y_2,y_3.\cdots ,y_n\}$を、定数$a$，$b$を用いて
$y_1=a{x}_1+b$
$y_2=a{x}_2+b$
$y_3=a{x}_3+b$
$⋮$
$y_n=a{x}_n+b$
と決める。式D

分散・標準偏差

$y$の分散$s_y^2$は、
$s_y^2={\displaystyle \frac{1}{n}\{(y_1-\bar{y}{)}^2+(y_2-\bar{y}{)}^2+(y_3-\bar{y}{)}^2+}$
            $\cdots +(y_n-\bar{y}{)}^2\}$

これに式D，Eを代入して、
$s_y^2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{n}[\{(a{x}_1+b)-(a\bar{x}+b){\}}^2}$
          $+\{(a{x}_2+b)-(a\bar{x}+b){\}}^2$
          $+\{(a{x}_3+b)-(a\bar{x}+b){\}}^2$
          $+\cdots$
          $+\{(a{x}_n+b)-(a\bar{x}+b){\}}^2]$
$s_y^2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{n}\{(a{x}_1-a\bar{x}{)}^2+(a{x}_2-a\bar{x}{)}^2}$
          $+(a{x}_3-a\bar{x}{)}^2+\cdots +(a{x}_n-a\bar{x}{)}^2\}$
$s_y^2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{n}\{a^2(x_1-\bar{x}{)}^2+a^2(x_2-\bar{x}{)}^2}$
          $+a^2(x_3-\bar{x}{)}^2+\cdots +a^2(x_n-\bar{x}{)}^2\}$
$s_y^2{\displaystyle }$${\displaystyle =a^2}$$\frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2$
          $+(x_3-\bar{x}{)}^2+\cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2\}$

式Ｂより、緑の部分は$s_x^2$なので、
$s_y^2$$=a^2{s}_x^2$
となる。

$y$の標準偏差$s_y$は、分散の正の平方根なので、
$s_y=\sqrt{a^2{s}_x^2}$
$s_x$は$x$の標準偏差だから、$0\leqq s_x$なので、
$s_y=\sqrt{a^2}{s}_x$
$a<0$のとき、
$s_y=-a{s}_x$
$0\leqq a$のとき、
$s_y=a{s}_x$

あわせて、
$s_y=|a|s_x$
である。