条件付き確率の公式は、

だった。
よって、$\overline{A_1}$が起こったとき$A_2$が起こる条件付き確率は、
$P_{\overline{A_1}}(A_2)={\displaystyle \frac{P(\overline{A_1}\cap A_2)}{P\left(\overline{A_1}\right)}}$

また、(1)より、
$P{\displaystyle \left(\overline{A_1}\right)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}$

(2)の前半より、
$P{\displaystyle (\overline{A_1}\cap A_2)=\frac{1}{2}}$

以上より、求める確率は、
$P_{\overline{A_1}}(A_2)={\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{4}}$
である。

解答オ：３, カ：４

$\overline{A_2}$が起こったときの条件付き確率を求めるので、１回目と２回目の目の和が５以上の場合は考えなくてよい。
なので、次のような表が書ける。

この表では、タテの列ごとに起こる確率が違う。なので、３行目に確率を載せた。
左から３列目に並んでいる${\displaystyle \frac{1}{6}}$は、３回目の試行でその目が出る確率である。
この表の意味だけど、例えば$\overline{A_2}$が起こったときに３回の試行で出た目の和が10になるのは、${\displaystyle \frac{3}{36}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{72}}$であることを表している。

全体の確率は、上から３列目の確率を全部たして、
${\displaystyle \frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}}$

$\overline{A_2}\cap A_3$が起こる確率は、表Ｂの赤い部分。
でも、これはマスがたくさんあって計算が面倒なので、青い部分の和を求めて、全体から引こう。
青い部分の和は、
${\displaystyle \frac{1}{36}\cdot \frac{1}{6}+\frac{2}{36}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{36}\cdot \frac{1}{6}=\frac{4}{36\cdot 6}=\frac{1}{9\cdot 6}}$
さっき計算したように、全体の確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$
なので、赤い部分の確率は
${\displaystyle \frac{1}{6}-\frac{1}{9\cdot 6}=\frac{1}{6}(1-\frac{1}{9})=\frac{8}{6\cdot 9}}$

以上より、求める条件付き確率は、
${\displaystyle \frac{\frac{8}{6\cdot 9}}{\frac{1}{6}}=\frac{8}{9}}$
である。

解答キ：８, ク：９

解法１は、(2)の表を使って解いた方法と比べて、シンプルじゃなかった。理由は簡単で、表の列ごとに確率が異なったから。ならば、確率をそろえてやればいい。
表Ａのグレー以外の部分を見ると、２は１マス、３は２マス、４は３マスある。マスの数だけタテの行を作れば、全部の行で確率は等しくなるはず。
ということで、次のような表が書ける。

これで、すべてのマスは同じ確率で起こるようになった。

マスの数は、36個。
$\overline{A_2}\cap A_3$が起こる確率は、表Ｃの赤い部分で、32個。
よって、求める条件付き確率は、
${\displaystyle \frac{32}{36}=\frac{8}{9}}$
である。

解答キ：８, ク：９

一般的な解法で解くとこうなる。

$\overline{A_2}$が起こる確率を求める。
表Ａより、
和が2になるのは${\displaystyle \frac{1}{36}}$ 和が3になるのは${\displaystyle \frac{2}{36}}$ 和が4になるのは${\displaystyle \frac{3}{36}}$ よって、和が５未満になるのは、
${\displaystyle \frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}}$

次に、$\overline{A_2}\cap A_3$が起こる確率を求める。
１回目と２回目の試行で出た目の和が2のとき、３回目では3以上の目（3,4,5,6）が出ないといけないので、
${\displaystyle \frac{1}{36}\cdot \frac{4}{6}}$ １回目と２回目の和が3のとき、３回目では2以上の目（2,3,4,5,6）が出ないといけないので、
${\displaystyle \frac{2}{36}\cdot \frac{5}{6}}$ １回目と２回目の和が4のとき、３回目は何の目が出てもいいので、
${\displaystyle \frac{3}{36}\cdot 1}$

これを全部たして、
${\displaystyle \frac{1}{36}\cdot \frac{4}{6}+\frac{2}{36}\cdot \frac{5}{6}+\frac{3}{36}\cdot 1}$
$={\displaystyle \frac{1}{36}\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{36}\cdot \frac{5}{3}+\frac{3}{36}\cdot \frac{3}{3}}$
$={\displaystyle \frac{2+5+9}{36\cdot 3}}$
$={\displaystyle \frac{16}{36\cdot 3}}$
$={\displaystyle \frac{4}{9\cdot 3}}$

以上より、求める条件付き確率は、
${\displaystyle \frac{\frac{4}{9\cdot 3}}{\frac{1}{6}}=\frac{4\cdot 6}{9\cdot 3}=\frac{4\cdot 2}{9}=\frac{8}{9}}$
である。

解答キ：８, ク：９

(4)も一般的な解法で解くとこうなる。

$\overline{A_3}$が起こる確率を求める。
和が3になるのは、$\{1,1,1\}$の一通り。
なので、確率は${\displaystyle \frac{1}{6^3}}$ 和が4になるのは、$\{1,1,2\}\{1,2,1\}\{2,1,1\}$の３通り。
なので、確率は${\displaystyle \frac{3}{6^3}}$ よって、和が５未満になるのは、
${\displaystyle \frac{1}{6^3}+\frac{3}{6^3}=\frac{4}{6^3}}$

次に、$\overline{A_3}\cap A_4$が起こる確率を求める。
１回目から３回目の試行で出た目の和が3のとき、３回目では2以上の目（2,3,4,5,6）が出ないといけないので、
${\displaystyle \frac{1}{6^3}\cdot \frac{5}{6}}$ １回目から３回目の和が4のとき、３回目は何の目が出てもいいので、
${\displaystyle \frac{3}{6^3}\cdot 1}$

これをたして、
${\displaystyle \frac{1}{6^3}\cdot \frac{5}{6}+\frac{3}{6^3}\cdot 1}$
$={\displaystyle \frac{1}{6^3}(\frac{5}{6}+3\cdot \frac{6}{6})}$
$={\displaystyle \frac{1}{6^3}\cdot \frac{5+18}{6}}$
$={\displaystyle \frac{23}{6^4}}$

以上より、求める条件付き確率は、
${\displaystyle \frac{\frac{23}{6^4}}{\frac{4}{6^3}}=\frac{23}{6^4}\cdot \frac{6^3}{4}=\frac{23}{6\cdot 4}=\frac{23}{24}}$
である。

解答ケ：２, コ：３, サ：２, シ：４