条件付き確率の公式は、

だった。
よって、$\overline{A_{1}}$が起こったとき$A_{2}$が起こる条件付き確率は、
$P_{\overline{A_{1}}}(A_{2})=\displaystyle \frac{P\left(\overline{A_{1}}\cap A_{2}\right)}{P\left(\overline{A_{1}}\right)}$

また、(1)より、
$P\displaystyle \left(\overline{A_{1}}\right)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

(2)の前半より、
$P\displaystyle \left(\overline{A_{1}}\cap A_{2}\right)=\frac{1}{2}$

以上より、求める確率は、
$P_{\overline{A_{1}}}(A_{2})=\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{4}$
である。

解答オ：３, カ：４

$\overline{A_{2}}$が起こったときの条件付き確率を求めるので、１回目と２回目の目の和が５以上の場合は考えなくてよい。
なので、次のような表が書ける。

この表では、タテの列ごとに起こる確率が違う。なので、３行目に確率を載せた。
左から３列目に並んでいる$\displaystyle \frac{1}{6}$は、３回目の試行でその目が出る確率である。
この表の意味だけど、例えば$\overline{A_{2}}$が起こったときに３回の試行で出た目の和が10になるのは、$\displaystyle \frac{3}{36}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{72}$であることを表している。

全体の確率は、上から３列目の確率を全部たして、
$\displaystyle \frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

$\overline{A_{2}}\cap A_{3}$が起こる確率は、表Ｂの赤い部分。
でも、これはマスがたくさんあって計算が面倒なので、青い部分の和を求めて、全体から引こう。
青い部分の和は、
$\displaystyle \frac{1}{36}\cdot\frac{1}{6}+\frac{2}{36}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{36}\cdot\frac{1}{6}=\frac{4}{36\cdot 6}=\frac{1}{9\cdot 6}$
さっき計算したように、全体の確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$
なので、赤い部分の確率は
$\displaystyle \frac{1}{6}-\frac{1}{9\cdot 6}=\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{9}\right)=\frac{8}{6\cdot 9}$

以上より、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\frac{8}{6\cdot 9}}{\frac{1}{6}}=\frac{8}{9}$
である。

解答キ：８, ク：９

解法１は、(2)の表を使って解いた方法と比べて、シンプルじゃなかった。理由は簡単で、表の列ごとに確率が異なったから。ならば、確率をそろえてやればいい。
表Ａのグレー以外の部分を見ると、２は１マス、３は２マス、４は３マスある。マスの数だけタテの行を作れば、全部の行で確率は等しくなるはず。
ということで、次のような表が書ける。

これで、すべてのマスは同じ確率で起こるようになった。

マスの数は、36個。
$\overline{A_{2}}\cap A_{3}$が起こる確率は、表Ｃの赤い部分で、32個。
よって、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{32}{36}=\frac{8}{9}$
である。

解答キ：８, ク：９

一般的な解法で解くとこうなる。

$\overline{A_{2}}$が起こる確率を求める。
表Ａより、
和が2になるのは$\displaystyle \frac{1}{36}$ 和が3になるのは$\displaystyle \frac{2}{36}$ 和が4になるのは$\displaystyle \frac{3}{36}$ よって、和が５未満になるのは、
$\displaystyle \frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

次に、$\overline{A_{2}}\cap A_{3}$が起こる確率を求める。
１回目と２回目の試行で出た目の和が2のとき、３回目では3以上の目（3,4,5,6）が出ないといけないので、
$\displaystyle \frac{1}{36}\cdot\frac{4}{6}$ １回目と２回目の和が3のとき、３回目では2以上の目（2,3,4,5,6）が出ないといけないので、
$\displaystyle \frac{2}{36}\cdot\frac{5}{6}$ １回目と２回目の和が4のとき、３回目は何の目が出てもいいので、
$\displaystyle \frac{3}{36}\cdot 1$

これを全部たして、
$\displaystyle \frac{1}{36}\cdot\frac{4}{6}+\frac{2}{36}\cdot\frac{5}{6}+\frac{3}{36}\cdot 1$
$=\displaystyle \frac{1}{36}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{36}\cdot\frac{5}{3}+\frac{3}{36}\cdot\frac{3}{3}$
$=\displaystyle \frac{2+5+9}{36\cdot 3}$
$=\displaystyle \frac{16}{36\cdot 3}$
$=\displaystyle \frac{4}{9\cdot 3}$

以上より、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\frac{4}{9\cdot 3}}{\frac{1}{6}}=\frac{4\cdot 6}{9\cdot 3}=\frac{4\cdot 2}{9}=\frac{8}{9}$
である。

解答キ：８, ク：９

(4)も一般的な解法で解くとこうなる。

$\overline{A_{3}}$が起こる確率を求める。
和が3になるのは、$\{1,1,1\}$の一通り。
なので、確率は$\displaystyle \frac{1}{6^{3}}$ 和が4になるのは、$\{1,1,2\}\{1,2,1\}\{2,1,1\}$の３通り。
なので、確率は$\displaystyle \frac{3}{6^{3}}$ よって、和が５未満になるのは、
$\displaystyle \frac{1}{6^{3}}+\frac{3}{6^{3}}=\frac{4}{6^{3}}$

次に、$\overline{A_{3}}\cap A_{4}$が起こる確率を求める。
１回目から３回目の試行で出た目の和が3のとき、３回目では2以上の目（2,3,4,5,6）が出ないといけないので、
$\displaystyle \frac{1}{6^{3}}\cdot\frac{5}{6}$ １回目から３回目の和が4のとき、３回目は何の目が出てもいいので、
$\displaystyle \frac{3}{6^{3}}\cdot 1$

これをたして、
$\displaystyle \frac{1}{6^{3}}\cdot\frac{5}{6}+\frac{3}{6^{3}}\cdot 1$
$=\displaystyle \frac{1}{6^{3}}\left(\frac{5}{6}+3\cdot\frac{6}{6}\right)$
$=\displaystyle \frac{1}{6^{3}}\cdot\frac{5+18}{6}$
$=\displaystyle \frac{23}{6^{4}}$

以上より、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\frac{23}{6^{4}}}{\frac{4}{6^{3}}}=\frac{23}{6^{4}}\cdot\frac{6^{3}}{4}=\frac{23}{6\cdot 4}=\frac{23}{24}$
である。

解答ケ：２, コ：３, サ：２, シ：４