余弦定理より
${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CA}}^2-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{CA}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}$
${\mathrm{BC}}^2$$=1^2+{\sqrt{3}}^2-2\cdot 1\cdot \sqrt{3}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3})$
${\mathrm{BC}}^2$$=1+3+2$
${\mathrm{BC}}^2$$=6$
$0<\mathrm{BC}$なので、
$\mathrm{BC}=\sqrt{6}$

解答ア：６

面積は$S={\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A}$を使って求めよう。
そのために、まず$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}$を計算する。

${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}+{\cos }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=1$より、
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}+{(-\frac{\sqrt{3}}{3})}^2=1$
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=1-{(-\frac{\sqrt{3}}{3})}^2$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{2}{3}}$
$0<\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}$なので、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

以上より、$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$の面積は、
${\displaystyle \mathrm{△}\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$
${\displaystyle \mathrm{△}\mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$
となる。

解答イ：２, ウ：２

BDは△ABCの外接円の直径。
外接円の半径を$R$とすると、これが含まれている公式は２つある。
正弦定理
${\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R}$ 三角形の面積の公式
$S={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$ 今回は、△ABCの３つの辺の長さと面積、それにひとつの角の$\sin$，$\cos$が分かっているので、どちらの公式も使える。なので、簡単な方の正弦定理を使おう。

△ABCの外接円の半径を$R$とすると、正弦定理より、
$2R={\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}}$
$2R{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}}$
$2R{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$
$2R$$=3$
より、$\mathrm{BD}=3$
ここで問われているのは外接円の直径なので、$2R$が分かればよく、$R$を求める必要はない。

解答エ：３

別解

ちなみに、面積の公式から求めるとこうなる。

三角形の面積の公式より、
${\displaystyle \mathrm{△}\mathrm{ABC}=\frac{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{CA}}{4R}}$
${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}{4R}}$
$\sqrt{2}\cdot 4R=2\cdot 1\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}$
$4R=2\cdot {\sqrt{3}}^2$
$2R=3$
より、$\mathrm{BD}=3$

解答エ：３

次に、△BCDの面積を求めよう。
∠BCDは直径に対する円周角なので、直角。
これを使って、三平方の定理でCDを計算し、あとは${\displaystyle \frac{1}{2}}$×底辺×高さで面積を出そう。

三平方の定理より、
${\mathrm{CD}}^2={\mathrm{BD}}^2-{\mathrm{BC}}^2$
${\mathrm{CD}}^2$$=3^2-{\sqrt{6}}^2$
${\mathrm{CD}}^2$$=3$
$0<\mathrm{CD}$なので、
$\mathrm{CD}=\sqrt{3}$

△BCDの面積を$S$とすると、
$S={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{CD}}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3\sqrt{2}}{2}}$
である。

解答オ：３, カ：２, キ：２

最後に、AEとDEの長さの比が聞かれている。
多くの受験生は、ここで一瞬悩むと思うんだ。
なので、分からなくなったときの考え方を説明する。

三角形や円の問題で、線分の長さの比といえば、
方べきの定理 チェバの定理 メネラウスの定理 が思いつくけれど、ここではどれも使えない。

アドバイス

マークシート試験で悩んだときは、上を見て、下を見る。つまり、これまでに解いたことを振り返り、それでも分からなければ先を読む。

で、上を見ると、
問題の前半の流れは、△ABCの面積を求めて終わっている。 問題の後半の流れは、△BCDの面積を求めて終わっている。 ということは、三角形の面積から線分の比を求めるんじゃないかと気づく。

図Ｂを見てほしい。
Hは点Aから辺BCに下ろした垂線の足である。
△ABC，△BCDともに、底辺はBCで共通。
なので、面積比=高さの比になるから、
${\displaystyle \mathrm{AH}:\mathrm{DC}=\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{3\sqrt{2}}{2}=1:3}$式Ａ

△AEHと△DECは相似なので、
$\mathrm{AE}:\mathrm{DE}=\mathrm{AH}:\mathrm{DC}$式Ｂ

式Ａ，式Ｂより、
$\mathrm{AE}:\mathrm{DE}=1:3$
${\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}=\frac{1}{3}}$
である。

解答ク：１, ケ：３